高考数学考前冲刺大题精做专题06圆锥曲线综合篇教师版 32页

高考数学 考前冲刺大题精做 专题 06 圆锥曲线综合篇（教师版） 【2013 高考会这样考】 1、在解椭圆中的最值与范围问题时，要考虑到椭圆的限制条件对自变量取值的影响； 2、与平面向量等知识的结合，综合考查圆锥曲线的相关运算； 3、以直线和圆锥曲线为载体，研究弦长、最值、取值范围、三角形的面积问题是高考考查 的热点. 【原味还原高考】 【高考还原 1：（2012 年高考（上海理））】在平面直角 坐标系 xOy 中,已知双曲线 12: 22 1  yxC . （1）过 1C 的左顶点引 1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; （2）设斜率为 1 的直线l交 1C 于 P、Q两点,若 l 与圆 122  yx 相切,求证:OP⊥OQ; （3）设椭圆 14: 22 2  yxC . 若 M、N分别是 1C 、 2C 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值. 综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 【名师剖析】 试题重点：本题考查双曲线的方程、双曲线的性质、直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲 【高考还原 2：（2012 年高考（山东理））】在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点,M 是抛物线 C上位于第一象限内的任意一点,过 , ,M F O三 点的圆的圆心为Q ,点Q到抛物线C的准线的距离为 3 4 . （Ⅰ）求抛物线C的方程; （Ⅱ）是否存在点M ,使得直线MQ与抛物线C相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标; 若不存在,说明理由; （Ⅲ）若点M 的横坐标为 2 ,直线 1: 4 l y kx  与抛物线C有两个不同的交点 ,A B , l与 圆Q 有两个不同的交点 ,D E ,求当 1 2 2 k  时, 2 2AB DE 的最小值. 故当 2 1 k 时, 2 16)( min 22  DEAB . 【名师剖析】 由点 B在椭圆上知, 1 2 2 2BF BF  ,∴  1 1 2 1 2 = 2 2AFPF BF AF BF   . 【细品经典例题】 【经典例题 1】设椭圆  01 2 : 2 2 2  ay a xC 的左、右顶点分别为 A、 B，点 P在椭圆上 且异于 A、 B两点，O为坐标原点. （1）若直线 AP与BP的斜率之积为 2 1  ，求椭圆的离心率； （2）对于由（1）得到的椭圆C，过点 P的直线 l交 x轴于点  0,1Q ，交 y轴于点M ， 若 2MP PQ   ，求直线 l的斜率. 【名师点拨】（1）可以得到 APk APk = 2 2 a  ，可以求得椭圆的离心率；（2）联立直线与椭 圆的方程进行求解. 【名师解析】（1）由已知    0,,0, aBaA  ,设   axyxP 000 , . …………1分 则直线 AP的斜率 ax y k AP   0 0 , 由①解得 02 k ，即 0k , 【经典例题 2】已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为 1 2 ，一个焦点是  1,0 ,过直线 : 4l x  上一点 M 引椭圆的两条切线，切点分别是 A，B. （1）求椭圆 的方程； （2）若在椭圆Ω：   2 2 2 2 1 0x y a b a b     上的点  0 0,x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1 x x y y a b   . 求证:直线 AB 恒过定点 C，并出求定点 C的坐标. （3）是否存在实数，使得 AC BC AC BC   恒成立？（点 C为直线 AB 恒过的定点） 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【精选名题巧练】 【名题巧练 1】已知椭圆 2 2 1 : 1 2 xC y  . （Ⅰ）我们知道圆具有性质：若 E为圆 O： 2 2 2 ( 0)x y r r   的弦 AB 的中点，则直线 AB 的斜率 ABk 与直线 OE 的斜率 OEk 的乘积 AB OEk k 为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆 1C 的 类似性质，并加以证明； （Ⅱ）如图（1），点 B 为 1C 在第一象限中的任意一点，过 B 作 1C 的切线 l， l分别与 x 轴 和 y 轴的正半轴交于 C，D 两点，求三角形 OCD 面积的最小值； （Ⅲ）如图（2），过椭圆 2 2 2 : 1 8 2 x yC   上任意一点 P作 1C 的两条切线 PM 和 PN，切点分 别为 M，N.当点 P 在椭圆 2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线 MN 相切？若存在，求出圆的 方程；若不存在，请说明理由. 又 PM 过点 ( , )P m n ，所以 1 2 3 3  nymx ，又可理解为点 ),( 33 yxM 在直线 1 2  ynmx 上 点 B C, 处的切线分别为 1 2l l, ，且 1l 与 2l 交于点 P . （1）求椭圆 1C 的方程； （2）是否存在满足 1 2 1 2PF PF AF AF   的点P ? 若存在，指出这样的点P有几个（不 必求出点 P的坐标）; 若不存在，说明理由. ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 1 1 2 yxxy  . ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 21 1 1 2 4 x y x x  . 定点：并求△GMN 面积的最大值。 【名题出处】2013 福建省厦门市高中毕业班质量检查 【名师点拨】（Ⅰ）先求出直线 ER 与 GR′的交点，再代入方程进行检验；（Ⅱ）联立直线与 椭圆的方程，利用根与系数的关系带入“ 2 3GM GNk k  ”进行求解 【名题巧练 5】已知抛物线 2: 2 ( 0),C y px p M  点的坐标为（12，8），N点在抛物线 C 上，且满足 3 , 4 ON OM   O 为坐标原点． （I）求抛物线 C 的方程； （II）以点 M 为起点的任意两条射线 1 2,l l 关于直线 l：y=x—4，并且 1l 与抛物线 C 交于 A、 B两点， 2l 与抛物线 C 交于 D、E 两点，线段 AB、DE 的中点分别为 G、H 两点求证：直线 GH 过定点，并求出定点坐标． 【名题出处】2013 浙江省金华十校高中毕业班质量检查 【名师点拨】（I）可以求出 N 点的坐标，带入抛物线的方程；（II）联立直线与抛物线的方 程，利用根与系数的关系进行解题. 从而 1 2S S ． ………………14 分 证法二：记△OCM 的面积是 1S ，△ODN 的面积是 2S ． 【名题巧练 8】如图，在平面直坐标系 xOy中，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     ，经过 点 (1, )e ，其中 e为椭圆的离心率．且椭圆C与直线 3y x  有且只有一个交点。 （1）求椭圆C的方程； （2）设不经过原点的直线 l与椭圆C相交与 A，B 两点，第一象限内的点 (1, )P m 在椭圆上， 直线OP平分线段 AB，求：当 PAB 的面积取得最大值时直线 l的方程。 【名题巧练 9】如图所示，椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的离心率 2 2 e  ，左焦 点为 1 -1 0F（ ，），右焦点为 2 1 0F（ ，），短轴两个端点为 BA、 .与 x轴不垂直的直线 l与 椭圆 C交于不同的两点M 、N，记直线AM 、AN的斜率分别为 1k 、 2k ，且 1 2 3 2 k k  ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证直线 l 与 y轴相交于定点，并求出定点坐标. （3）当弦MN 的中点 P落在 1 2MFF 内（包括边界）时，求直线 l的斜率的取值。 【名题巧练 10】设椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     的左右顶点分别为 ( 2,0), (2,0)A B ，离心 （3）设 ( , )C m n ，点 R的坐标为 (2, )t ， ∵ , ,A C R三点共线，∴ //AC AR   ， 而 ( 2, )AC m n   ， (4, )AR t  ，则 4 ( 2)n t m  ，