2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析) 18页

t ൌ 1 ݔ 䁣 S ሼ D. 䁥 ൌ 1 ݔ t S ሼ C. t ൌ 1 ݔ 䁥 S ሼ B. t ൌ 1 ݔ 16 S ሼ 䁧A. 平行，则双曲线的方程为 ሼ S ݔ 3 ൌ 的焦点到渐近线的距离为 2，且双曲线的一条渐近线与直线 ൌ 1䁧 䁣 ݔ S ሼ 已知双曲线 1. ሼ ݔ ൌ .ሼ ʹ댳ݔ D. ሼ ݔ ൌ 1 1ሼC. ݔ ൌ 1ሼ B. ݔ ൌ ሼ 䁧 A. 关于年数 x 的函数关系较为近似的是 公顷 ݔ䁧 公顷，则沙漠增加面积 䁤䁥3.䁤 3䁥䁥.6公顷和 公顷、 1䁥䁣. 某地区植被破坏，土地沙化越来越重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为 䁥. 6 䁣 3 D. 6 䁣 3 S C. 䁣 3 B. 6 䁧䁣 䁧A. 的取值范围是 ݖ ൌ ሼ ݔ ，则 䳌䁥ሼ ݔ 댳ሼ ሼ 若 䁣. D. 1792 S 1䁤䁥 B. 1120 C. S 11 䁧A. 项的系数是 ሼ 的展开式中 䁣 ሼ 1 䁧ሼ S ，则二项式 䳌䁥ሼ ሼ ൌ 设 䁤. .6 D. .䁤 C. .䁣 B. .䁥 䁧A. ，则事件 A 对立事件发生的概率为 . 在试验中，若事件 A 发生的概率为 6. 3 D. 3 S C. 1 B. 1 S 䁧A. 方向上的投影为 在 ，则向量 ൌ 3 ， ൌ ൌ 1 中， 在 . ሻ ሻ D. ሻ ሻ C. ሻ ሻ B. ሻ ሻ 䁧A. 的大小关系为 䁣䁣 ，则 ൌ 䁧1 ， ൌ 䁧log.3 ， . ൌ 䁧 ，记 䁧ሼ ൌ lg䁧 ሼ 1 已知函数 t. 䁧 S 䁣 S 1 䁧3䁣 D. 䁧 S 䁣 S 1 3䁣 䁧 S 1䁣3C. B. S 1䁣3 䁧A. ”是真命题，则实数 a 的取值范围是 䁧 S 1ሼ 1 ሻ ሼ ， ሼ 若命题“ 3. B. 5 C. 3 D. 1 ݖ ൌ 䁧A. ，则 䁧䁣 S 1 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 . 䁧1䁣t D. 䁣t 1 䁧 C. 1 䁣 ൌ 䁧A. B. ，则 ൌ ሼ S 1ሼ S 1 ， ൌ ሼݔ ൌ ሼ S t 已知集合 1. 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(理科) 2020 的公比 䁥 ，求 t ൌ 1 ， 1 ൌ 1 满足 䁥 设等比数列 䁧 的通项公式； 䁥 求 䁧1 ． 䁥 3 ൌ ，前 3 项和 3 ൌ 满足 䁥 已知等差数列 1䁤. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 恒成立，则 k 的最大值______． ሼ 䁧䁣 ，对于任意的 S 1 ሼ ʹ䁥ሼ ሼ 已知不等式 16. ______． ൌ ，则 ൌ ，若 点 A 在第一象限 䁧 两点， 的直线 l 与该抛物线分别交于 A，B 3 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 ൌ ሼ䁧 ݔ 已知抛物线 1. _________． ൌ 则角 t . 