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- 2021-06-11 发布
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第4节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义
域
R
R
{x
x≠kπ+}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
最小
正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增
区间
[2kπ-π,2kπ]
递减
区间
[2kπ,2kπ+π]
无
对称
中心
(kπ,0)
对称轴
方程
x=kπ+
x=kπ
无
[常用结论与微点提醒]
1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.( )
(2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( )
(3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( )
(4)y=sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
(3)当k>0时,ymax=k+1;当k<0时,ymax=-k+1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中,是奇函数的是( )
A.y=|cos x+1| B.y=1-sin x
C.y=-3sin(2x+π) D.y=1-tan x
解析 选项A中的函数是偶函数,选项B,D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;因为y
=-3sin(2x+π)=3sin 2x,所以是奇函数,选C.
答案 C
3.(老教材必修4P36T2改编)函数y=-cos+3的最小正周期为T,最大值为A,则( )
A.T=π A= B.T= A=
C.T=4π A= D.T=2π A=-
解析 T==4π,A=+3=.
答案 C
4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A. B.1 C. D.
解析 cos =cos=sin,则f(x)=sin+sin=sin,函数的最大值为.
答案 A
5.(2019·北京卷)函数f(x)=sin22x的最小正周期是________.
解析 由降幂公式得f(x)=sin2 2x==-cos 4x+,所以最小正周期T==.
答案
6.(2018·江苏卷)已知函数y=sin(2x+φ) 的图象关于直线x=对称,则φ的值是________.
解析 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,得sin=±1.所以+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),又-<φ<,所以φ=-.
答案 -
考点一 三角函数的定义域
【例1】 (1)函数y=的定义域为________.
(2)函数y=lg(sin x)+的定义域为________.
解析 (1)要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为.
(2)函数有意义,则即
解得
所以2kπ0)图象的一个对称中心为M,距离点M最近的一条对称轴为直线x=,则ω=________.
解析 (1)因为函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,x∈R)的图象关于直线x=对称,
所以f(0)=f,所以1=a+,a=,
所以g(x)=sin x+cos x=sin,
函数g(x)的对称轴方程为x+=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),当k=0时,对称轴为直线x=,所以g(x)=sin x+acos x的图象关于直线x=对称.
(2)函数f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin,因为图象的对称中心为M,距离点M最近的一条对称轴为x=,所以-=,即T=.故ω==3.
答案 (1)C (2)3
规律方法 1.对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x即可.
2.对于可化为f(x)=Acos(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x即可.
【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且∀x∈R,有f(x)≤f成立,则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
(2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f(x)=sin-cos的图象关于y轴对称,则θ=( )
A.- B. C.- D.
解析 (1)由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,
得ω=.
因为f(x)≤f恒成立,所以f(x)max=f,
即×+φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,故f(x)=sin.
令x+=kπ(k∈Z),得x=2kπ-(k∈Z),
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z),
当k=0时,f(x)图象的对称中心坐标为.
(2)f(x)=sin-cos=2sin,
由题意可得f(0)=2sin=±2,
即sin=±1,∴θ-=+kπ(k∈Z),
∴θ=+kπ(k∈Z).
∵|θ|<,∴k=-1时,θ=-.
答案 (1)A (2)A
考点四 三角函数的单调性 多维探究
角度1 求三角函数的单调区间
【例4-1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)=tan的单调递增区间是______.
解析 (1)由2kπ-≤+≤2kπ+(k∈Z)得,
4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),
又x∈[-2π,2π],所以-≤x≤.
故y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间为.故选A.
(2)由kπ-<2x+0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
解析 由0得+<ωx+<ωπ+,
又y=sin x的单调递减区间为,k∈Z,
所以k∈Z,
解得4k+≤ω≤2k+,k∈Z.
又由4k+-≤0,k∈Z且2k+>0,k∈Z,
得k=0,所以ω∈.
答案
规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
【训练4】 (1)(角度1)已知函数f(x)=2sin,则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
解析 (1)函数的解析式可化为f(x)=-2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)f(x)=cos x-sin x=cos,
由题意得a>0,故-a+<,
因为f(x)=cos在[-a,a]是减函数,
所以解得00,∴当k=0时,ωmin=,故选D.
