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- 2021-06-12 发布
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第3课时 空间向量与空间角
学习目标：1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角θ
设l1与l2的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角θ
设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos|＝
二面角αlβ的平面角θ
设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos|＝
[0，π]
思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] (1)设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
(2)
条件
平面α，β的法向量分别为u，υ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，υ〉＝φ，
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．思考辨析
(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值．( )
13
(2)两条异面直线所成的角，不可能为钝角．( )
(3)二面角的余弦值等于二面角的两个半平面的法向量所成角的余弦值．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选B．]
3．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为________.
【导学号：46342174】
[如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)．
∴＝(1,1,0)，＝(0,1,3)，
cos〈，〉＝
＝＝＝.
综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求两条异面直线所成的角
如图3220，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
13
图3220
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉
＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
[规律方法] 1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可．
2．由于两异面直线夹角θ的范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意．
[跟踪训练]
1．已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为，
13
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，
∴E点坐标为，
＝，
＝(－1,0，－1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
故异面直线所成角的余弦值为.故选C．]
求直线与平面所成的角
如图3221，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
图3221
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【导学号：46342175】
[思路探究] (1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
13
又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
(2)如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
[规律方法] 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
[跟踪训练]
2.如图3222，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，
13
AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
图3222
(1)求证：PD⊥平面PAB．
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．
又因为PA⊥PD，
所以PD⊥平面PAB．
(2)取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD．
又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD．
如图，建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝2，则x＝1，y＝－2.
所以n＝(1，－2,2)．
13
又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)设M是棱PA上一点，
则存在λ∈[0,1]使得＝λ.
因此点M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．
因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.
解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.
求二面角
[探究问题]
1．建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？
提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系．
2．如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？
提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.
法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
如图3223，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
图3223
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值.
【导学号：46342176】
[思路探究] (1)先证线面垂直，再证面面垂直；
13
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．
因为AB∥CD，所以AB⊥PD．
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．
因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由(1)及已知可得A，P，B，C，
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则
即
所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.
所以二面角APBC的余弦值为－.
[规律方法] 利用向量法求二面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
(5)确定二面角的大小．
13
[跟踪训练]
3．如图3224，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
图3224
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．
[解] (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
故所求的角为60°.
[当 堂 达 标·固 双 基]
13
1.如图3225，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
图3225
A． B．
C． D．
D [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1.
则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，
cos〈，〉＝
＝＝－，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.]
2．正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
【导学号：46342177】
A． B． C． D．
B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)
∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)
13
∴令x＝1，∴n＝(1,1,1)，又∵＝(0,0,1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为＝.]
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
B [如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．
取PD中点为E，
则E，∴＝，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos<，>＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.]
4．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．
± [设a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)，则cos〈a，b〉＝＝，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±.]
5．如图3226，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
【导学号：46342178】
图3226
13
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．
[解] (1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC．
又因为EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BP＝BQ＝2，
则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得
取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得取z2＝1，得n＝(0,2,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角DGHE为钝角，
13
所以二面角DGHE的余弦值为－.
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