1 ൌ 的面积 ，且 䁧䳌䁥 S 䳌䁥 ൌ 䳌䁥 䳌䁥 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 在 1t. ________． ൌ 平行，则实数 ሼ S ݔ S 6 ൌ 处的切线与直线 䁧1䁣 在点 ሼ ݔ ൌ 3ሼ 已知曲线 13. 16二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） D. 䁣 C. t B. 䁧A. 的外接球表面积是 S ，则三棱锥 6 与平面 PBC 所成角的正切值是 ，PM 垂直于 BC 于 M，且直线 AM ൌ ൌ 1 中，PA、PB、PC 互相垂直， S 三棱锥 1. 11 3 D. C. 11 B. A. 的最小值为 䁪 S 䁥 成立，则 䁧䁪 䁧ሼ 䁧䁥 任意实数 x 总有 的最大值为 M，若存在实数 m，n，使得对 t t cos ሼ S ሼ ൌ sin ሼ 已知函数 .11 ．是否为定值？说明理由 1 分别为直线 AC，AD 的斜率，当 k 变动时， ， 1 设 䁧 求椭圆的方程； 䁧1 且与椭圆交于 C，D 两点． 䁧䁣1 在椭圆上，斜率为 k 的直线 l 过点 䁧䁣 S ，点 3 3 的离心率为 ൌ 1䁧 ݔ ሼ 19. 已知椭圆 的余弦值． က S S 求二面角 䁧 平面 PBE； 证明： 䁧1 面 PAD 是正三角形，E 是 AD 中点． 底面 ABCD，且侧 က ，侧面 က ൌ 中，底面 ABCD 为矩形且 S က 如图，在四棱锥 .18 ； 䁧o X 为选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的人数，求 X 的分布列和数学期望 现有 2 名大学毕业生在这 15 座城市中各随机选择一座城市就业，且 2 人的选择相互独立记 Ⅱ 䁧 8500 元的城市的概率； 若某大学毕业生从这 15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于 Ⅰ 䁧 示． 市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所 培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在 15 个城 21. 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住 时，证明不等式 ． ሼ ݔ S 1 当 䁧 的单调性； 䁧ሼ 讨论 䁧1 已知函数 ． .20 ．的最小值 ݖ ݔ ሼ ，求 ሼ ݔ 3ݖ ൌ 1 已知实数 x，y，z 满足 䁧 的定义域为 R，试求 a 的取值范围； 䁧ሼ ൌ ሼ 1 ሼ S S 设函数 䁧1 23. 的值． 䁪 交于 O，N，求 3 交于 O，M，与 C 已知射线 l 与 C 䁧 的普通方程； 1 写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 C 䁧1 的极坐标方程为 ． 3 系，曲线 ；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 ൌ t 䁧ݔ S ሼ 的方程为 ，曲线 参数 的参数方程为 为 1 ，曲线 ݔ ൌ 3ሼ䁧ሼ 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，射线 l： 只需写出结论 䁧 的大小． 与 1 ，判断 ，月平均期望薪资对应数据的方差为 1 记图中月平均收入薪资对应数据的方差为 Ⅲ 䁧 ：解析 4.