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  • 2021-06-11 发布

2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质教学案含解析新人教A版

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第4节 三角函数的图象与性质 考试要求 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).‎ ‎(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).‎ ‎2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义 域 R R ‎{x x≠kπ+}‎ 值域 ‎[-1,1]‎ ‎[-1,1]‎ R 最小 正周期 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 ‎[2kπ-π,2kπ]‎ 递减 区间 ‎[2kπ,2kπ+π]‎ 无 对称 中心 ‎(kπ,0)‎ 对称轴 方程 x=kπ+ x=kπ 无 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.‎ ‎2.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.‎ ‎3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(  )‎ ‎(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(  )‎ ‎(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(  )‎ ‎(4)y=sin|x|是偶函数.(  )‎ 解析 (1)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.‎ ‎(2)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.‎ ‎(3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中,是奇函数的是(  )‎ A.y=|cos x+1| B.y=1-sin x C.y=-3sin(2x+π) D.y=1-tan x 解析 选项A中的函数是偶函数,选项B,D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;因为y ‎=-3sin(2x+π)=3sin 2x,所以是奇函数,选C.‎ 答案 C ‎3.(老教材必修4P36T2改编)函数y=-cos+3的最小正周期为T,最大值为A,则(  )‎ A.T=π A= B.T= A= C.T=4π A= D.T=2π A=- 解析 T==4π,A=+3=.‎ 答案 C ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为(  )‎ A. B.1 C. D. 解析 cos =cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.‎ 答案 A ‎5.(2019·北京卷)函数f(x)=sin22x的最小正周期是________.‎ 解析 由降幂公式得f(x)=sin2 2x==-cos 4x+,所以最小正周期T==.‎ 答案  ‎6.(2018·江苏卷)已知函数y=sin(2x+φ) 的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.‎ 解析 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,得sin=±1.所以+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),又-<φ<,所以φ=-.‎ 答案 - 考点一 三角函数的定义域 ‎【例1】 (1)函数y=的定义域为________.‎ ‎(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为________.‎ 解析 (1)要使函数有意义,必须有 即 故函数的定义域为.‎ ‎(2)函数有意义,则即 解得 所以2kπ0)图象的一个对称中心为M,距离点M最近的一条对称轴为直线x=,则ω=________.‎ 解析 (1)因为函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,‎ 所以f(0)=f,所以1=a+,a=,‎ 所以g(x)=sin x+cos x=sin,‎ 函数g(x)的对称轴方程为x+=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),当k=0时,对称轴为直线x=,所以g(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称.‎ ‎(2)函数f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,因为图象的对称中心为M,距离点M最近的一条对称轴为x=,所以-=,即T=.故ω==3.‎ 答案 (1)C (2)3‎ 规律方法 1.对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.‎ ‎2.对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可.‎ ‎【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=(  )‎ A.- B. C.- D. 解析 (1)由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,‎ 得ω=.‎ 因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,‎ 即×+φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin.‎ 令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),‎ 故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),‎ 当k=0时,f(x)图象的对称中心坐标为.‎ ‎(2)f(x)=sin-cos=2sin,‎ 由题意可得f(0)=2sin=±2,‎ 即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈Z),‎ ‎∴θ=+kπ(k∈Z).‎ ‎∵|θ|<,∴k=-1时,θ=-.‎ 答案 (1)A (2)A 考点四 三角函数的单调性 多维探究 角度1 求三角函数的单调区间 ‎【例4-1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是(  )‎ A. B. C. D. ‎(2)函数f(x)=tan的单调递增区间是______.‎ 解析 (1)由2kπ-≤+≤2kπ+(k∈Z)得,‎ ‎4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),‎ 又x∈[-2π,2π],所以-≤x≤.‎ 故y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间为.故选A.‎ ‎(2)由kπ-<2x+0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.‎ 解析 由0得+<ωx+<ωπ+,‎ 又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,‎ 所以k∈Z,‎ 解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.‎ 又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,‎ 得k=0,所以ω∈.‎ 答案  规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ ‎【训练4】 (1)(角度1)已知函数f(x)=2sin,则函数f(x)的单调递减区间为(  )‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ ‎(2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(  )‎ A. B. C. D.π 解析 (1)函数的解析式可化为f(x)=-2sin.