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- 2021-06-12 发布
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专题跟踪训练(三十二)
1．(2018·广州二模)设函数 f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式 f(x)>4；
(2)若∀x∈(－∞，－3
2)，不等式 a＋14⇔Error!
或Error!或Error!
⇔x<－2 或 01.
∴不等式 f(x)>4 的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)由(1)知，当 x<－3
2
时，f(x)＝－3x－2，
∵当 x<－3
2
时，f(x)＝－3x－2>5
2
，
∴a＋1≤5
2
，即 a≤3
2
.
∴实数 a 的取值范围为(－∞，3
2].
2．(2018·河南新乡二模)已知函数 f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式 f(x)≤2 的解集；
(2)若直线 y＝kx－2 与函数 f(x)的图象有公共点，求 k 的取值范围．
[解] (1)由 f(x)≤2，得Error!或Error!或Error!解得 0≤x≤5，故
不等式 f(x)≤2 的解集为[0,5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝Error!
作出函数 f(x)的图象，如图所示，
易知直线 y＝kx－2 过定点 C(0，－2)，
当此直线经过点 B(4,0)时，k＝1
2
；
当此直线与直线 AD 平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪[1
2
，＋∞).
3．(2018·大庆二模)已知 f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，g(x)＝－x2＋2mx.
(1)求不等式 f(x)>4 的解集；
(2)若对任意的 x1，x2，f(x1)≥g(x2)恒成立，求 m 的取值范围．
[解] (1)解法一：不等式 f(x)>4 即|x＋3|＋|x－1|>4.
可得Error!或Error!
或Error!
解得 x<－3 或 x>1，所以不等式的解集为{x|x<－3 或 x>1}．
解法二：|x＋3|＋|x－1|≥|x＋3－(x－1)|＝4，
当且仅当(x＋3)(x－1)≤0，即－3≤x≤1 时，等号成立．
所以不等式的解集为{x|x<－3 或 x>1}．
(2)依题意可知 f(x)min≥g(x)max，
由(1)知 f(x)min＝4，
因为 g(x)＝－x2＋2mx＝－(x－m)2＋m2，
所以 g(x)max＝m2.
由 m2≤4 得 m 的取值范围是－2≤m≤2.
4．(2018·西安一模)设 a、b 为正实数，且1
a
＋1
b
＝2 2.
(1)求 a2＋b2 的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求 ab 的值．
[解] (1)由 2 2＝1
a
＋1
b
≥2 1
ab
得 ab≥1
2
，
当 a＝b＝ 2
2
时取等号．
故 a2＋b2≥2ab≥1，当 a＝b＝ 2
2
时取等号．
所以 a2＋b2 的最小值是 1.
(2)由1
a
＋1
b
＝2 2可得 a＋b＝2 2ab，
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝8a2b2－4ab≥4(ab)3，
∴(ab)2－2ab＋1≤0，即(ab－1)2≤0，
∴ab－1＝0，即 ab＝1.
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