答案：A 故选 D． ． 3 ，或 ሻS 1 解得 ， S S 3 S t ൌ ൌ 䁧 S 1 所以 ”是真命题， 䁧 S 1ሼ 1 ሻ ሼ ， ሼ 解：因为命题“ 结合二次函数图象，得到关于 a 的不等式，求解即可． 本题考查全称量词命题，属于基础题． 解析： 3.答案：D 本题考查复数求模，涉及复数的几何意义，属基础题． ，由复数的模长公式可得． ݖ ൌ S 䳌 由复数的几何意义可得 ൌ 故选：A 䁧 S 1 ݖ ൌ ， ݖ ൌ S 䳌 解析：解：由题意可得 2.答案：A 故选 B 1 ൌ 䁣 则 ， ሼ ሻ t 得 由 䁣 1 ሼ ，由 B 知 ሼ t 解：由 A 知 本题考查集合的运算，求出 A 和 B 即得，属基础题． 解析： 1.答案：B 答案与解析】】 ．程思想，是基础题 本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 利用对立事件概率计算公式直接求解． 故选：B． ． 䁧 ൌ 1 S 䁧 ൌ 1 S . ൌ .䁣 事件 A 对立事件发生的概率为： ， . 在试验中，若事件 A 发生的概率为 解析：解： 6.答案：B 本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键． 根据余弦定理求出角 A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可． 故选：A． ， 1 1 ൌS 11댳1 ൌ 方向上的投影为 在 向量 ， ൌ 1 ， 1 11 ൌS 11S3 ൌ S 댳 ൌ ， ൌ 3 ， ൌ ൌ 1 中， 解析：解： 5.答案：A 故选：A． ． ሻ ሻ ； . 3 ሻ 䁧1 ሻ 䁧 1 䁧ʹ댳ݔ. ； . 3 ሻ 1 ሻ 1 ሻ ʹ댳ݔ. ； 3 ሻ ʹ댳ݔ.. ൌ 1 1 ሻ ʹ댳ݔ. ， ൌ 1 . ； 3 1 ൌ 䁧log.3 ൌ 䁧 S log.3 ൌ 䁧ʹ댳ݔ. 上单调递增； 䁣 是偶函数，在 䁧ሼ 解： 上的单调性即可得出 a，b，c 的大小关系． 䁣 在 䁧ሼ ，从而由 . 3 ሻ 1 ሻ 1 ʹ댳ݔ. ሻ ，并且可以得出 3 1 ൌ 䁧ʹ댳ݔ. 上单调递增，从而得出 䁣 是偶函数，并且在 䁧ሼ 可以看出， ．故选：D ， 6 䁣 3 故 z 的取值范围是 ， 6 ൌ 3 3 6 ݖ ൌ 此时 ， 3 6 䁣 䁧 ，即切点坐标为 3 6 ൌ ݔ ൌ cos ，此时 6 ሼ ൌ 解得 ， 1 䳌䁥ሼ ൌ 得 1 S 䳌䁥ሼ ൌS 由 ， 1 ൌS 目标函数的斜率 ， ̵䁧ሼ ൌS 䳌䁥ሼ 的导数 ݔ ൌ 댳ሼ 函数 z 最大， 相切时，直线的截距最大，此时 ݔ ൌ 댳ሼ 与 ݖ ሼ 1 ݔ ൌS 当直线 ， ݖ ൌ 的截距最小，此时 z 最小， ݖ ሼ 1 ݔ ൌS 直线 可知当直线经过点 O 时， ，由图象 ݖ ሼ 1 ݔ ൌS ，平移直线 ݖ ሼ 1 ݔ ൌS ，得 ݖ ൌ ሼ ݔ 由 解析：解：作出不等式组对应的平面区域， 8.答案：D 性质，属于中档题． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的 可． 利用定积分求出 a，通过二项式定理的通项公式求出通项，通过 x 的指数为 2 求出项数，然后求解即 故选：B． ． ൌ 11 t t 䁣 项的系数为： ሼ 代入得展开式中 ． ൌ t ，解得 ൌ 3 䁣 S ，令 䁣S 3 䁣S ሼ 䁣 ൌ 䁧 S 1 ሼ 1 䁧 S 䁣S 䁧ሼ 1 ൌ 䁣 所以 ， 1 ，设展开式中第 r 项为 䁣 ሼ 1 䁧ሼ S 二项式为 ， ൌ 䳌䁥ሼ ሼ ൌ 䁧 S 댳ሼ ൌ 解析：解：由题意 答案：B.7 ．