2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.2 向量的减法运算 9页

6.2.2 向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 知识点一 相反向量 1.定义：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点二 向量的减法 1.定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向 量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则向量 a－b＝BA→，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起 点，被减向量的终点为终点的向量. 思考 若 a，b 是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，设OA→ ＝a，OB→ ＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义， 有OC→ ＝a＋b，BA→＝a－b.因为四边形 OACB 是平行四边形，所以|a＋b|＝|OC→ |，|a－b|＝|BA→|， 分别是以 OA，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.相反向量就是方向相反的向量.( × ) 提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系. 2.向量AB→与BA→是相反向量.( √ ) 提示 AB→与BA→大小相等、方向相反. 3.a－b＝b－a.( × ) 提示 向量减法不满足交换律. 4.两个相等向量之差等于 0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 一、向量的减法运算 例 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－c. 解 方法一 如图①，在平面内任取一点 O，作OA→ ＝a，AB→＝b，则OB→ ＝a＋b，再作OC→ ＝c， 则CB→＝a＋b－c. 方法二 如图②，在平面内任取一点 O，作OA→ ＝a，AB→＝b，则OB→ ＝a＋b，再作CB→＝c，连 接 OC，则OC→ ＝a＋b－c. 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然后作 a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量 的终点，指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练 1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA→ ＝a，OB→ ＝b，OC→ ＝c.求作：b＋c－a. 解 方法一 以OB→ ，OC→ 为邻边作▱OBDC，连接 OD，AD， 则OD→ ＝OB→ ＋OC→ ＝b＋c，AD→ ＝OD→ －OA→ ＝b＋c－a. 方法二 作CD→ ＝OB→ ＝b， 连接 AD，则AC→＝OC→ －OA→ ＝c－a， AD→ ＝AC→＋CD→ ＝c－a＋b＝b＋c－a. 二、向量减法法则的应用 例 2 (1)化简：(AD→ －BM→ )＋(BC→－MC→ )＝________. 答案 AD→ 解析 原式＝AD→ ＋MB→ ＋BC→－MC→ ＝AD→ ＋MC→ －MC→ ＝AD→ . (2)如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点，且BP→＝QC→ ，则化简AB→＋AC→－AP→－AQ→ 的结果 为( ) A.0 B.BP→ C.PQ→ D.PC→ 答案 A 解析 AB→＋AC→－AP→－AQ→ ＝(AB→－AP→)＋(AC→－AQ→ )＝PB→＋QC→ ＝QC→ －BP→＝0. 反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 跟踪训练 2 如图，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，OA→ ＝a，OB→ ＝b，OC→ ＝c，则OD→ ＝ ________. 答案 a＋c－b 解析 由已知AD→ ＝BC→， 则OD→ ＝OA→ ＋AD→ ＝OA→ ＋BC→＝OA→ ＋OC→ －OB→ ＝a＋c－b. 1.在△ABC 中，若BA→＝a，BC→＝b，则CA→等于( ) A.a B.a＋b C.b－a D.a－b 答案 D 解析 CA→＝BA→－BC→＝a－b. 2.化简OP→ －QP→ ＋PS→＋SP→等于( ) A.QP→ B.OQ→ C.SP→ D.SQ→ 答案 B 解析 原式＝(OP→ ＋PQ→ )＋(PS→＋SP→)＝OQ→ ＋0＝OQ→ . 3.已知在四边形 ABCD 中，DB→ －DA→ ＝AC→－AD→ ，则四边形 ABCD 一定是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 由DB→ －DA→ ＝AC→－AD→ ，可得AB→＝DC→ ， 所以四边形 ABCD 一定是平行四边形. 4.下列等式成立的个数是( ) ①a＋b＝b＋a； ②a－b＝b－a； ③0－a＝－a； ④－(－a)＝a； ⑤a＋(－a)＝0. A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B 解析 由题意知，①③④⑤成立. 5.(多选)下列各向量运算的结果与AC→相等的有( ) A.AO→ ＋OC→ B.AO→ －OC→ C.OA→ －OC→ D.OC→ －OA→ 答案 AD 解析 由题意知，AD 正确. 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则. 1.