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- 2021-06-11 发布
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专练43 直线、平面垂直的判定与性质
命题范围:(理的命题范围)直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理及直线与平面所成的角、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理、二面角
[基础强化]
一、选择题
1.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可能有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题不正确的是( )
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
C.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
3.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是( )
A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a⊂α,b⊥β,α∥β D.a⊂α,b∥β,α⊥β
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.A1C1 B.BD
C.A1D1 D.AA1
6.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.1
9.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E为AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥面ABD
B.平面ABD⊥面BCD
C.平面ABC⊥面BDE且平面ACD⊥面BDE
D.平面ABC⊥面ACD且平面ACD⊥面BDE
二、填空题
10.[2020·商丘一中高三测试]在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心.
11.已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面,直线l、m是空间中两条不同的直线,若α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m则
①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对.
[能力提升]
13.
如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
14.
如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
15.[2020·西安一中高三测试]在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面各边都相等,M为PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.
16.[2020·洛阳一中高三测试]
如图,VA⊥平面ABC,△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆,点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点,则下列结论正确的是________.(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC;
②OC⊥平面VAC;
③MN与BC所成的角为60°;
④MN⊥OP;
⑤平面VAC⊥平面VBC.
专练43 直线、平面垂直的判定与性质
1.D 如图ABCD为矩形,PA⊥面ABCD时,△PAB,△PAD为直角三角形,
又AD⊥DC,PA⊥DC,PA∩AD=A,
∴CD⊥面PAD,∴CD⊥PD,∴△PCD为直角三角形,同理△PBC为直角三角形,共4个直角三角形.
2.D 易知A、B、C均正确,D错误,m与n也可能异面.
3.C 当α∥β,b⊥β时,b⊥α,又a⊂α,∴b⊥a,故C正确.
4.C ∵A1B1⊥面BCC1B1,
BC1⊂面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,
又BC1⊥B1C且B1C∩A1B1=B1,
∴BC1⊥面A1B1CD,又A1E⊂面A1B1CD,
∴BC1⊥A1E.
5.B 连接B1D1,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴E∈B1D1且B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1,又A1C1∩CC1=C1,∴B1D1⊥面A1C1C,又CE⊂面A1C1C,∴B1D1⊥CE,又BD∥B1D1,∴BD⊥CE.
6.B 由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”,但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件,故选B.
7.C ∵α∩β=l,∴l⊂β,又∵n⊥β,
∴n⊥l.
8.注:解析图D 如图所示,连接AC,∵AA1⊥平面ABCD,∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1,∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,∵AA1=5,
∴tan∠ACA1=1,故选D.
9.C ∵AB=BC,E为AC的中点,∴EB⊥AC,同理DE⊥AC,又DE∩EB=E,∴AC⊥面BDE,又AC⊂面ACD,∴平面ACD⊥面BDE,同理平面ABC⊥面BDE.
10.外
解析:连结OA,OB,OC,OP,
∴△POA,△POB,△POC为直角三角形,
又PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,
∴O为△ABC的外心.
11.②④
解析:∵γ∩β=l,∴l⊂γ,又α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,∴l⊥α,∵γ∩β=l,∴l⊂β,又l⊥α,∴α⊥β,∴②④正确.
12.5
解析:
∵PA⊥面ABCD,又PA⊂面PAD,
∴面PAD⊥面ABCD;同理面PAB⊥面ABCD,
又PA⊥面ABCD,∴PA⊥CD,
又CD⊥AD,AD∩PA=A,
∴CD⊥面PAD,又CD⊂面PCD,
∴面PCD⊥面PAD,同理面PBC⊥面PAB,面PAB⊥面PAD,共有5对.
13.D ∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直,∴A不成立.又平面PAB⊥平面PAE,∴平面PAB⊥平面PBC也不成立.∵BC∥AD,∴BC∥平面PAD,
∴直线BC∥平面PAE也不成立.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∠PDA=45°,∴D正确.
14.C 因为D、F分别是AB、AC中点,所以BC∥DF,因为DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF.因为该几何体是正四面体,E是BC中点,所以BC⊥PE,BC⊥AE,因为PE∩AE=E,所以BC⊥平面PAE,因为BC∥DF,所以DF⊥平面PAE,又因为DF⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC,故A、B、D都成立.故选C.
15.BM⊥PC(DM⊥PC)
解析:
当BM⊥PC时,面MBD⊥面PCD,证明如下:
如图所示,∵PA⊥面ABCD,AB=AD,
∴PB=PD,又BC=CD,
∴△PBC≌△PCD,∴当BM⊥PC时,
DM⊥PC,∴PC⊥面MBD,又PC⊂面PCD,
∴平面MBD⊥面PCD.
16.①④⑤
解析:对于①,因为点M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC,又MN⊄平面ABC,所以MN∥平面ABC,故①正确;对于②,若OC⊥平面VAC,则OC⊥AC,而由题意知AB是圆O的直径,则BC⊥AC,故OC与AC不可能垂直,故②不正确;对于③,因为MN∥AC,且BC⊥AC,所以MN⊥BC,即MN与BC所成的角为90°,故③不正确;对于④,易得OP∥VA,VA⊥MN,所以MN⊥OP,故④正确;对于⑤,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC,又BC⊥AC,且AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,又BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故⑤正确.综上,应填①④⑤.
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