的最小值 䁪 S 䁥 的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出 䁧ሼ 根据题意，利用三角恒等变换化简函数 本题考查了诱导公式以及三角函数的周期性和最值问题，是中档题． 解析： 11.答案：B 故选：A． ． t ൌ 1 ݔ 16 S ሼ 所求双曲线方程为： ， ൌ t ，解得 1 ൌ 平行，可得 ሼ S ݔ 3 ൌ 双曲线的一条渐近线与直线 ， ൌ 的焦点到渐近线的距离为 2，可得 ൌ 1䁧 䁣 ݔ S ሼ 解：双曲线 得到双曲线方程． 平行，求出 a，b，即可 ሼ S ݔ 3 ൌ 利用焦点到渐近线的距离为 2，双曲线的一条渐近线与直线 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 解析： 10.答案：A 故选 C． ，2，3 时，相差较大，不符合题意； ሼ ൌ 1 对于 D， ，2，3 时，y 值都近似符合题意； ሼ ൌ 1 对于 C， ，3 时，相差较大，不符合题意； ሼ ൌ 时，符合题意， ሼ ൌ 1 对于 B， 时，相差较大，不符合题意； ሼ ൌ 3 ，2 时，符合题意， ሼ ൌ 1 解：对于 A， ，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论． ሼ ൌ 1 利用所给函数，分别令 本题考查函数模型的选择方法，考查学生的计算能力，属于基础题． 解析： 9.答案：C 键．综合性较强． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切点坐标是解决本题的关 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义结合导数求出切线斜率，即可得到结论． 解：因为 ൌ sinሼ cosሼ， 所以 䁧ሼ 的最大值 ൌ ． 由题意知， 䁧䁪 为 䁧ሼ 的最小值， 䁧䁥 为 䁧ሼ 的最大值， 所以 ， 所以 䁪 S 䁥 的最小值为 ， 故选 B． 12.答案：B 解析： 此题考查三棱锥 S 的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 解：M 是线段 BC 上一动点，连接 PM， 、PB、PC 互相垂直， 就是直线 AM 与平面 PBC 所成角， 当 时，直线 AM 与平面 PBC 所成角的正切值为 6 ， 此时 ൌ 6 ， ൌ 3 ， 在 中， ൌ ൌ 1 1 3 ൌ ． 三棱锥 S 扩充为长方体，则长方体的对角线长为 1 1 ൌ ， 三棱锥 S 的外接球的半径为 ൌ 1 ， 三棱锥 S 的外接球的表面积为 t ൌ t ． 故选 B． 13.答案：4 解析： ， t ൌ 3 S ሼ 3ሼ ，消元可得： ൌ ሼ ݔ ݔ ൌ 3䁧ሼ S 联立方程组 ， ݔ ൌ 3䁧ሼ S 解：直线 l 的方程为： 的值． ，从而得出 ， 联立方程组，求出 A，B 的横坐标，得出 本题考查了抛物线的定义与性质，属于中档题． 解析： t 3 15.答案： ． 