【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：8-5-3　平面与平面平行 9页

‎8.5.3　平面与平面平行 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.(多选题)(2020安徽安庆检测)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 解析对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.‎ 若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.‎ 所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;‎ 对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.‎ 若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.‎ 所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;‎ 对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;‎ 对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,则α∥β,‎ 所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.‎ 答案CD ‎2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.矩形 B.菱形 ‎ C.平行四边形 D.正方形 解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.‎ 答案C ‎3.‎ 如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)‎ A.平面 B.直线 C.线段,但只含1个端点 D.圆 解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,‎ ‎∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),‎ 则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).‎ 答案C ‎4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(　　)‎ A.BD1∥GH B.BD∥EF C.平面EFGH∥平面ABCD D.平面EFGH∥平面A1BCD1‎ 解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;‎ 易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;‎ 因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;‎ 因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.‎ 答案D ‎5.(2020辽宁大连模拟)已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是(　　)‎ A.l∥β,l⊂α⇒α∥β B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β 解析如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.‎ 答案D ‎6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:‎ ‎①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.‎ 其中正确结论的序号是　　　　　. ‎ 解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.‎ 答案①②③④‎ ‎7.‎ 如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　　. ‎ 解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',‎ 从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',‎ ‎.‎ 答案 ‎8.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.‎ 证明在△PAD中,‎ ‎∵PM∶MA=PQ∶QD,‎ ‎∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.‎ 而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,‎ ‎∴NQ∥平面PBC.‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,‎ ‎∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,‎ ‎∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.‎ ‎9.‎ 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?‎ 解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.‎ 证明如下.‎ ‎∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.‎ ‎∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.‎ ‎∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.‎ 又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎10.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.‎ 求证:平面BCE∥平面ADF.‎ 证明∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴BC∥AD,‎ 又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,‎ ‎∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,‎ ‎∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,‎ 又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,‎ ‎∴BE∥平面ADF.‎ 又BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,‎ ‎∴平面BCE∥平面ADF.‎ 能力提升练 ‎1.‎ 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为(　　)‎ A.2 B.2‎ C.2 D.4‎ 解析由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=,所以四边形A1ECF为菱形.‎ 又因为A1C=2,EF=2,‎ 故截面面积为2.‎ 答案C ‎2.‎ ‎(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有(　　)‎ A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCF 解析展开图可以折成如图①所示的正方体.‎ ‎①‎ ‎②‎ 在正方体中,连接AN,如图②所示.‎ ‎∵AB∥MN,且AB=MN,‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.‎ ‎∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;‎ ‎③‎ 如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.‎ 答案ABCD ‎3.(多选题)α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是(　　)‎ A.⇒a∥b B.⇒a∥b C.⇒α∥β D.⇒α∥β 解析对于A,由平行线的传递性可知,A正确;‎ 对于B,两条直线都与同一个平面平行,则这两条直线可能相交,也可能异面,故B不正确;‎ 对于C,两个平面都与同一条直线平行,则这两个平面可以平行,也可以相交,故C不正确;‎ 对于D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行,故D正确.‎ 答案AD ‎4.(2020江西吉安检测)如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则(　　)‎ A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABED C.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF 解析如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,‎ 则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM,且DE=FM.‎ ‎∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,‎ ‎∴AB∥DE,∴AB∥FM.‎ 又AB=DE,∴AB=FM,‎ ‎∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.‎ 又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,‎ ‎∴BF∥平面ACGD.故选A.‎ 答案A ‎5.(2020山东东营模拟)已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是　　　　　. ‎ 解析在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ.‎ 设γ∩β=l,则l⊂β.∵a∥β,∴a∥l,∴l∥α.‎ 又b∥α,‎ ‎∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.‎ 答案平行 ‎6.(2020全国高一课时练习)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　　　. ‎ 解析由题意,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则平面MNE∥平面ACB1,故有平面BB1C1C ∩平面MEN=EN,则由面面平行的性质定理可得EN∥B1C,同理可得EM∥B1A.又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点,∴MN=AC,即.‎ 答案 ‎7.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.‎ 求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.‎ 证明在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.‎ ‎∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.‎ 又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.‎ ‎∵AP⊂平面PAB,∴AP∥平面EFG.‎ ‎8.‎ 如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:‎ ‎(1)GE∥平面BB1D1D;‎ ‎(2)平面BDF∥平面B1D1H.‎ 证明(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=B1C1.‎ 因为BE∥B1C1,且BE=B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.‎ 所以OB∥GE.‎ 因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.‎ ‎(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,‎ 所以B1D1∥平面BDF.‎ 因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,‎ 所以HD1∥平面BDF.‎ 又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.‎ 素养培优练 ‎　(2019湖南高一月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.‎ ‎(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;‎ ‎(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE?‎ ‎(1)证明因为E,F分别为PD,AD的中点,‎ 所以EF∥PA.‎ 因为EF⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,‎ 所以EF∥平面PAB.‎ 又因为AD=2BC,F为AD的中点,所以AF=BC.‎ 又因为AF∥BC,所以四边形ABCF是平行四边形,所以CF∥AB.‎ 因为CF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,‎ 所以CF∥平面PAB.‎ 又因为EF⊂平面CEF,CF⊂平面CEF,EF∩CF=F,所以平面CEF∥平面PAB.‎ ‎(2)解连接BD,设AC∩BD=O,连接OE.‎ 因为PB∥平面CEA,PB⊂平面PDB,平面CEA∩平面PDB=OE,‎ 所以OE∥PB,所以.‎ 在梯形ABCD中,AD∥BC,所以△AOD∽△COB.‎ 又AD=2BC,所以,‎ 所以,‎ 所以E为线段PD上靠近P点的三等分点.‎