如图所示，在▱ABCD 中，AB→＝a，AD→ ＝b，则用 a，b 表示向量AC→和BD→ 分别是( ) A.a＋b 和 a－b B.a＋b 和 b－a C.a－b 和 b－a D.b－a 和 b＋a 答案 B 解析 由向量的加法、减法法则， 得AC→＝AB→＋AD→ ＝a＋b， BD→ ＝AD→ －AB→＝b－a. 2.AB→－CB→－DC→ ＋DE→ 等于( ) A.AB→ B.AE→ C.BE→ D.CD→ 答案 B 3.下列各式中，恒成立的是( ) A.AB→＝BA→ B.a－a＝0 C.AB→－AC→＝BC→ D.AB→－CB→＋CA→＝0 答案 D 解析 选项 D 中，AB→－CB→＋CA→＝AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0. 4.(多选)下列四个式子中可以化简为AB→的是( ) A.AC→＋CD→ －BD→ B.AC→－CB→ C.OA→ ＋OB→ D.OB→ －OA→ 答案 AD 5.如图，在四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→ ＝b，BC→＝c，则DC→ 等于( ) A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c 答案 A 解析 DC→ ＝AC→－AD→ ＝AB→＋BC→－AD→ ＝a＋c－b＝a－b＋c. 6.OB→ －OA→ －OC→ －CO→ ＝________. 答案 AB→ 解析 OB→ －OA→ －OC→ －CO→ ＝(OB→ －OA→ )－(OC→ ＋CO→ ) ＝AB→－0＝AB→. 7.若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB→－CB→＋CD→ |＝________. 答案 2 解析 |AB→－CB→＋CD→ |＝|AB→＋BC→＋CD→ |＝|AD→ |＝2. 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB→－BC→|的值为________. 答案 3 解析 如图，作菱形 ABCD， 则|AB→－BC→|＝|AB→－AD→ | ＝|DB→ |＝ 3. 9.如图，已知 a，b，求作 a－b. 解 如图，BA→即为所求作的 a－b. 10.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试求：|a－b＋c|. 解 作BF→＝AC→，连接 CF(图略)，则DB→ ＋BF→＝DF→ ， 而DB→ ＝AB→－AD→ ＝AB→－BC→＝a－b， ∴a－b＋c＝DB→ ＋BF→＝DF→ 且|DF→ |＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 11.若|AB→|＝5，|AC→|＝8，则|BC→|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 答案 C 解析 ∵|BC→|＝|AC→－AB→|且||AC→|－|AB→||≤|AC→－AB→|≤|AC→|＋|AB→|， ∴3≤|AC→－AB→|≤13，∴3≤|BC→|≤13. 12.平面上有三点 A，B，C，设 m＝AB→＋BC→ ，n＝AB→－BC→ ，若 m，n 的长度恰好相等，则 ( ) A.A，B，C 三点必在同一直线上 B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC＝90° D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案 C 解析 如图所示，作▱ABCD， 则AB→＋BC→＝AC→， AB→－BC→＝AB→－AD→ ＝DB→ . ∵|m|＝|n|，∴|AC→|＝|DB→ |. ∴▱ABCD 为矩形， ∴△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°. 13.已知OA→ ＝a，OB→ ＝b，若|OA→ |＝12，|OB→ |＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 答案 13 解析 ∵|OA→ |＝12，|OB→ |＝5，∠AOB＝90°， ∴|OA→ |2＋|OB→ |2＝|AB→|2，∴|AB→|＝13. ∵OA→ ＝a，OB→ ＝b， ∴a－b＝OA→ －OB→ ＝BA→，∴|a－b|＝|BA→|＝13. 14.如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设AB→＝a，DA→ ＝b，OC→ ＝c. 证明：b＋c－a＝OA→ . 证明 b＋c－a＝DA→ ＋OC→ －AB→＝CB→＋OC→ －AB→＝OB→ －AB→＝OB→ ＋BA→＝OA→ . 15.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，且|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→ |＝ ________. 答案 2 解析 以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ACDB， 由向量加减法的几何意义可知， AD→ ＝AB→＋AC→，CB→＝AB→－AC→， ∵|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|， ∴|AD→ |＝|CB→|， 又|BC→|＝4，M 是线段 BC 的中点， ∴|AM→ |＝1 2|AD→ |＝1 2|BC→|＝2. 16.如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c， 试用 a，b，c 表示向量BD→ ，BC→，BE→，CD→ 及CE→. 解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴CD→ ＝AE→＝c， BC→＝AC→－AB→＝b－a， BE→＝AE→－AB→＝c－a， CE→＝AE→－AC→＝c－b， ∴BD→ ＝BC→＋CD→ ＝b－a＋c.