3 故答案为 所以 ， 由余弦定理得 ， ， ൌ S 即 则 ， ， 䁧䳌䁥 S 䳌䁥 ൌ 䳌䁥 䳌䁥 若 得 ， t 1 ൌ 解：由 根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式求解即可． 解析： 3 t.14.答案： 故答案为 ， ൌ t ， ൌ 䁣 平行， ሼ S ݔ S 6 ൌ 处的切线与直线 䁧1䁣 在点 ሼ ݔ ൌ 3ሼ 曲线 ， ݔ̵ ൌ 6 1 ൌ 䁣 ，则 ሼ ൌ 1 令 ， ݔ̵ ൌ 6ሼ 解：求导函数可得 求导函数确定切线的斜率，利用切线与已知直线平行，即可求得 a 的值． 本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题． ． S 1 䁧ሼ䁪䳌䁥 ൌ 䁧1 ൌ S 1 单调递增． 䁧ሼ 时， ሼ 䁧1䁣 单调递减， 䁧ሼ 时， ሼ 䁧䁣1 ． ̵䁧ሼ 时， ሼ 䁧1䁣 ， ̵䁧ሼ ሻ 时， ሼ 䁧䁣1 ． ݔ䁧ሼ 时， ሼ 䁧1䁣 ， ݔ䁧ሼ ሻ 时， ሼ 䁧䁣1 ， ݔ䁧1 ൌ 单调递增， 䁧䁣 在 ݔ䁧ሼ ， ሼ 1 ሼ ݔ̵䁧ሼ ൌ ሼ 则 ， 䁧ሼ ， 䁧ሼ S 1 ʹ䁥ሼ ሼ ݔ䁧ሼ ൌ 令 ， ሼ 䁧ሼS1lnሼ ሼ ̵䁧ሼ ൌ ， 䁧ሼ ， ሼ S1Sʹ䁥ሼ ሼ 䁧ሼ ൌ 令 恒成立． ሼ 䁧䁣 对于任意的 ሼ S1Sʹ䁥ሼ ሼ 等价于 恒成立． ሼ 䁧䁣 ，对于任意的 S 1 ሼ ʹ䁥ሼ ሼ 解：不等式 的最小值即可求得 k 的取值． ሼ 䁧ሼ S1Sʹ䁥ሼ ሼ 䁧ሼ ൌ 恒成立；求得 ሼ 䁧䁣 对于任意的 ሼ S1Sʹ䁥ሼ ሼ 恒成立．等价于 ሼ 䁧䁣 ，对于任意的 S 1 ሼ ʹ䁥ሼ ሼ 不等式 算能力，属于中档题． 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用，求单调性和最值，考查运 解析： S 1 16.答案： ． t 3 故答案为 ． t 3 ൌ ൌ ， 3 䁣 ൌ ሼ1 ሼ ൌ ， ൌ ൌ ሼ ， 3 ሼ ൌ ， 6 ሼ1 ൌ 解得： ， 䁪 ൌ 䁧䁣 3䁣1 ，得 ݖ ൌ 1 取 ， 䁪 ൌ ሼ ݔ S 3ݖ ൌ 䁪 ൌS ሼ ݔ S 3ݖ ൌ 则 ， ݖ y， 䁪 ൌ 䁧ሼ䁣 设平面 PCB 的法向量 ， S 3 1， ൌ 䁧 S 1䁣 ， S 3 1， ൌ 䁧1䁣 ， S 3 0， က ൌ 䁧1䁣 ， 1， 䁧 S 1䁣 ， 3 0， 䁧䁣 ， 1， 䁧1䁣 ， 0， က䁧1䁣 ，则点 က ൌ ൌ 设 解：以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系， 䁧 平面 PBE． ， ൌ ， ， ൌ 䁥 ， က ൌ 䁥 ， ൌ က ൌ t ， ൌ က ൌ ൌ က ， က ൌ 底面 ABCD 是矩形且 ， 底面 ABCD， ， က ൌ က 底面 က 底面 ABCD，侧面 က 侧面 ， က 是正三角形，E 是 AD 中点， က 侧面 证明： 䁧1 18.答案：解： ，解得 q． ൌ 䁣 3 的公比 q 满足 䁥 ，可得等比数列 t ൌ 1 ൌ 䁣 ， 䁧1 ൌ 1 ൌ 1 即可得出．  . ， 1 ，解得 䁥 31 3  ൌ ， 1   ൌ 可得 . 䁥 3 ൌ ，前 3 项和 3 ൌ 的公差为 d，由 䁥 设等差数列 䁧1 中档题． 解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于 ． ൌ ，解得 ൌ 䁣 3 的公比 q 满足 䁥 ，可得等比数列 t ൌ 1 ൌ 䁣 ， 䁧1 ൌ 1 ൌ 1 ； 䁥1 䁧䁥 S 1 ൌ 1 䁥 ൌ 1 ． 