‎ 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)f(x)=cos x-sin x=cos,‎ 由题意得a>0,故-a+<,‎ 因为f(x)=cos在[-a,a]是减函数,‎ 所以解得00,∴当k=0时,ωmin=,故选D.‎ 答案 D ‎4.若f(x)为偶函数,且在上满足:对任意x10,则f(x)可以为(  )‎ A.f(x)=cos B.f(x)=|sin(π+x)|‎ C.f(x)=-tan x D.f(x)=1-2cos22x 解析 ∵f(x)=cos=-sin x为奇函数,∴排除A;f(x)=-tan x 为奇函数,∴排除C;f(x)=1-2cos22x=-cos 4x为偶函数,且单调增区间为(k∈Z),排除D;f(x)=|sin(π+x)|=|sin x|为偶函数,且在上单调递增.‎ 答案 B ‎5.(2019·昆明诊断)将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质(  )‎ A.周期为π,最大值为1,图象关于直线x=对称,为奇函数 B.周期为π,最大值为1,图象关于点对称,为奇函数 C.周期为π,最大值为1,在上单调递减,为奇函数 D.周期为π,最大值为1,在上单调递增,为奇函数 解析 将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos=sin 2x的图象,则函数g(x)的周期为π,最大值为1,在上单调递增,且为奇函数,故选D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎6.函数y=cos的单调递减区间为________.‎ 解析 由y=cos=cos,‎ 得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),‎ 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数的单调递减区间为(k∈Z).‎ 答案 (k∈Z)‎ ‎7.(2018·北京卷)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.‎ 解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,故f eq lc( c)(avs4alco1(f(π,4)))=1,-=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=.‎ 答案  ‎8.(2020·合肥调研)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是________(填序号).‎ ‎①f(x)的周期是;‎ ‎②f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0};‎ ‎③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;‎ ‎④f(x)的单调递减区间是,k∈Z.‎ 解析 函数f(x)的周期为2π,①错;f(x)的值域为[0,+∞),②错;当x=时,x-=≠,k∈Z,∴x=不是f(x)的对称轴,③错;令kπ-0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ 解 (1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,∴ω=2,f(x)=sin.‎ 令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),‎ 即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ ‎(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),令k=0,得f(x)在上的单调递减区间为.‎ B级 能力提升 ‎11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f(x)= 则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)是周期函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在处取得最大值 解析 作出函数f(x)的图象,如图所示,由图象可知函数f(x ‎)不是周期函数,所以A不正确;同时图象不关于原点对称,所以不是奇函数,所以B不正确;‎ 若x>0,则f=cos=(cos x-sin x),‎ f=sin=(cos x-sin x),‎ 此时f=f;‎ 若x≤0,则f=sin=(cos x+sin x),‎ f=cos=(cos x+sin x),‎ 此时f=f,综上,恒有f=f,即图象关于直线x=对称,所以C正确;当x=时,f=cos =0不是函数的最大值,所以D错误,故选C.‎ 答案 C ‎12.(2019·长沙模拟)已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点,设∠BPC=θ,若tan =,则f(x)图象的对称中心可以是(  )‎ A.(0,0) B.(1,0)‎ C. D. 解析 由已知作出图形,连接BC,过P作BC的垂线,如图所示.‎ 由题意知A=2.又∠BPC=θ,所以tan ==,解得BC=6,所以T=6=,又∵ω>0,解得ω=.所以f(x)=2sin.将点P(1,2)的坐标代入函数解析式,得2sin ‎=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).令k=0,得φ=,所以f(x)=2sin.令x+=mπ(m∈Z),解得x=3m-(m∈Z).令m=1,得x=,即f(x)图象的对称中心可以是.故选D.‎ 答案 D ‎13.若函数g(x)=sin在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 可得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ 又∵函数g(x)在区间和上均单调递增,‎ ‎∴解得≤a<.‎ 答案  ‎14.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.‎ ‎(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;‎ ‎(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.‎ 解 (1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)‎ ‎=sin 2x-cos 2x=sin.‎ 当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.‎ ‎(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),‎ ‎∴当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.‎ 又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.‎ ‎∴x1+x2=π,则x1=π-x2,‎ ‎∴cos(x1-x2)=cos=sin,‎ 又f(x2)=sin=,‎ 故cos(x1-x2)=.‎ C级 创新猜想 ‎15.(开放题)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x+1,将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变,再把所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=9,则|x1-x2|的值可以是________(答案不唯一,写出一个即可).‎ 解析 f(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=2sin,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,则所得图象对应的解析式为y=2sin,再将所得的函数图象向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=2sin+1的图象,则函数g(x)的值域为[-1,3],又g(x1)g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=g(x)max=3,则|x1-x2|=nT(n∈N,T为g(x)的最小正周期),又T=,故|x1-x2|=(n∈N),故可填.‎ 答案 (答案不唯一)‎