答案 D
4.若f(x)为偶函数,且在上满足:对任意x10,则f(x)可以为( )
A.f(x)=cos B.f(x)=|sin(π+x)|
C.f(x)=-tan x D.f(x)=1-2cos22x
解析 ∵f(x)=cos=-sin x为奇函数,∴排除A;f(x)=-tan x
为奇函数,∴排除C;f(x)=1-2cos22x=-cos 4x为偶函数,且单调增区间为(k∈Z),排除D;f(x)=|sin(π+x)|=|sin x|为偶函数,且在上单调递增.
答案 B
5.(2019·昆明诊断)将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有性质( )
A.周期为π,最大值为1,图象关于直线x=对称,为奇函数
B.周期为π,最大值为1,图象关于点对称,为奇函数
C.周期为π,最大值为1,在上单调递减,为奇函数
D.周期为π,最大值为1,在上单调递增,为奇函数
解析 将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos=sin 2x的图象,则函数g(x)的周期为π,最大值为1,在上单调递增,且为奇函数,故选D.
答案 D
二、填空题
6.函数y=cos的单调递减区间为________.
解析 由y=cos=cos,
得2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
7.(2018·北京卷)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,故f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(π,4)))=1,-=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=.
答案
8.(2020·合肥调研)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是________(填序号).
①f(x)的周期是;
②f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠0};
③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;
④f(x)的单调递减区间是,k∈Z.
解析 函数f(x)的周期为2π,①错;f(x)的值域为[0,+∞),②错;当x=时,x-=≠,k∈Z,∴x=不是f(x)的对称轴,③错;令kπ-0)的最小正周期为π.
(1)求函数y=f(x)的图象的对称轴方程;
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
解 (1)∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin,且T=π,∴ω=2,f(x)=sin.
令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),令k=0,得f(x)在上的单调递减区间为.
B级 能力提升
11.(2020·山西百日冲刺)已知函数f(x)=
则下列结论正确的是( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在处取得最大值
解析 作出函数f(x)的图象,如图所示,由图象可知函数f(x
)不是周期函数,所以A不正确;同时图象不关于原点对称,所以不是奇函数,所以B不正确;
若x>0,则f=cos=(cos x-sin x),
f=sin=(cos x-sin x),
此时f=f;
若x≤0,则f=sin=(cos x+sin x),
f=cos=(cos x+sin x),
此时f=f,综上,恒有f=f,即图象关于直线x=对称,所以C正确;当x=时,f=cos =0不是函数的最大值,所以D错误,故选C.
答案 C
12.(2019·长沙模拟)已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点,设∠BPC=θ,若tan =,则f(x)图象的对称中心可以是( )
A.(0,0) B.(1,0)
C. D.
解析 由已知作出图形,连接BC,过P作BC的垂线,如图所示.
由题意知A=2.又∠BPC=θ,所以tan ==,解得BC=6,所以T=6=,又∵ω>0,解得ω=.所以f(x)=2sin.将点P(1,2)的坐标代入函数解析式,得2sin
=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).令k=0,得φ=,所以f(x)=2sin.令x+=mπ(m∈Z),解得x=3m-(m∈Z).令m=1,得x=,即f(x)图象的对称中心可以是.故选D.
答案 D
13.若函数g(x)=sin在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是________.
解析 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
可得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增,
∴解得≤a<.
答案
14.已知函数f(x)=sinsin x-cos2x+.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值;
(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.
解 (1)f(x)=cos xsin x-(2cos2x-1)
=sin 2x-cos 2x=sin.
当2x-=+2kπ(k∈Z),即x=π+kπ(k∈Z)时,函数f(x)取最大值,且最大值为1.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=π+kπ(k∈Z),
∴当x∈(0,π)时,对称轴为x=π.
又方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2.
∴x1+x2=π,则x1=π-x2,
∴cos(x1-x2)=cos=sin,
又f(x2)=sin=,
故cos(x1-x2)=.
C级 创新猜想
15.(开放题)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x+1,将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变,再把所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若g(x1)g(x2)=9,则|x1-x2|的值可以是________(答案不唯一,写出一个即可).
解析 f(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=2sin,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,则所得图象对应的解析式为y=2sin,再将所得的函数图象向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=2sin+1的图象,则函数g(x)的值域为[-1,3],又g(x1)g(x2)=9,所以g(x1)=g(x2)=g(x)max=3,则|x1-x2|=nT(n∈N,T为g(x)的最小正周期),又T=,故|x1-x2|=(n∈N),故可填.
答案 (答案不唯一)
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