1   ൌ ， 1 ൌ 1 ，解得 䁥 31 3  ൌ ， 1   ൌ ． 䁥 3 ൌ ，前 3 项和 3 ൌ 的公差为 d， 䁥 设等差数列 䁧1 17.答案：解： ． S 1 故答案为： ． S 1 则 k 的最大值为 ሼ1ሼ 䁧ሼ13䁧ሼ3 ሼ ൌ ݔ ሼ1 ݔ1 1 ൌ 所以 ， ሼ ݔ ൌ ， ሼ1 ݔ1 1 ൌ 所以 ， 䁧䁣 S 因为 ， 3 䁥 ሼ1ሼ ൌS ， 3 6 ሼ1 ሼ ൌS 则 ， က䁧ሼ䁣ݔ ， 䁧ሼ1䁣ݔ1 设 ， 6ሼ S 䁥 ൌ ሼ 䁧3 得 ݔ ൌ ሼ 1 t ൌ 1 ݔ 6 由 ሼ ． ݔ ൌ ሼ 1 证明如下：设直线 l 的方程为 ， S 为定值 1 当 k 变动时， 䁧 ； t ൌ 1 ݔ 6 ሼ 椭圆的方程为 ， ൌ ， ൌ ， ൌ 6 解得 䁣 ൌ ൌ 3 ൌ 3 在椭圆上， 䁧䁣 S ，点 3 3 ൌ ൌ 椭圆的离心率为 设椭圆的半焦距为 c． 䁧1 19.答案：解： 的余弦值． က S S 用向量法能求出二面角 以 E 为原点，以 ED，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为 x，z，y 轴，建立空间直角坐标系，利 䁧 平面 PBE． 明 ，由此能证 ， ൌ က ൌ ൌ က ， 底面 ABCD， ，从而 က 推导出 䁧1 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 ． t 1 䁪 䁥 ൌS 䁪 䁥 댳 ൌS 的余弦值为： က S S 二面角 为钝角， ，则 的平面角为 က S S 设二面角 ， 䁥 ൌ 䁧 3䁣䁣1 ，得 ൌ 1 取 ， 䁥 ൌ S 3 ൌ 䁥 က ൌ S 3 ൌ 则 ， b， 䁥 ൌ 䁧䁣 设平面 PCD 的法向量 ݔ䁧ݔ ݔ䁧ሼ 上单调递减， S 1䁣 在 ݔ䁧 所以 上恒成立， S 1䁣 ，在 ሻ ൌ 䁣 ݔ S 1 ሻ 故导函数 1 䁧 ሻ 䁧 S 1 ൌ 上单调递减， S 1䁣 在 䁧 所以函数 时，很显然导数小于 0 S 1 当 1 1 ൌS 1 S 1 1 ൌS 䁣 令 ，则 上单调递减 S 1䁣 在 ݔ䁧 ݔ ݔ ݔ ሼ只需要证明函数 ሼ ݔ S 1故我们构造函数 ，这样等价于 ln䁧1 ሼ等价于 ， ݔ ln䁧1 ݔ ሼ 不等式 解： 证明： 䁧 上单调递增． 䁣 1 䁧 上单调递减，在 1 䁧䁣 ，函数在 ̵䁧ሼ ，从而 ሼ S 1 ，则 1 ሼ 若 ， ̵䁧ሼ ሻ ，从而 ሼ S 1 ሻ ，则 1 ሻ ሼ ሻ 时，若 当 上单调递减； 䁧䁣 䁧ሼ在 ，函数 ̵䁧ሼ ሻ ，从而 ሼ S 1 ሻ 时， 当 ሼ 䁧ሼ . ሼS1 ሼ ൌ 1 䁧1̵䁧ሼ ൌ S 20.答案：解： 积的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值． 由题意设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线 AC，AD 的斜率之 䁧 由椭圆的离心率及过的点的坐标和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； 䁧1 解析：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题． ． S 为定值 1 所以当 k 变动时， ． S ൌS S S䁥 ൌ 1䁣 䁥 ൌ 3 S 䁥 3 䁥䁧 3 3 3 S 6 ൌ ሼ1ሼ ሼ1ሼ 3䁧ሼ1 ሼ 䁥 ൌ ．高于 8500 元的城市的概率 求出 15 座城市中月收薪资高于 8500 元的有 6 个，由此能求出该生选中月平均收入薪资 Ⅰ 䁧 解析： ． 1 Ⅲ 䁧 ． t ൌ 䁧o ൌ t 1 䁥 X P 0 1 2 的分布列为： o ， t ൌ 䁧 䁧o ൌ ൌ ， 1 ൌ 3 1 䁧o ൌ 1 ൌ ， 䁥 ൌ 3 䁧o ൌ ൌ 䁧 ， 䁧䁣 ～ o ， 3 低于 8500 元的概率为 ， 知选中平均薪资高于 8500 元的城市的概率为 Ⅰ 䁧 由 Ⅱ 䁧 ． 1 ൌ 6 䁧 ൌ 该生选中月平均收入薪资高于 8500 元的城市的概率 座城市中月收薪资高于 8500 元的有 6 个， 1 设该生该月平均收入薪资高于 8500 元的城市为事件 A， Ⅰ 䁧 21.答案：解： ． ln䁧1 ሼ ݔ ln䁧1 ݔ ሼ 数性质能证明不等式 上单调递减，利用导 S 1䁣 在 ݔ䁧 只需要证明函数 ݔ ݔ ݔ ሼ ，这样等价于 故我们构造函数 ሼ ݔ S 1. 等价于 ， ln䁧1 ሼ ݔ ln䁧1 ݔ ሼ 不等式 䁧 的单调性． 䁧ሼ 由此能求出函数 ሼ 䁧ሼ . ሼS1 ሼ ൌ 1 ̵䁧ሼ ൌ S 由已知得 䁧1 导数性质的合理运用． 解析：本题考查函数的单调区间和实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和 ． ln䁧1 ሼ ݔ ln䁧1 ݔ ሼ ，时 1t 3 ݖ ൌ ， 䁤 1 ݔ ൌ ， 1t 1 ሼ ൌ 时，即 3 ݖ ൌ ݔ 1 ൌ ሼ 当且仅当 ， 1t 1 ݖ ݔ ሼ ， ൌ 1 䁧ሼ ݔ 3ݖ 3 䁧1 ݖ ݔ 䁧ሼ 由柯西不等式 䁧 ． 3 ， ሼ 1 ሼ S ሼ 1 S 䁧ሼ S ൌ 3 ，又 ሼ 1 ሼ S 即 ， ሼ 1 ሼ S S 时，恒有 ሼ 由题设知，当 䁧1 23.答案：解： 利用极坐标方程的几何意义列出 ． 䁧 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． 䁧1 何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几 所以 ． 交于 O，N， 3 交于 O，M，与 射线 l 与 ， ൌ t䳌䁥 极坐标方程为： 所以曲线 ， ൌ t䳌䁥 所以 ，即 ， ， ൌ ݔ ሼ 因为 ， S tݔ ൌ ݔ ሼ 所以 ， ൌ t 䁧ݔ S ሼ 的方程为 曲线 䁧 ； t ൌ 1 ݔ 䁥 ሼ 的普通方程为 1 所以曲线 ， t ൌ 1 ݔ 䁥 ሼ 转换为直角坐标方程为 ， 的参数方程为 为参数 1 曲线 ． 3 䁧 ൌ 转换为极坐标方程为： ， ݔ ൌ 3ሼ䁧ሼ 射线 l： 䁧1 22.答案：解： 求解能力，是中档题． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算 ． 1 Ⅲ 䁧 ． 䁧o ，由此能求出 X 的分布列和 䁧䁣 ～ o 推导出 Ⅱ 䁧 ．本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 利用柯西不等式的性质即可得出． 䁧 ，即可得出； ሼ 1 ሼ S ሼ 1 S 䁧ሼ S ൌ 3 利用绝对值不等式的性质可得： 䁧1 解析： ． 1t 1 的最小值为 ݖ ݔ ሼ