2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§3-8　函数模型及函数的综合应用（讲解部分） 22页

考点　函数模型及函数的综合应用 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f ( x )= ax + b ( a , b 为常数, a ≠ 0) 二次函数模型 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a , b , c 为常数, a ≠ 0) 指数函数模型 f ( x )= ba x + c ( a , b , c 为常数, a >0且 a ≠ 1, b ≠ 0) 对数函数模型 f ( x )= b log a x + c ( a , b , c 为常数, a >0且 a ≠ 1, b ≠ 0) 幂函数模型 f ( x )= ax n + b ( a , b 为常数, a ≠ 0, n ≠ 0) “对勾”函数模型 f ( x )= x +   ( a >0) 考点清单 函数性质 y = a x ( a >1) y =log a x ( a >1) y = x α ( α >0) 在(0,+ ∞ )上的增减性 增函数 ① 　增函数     ② 　增函数     增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值的增大图象与③      y 轴     接近于平行 随 x 值的增大图象与 x 轴接近于④ 　平行     随 α 值变化而不同 联系 存在一个 x 0 ,当 x > x 0 时,有log a x < x α < a x 2.三种增长型函数模型的性质比较 3.“对勾”函数的性质 函数 f ( x )= x +   ( a >0). (1)该函数在(- ∞ ,-   ]和[   ,+ ∞ )上单调递增,在(-   ,0)和(0,   )上单调递减. (2)当 x >0时, x =   时取最小值2   ; 当 x <0时, x =-   时取最大值-2   . 4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: 考法一 　解函数应用题的方法步骤 知能拓展 例1 　(1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己 种植的西红柿的销售量 y (千克)随时间 x (天)变化的函数图象,如图所示,则 此人在12月26日大约卖出了西红柿 　　　     千克. (2)牧场中羊群的最大蓄养量为 m 只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不 能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量 y 只和实 际蓄养量 x 只与空闲率的乘积成正比,比例系数为 k ( k >0). ①写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 解题导引 　(1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为 m 只,实际蓄养量为 x 只,则蓄养率为   ,故空闲率为1-   .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值. 解析　 (1)前10天满足一次函数关系,设为 y = kx + b , k ≠ 0,将点(1,10)和点(10,3 0)代入函数解析式得   解得 k =   , b =   ,所以 y =   x +   ,则当 x =6 时, y =   . (2)①根据题意,由于最大蓄养量为 m 只,实际蓄养量为 x 只,则蓄养率为   ,故 空闲率为1-   ,由此可得 y = kx   (0< x < m ); ②由①,得 y =-   ( x 2 - mx )=-     +   . 即当 x =   时, y 取得最大值   ; ③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的 和小于最大蓄养量,即0< x + y < m . 因为当 x =   时, y max =   ,所以0<   +   < m ,解得-2< k <2.又因为 k >0,所以0< k <2. 答案 　(1)   方法总结 　一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注 意函数的定义域,否则极易出错; ②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题. 例2 　某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间满足关系: P =   (其中 c 为小于6的正常数). (注:次品率=次品数/生产量,如 P =0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其 余为合格品) 已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1 万元,故厂方希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的 函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解析 　(1)当 x > c 时, P =   ,∴ T =   x ·2-   x ·1=0.当1 ≤ x ≤ c 时, P =   , ∴ T =   · x ·2-   · x ·1=   .综上,每天的盈利额 T (万元)与日产量 x (万件)的函数关系为 T =   (2)由(1)知,当 x > c 时,每天的盈利额为0万元,∴1 ≤ x ≤ c . (i)当3 ≤ c <6时, T =   =15-2   ≤ 15-12=3, 当且仅当 x =3时取等号.故 T max =3,此时 x =3. (ii)当1 ≤ c <3时,由 T '=   =   >0知,函数 T =   在[1, c ]上 递增,∴当 x = c 时, T max =   ,综上,若3 ≤ c <6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1 ≤ c <3,则当日产量为 c 万件时,可获得最大利润. 方法总结 　1.解决分段函数模型问题应关注以下三点: (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不 同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求 解; (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏; (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. 2.函数 y = ax +   模型的应用 (1)明确对勾函数是由正比例函数 f ( x )= ax 与反比例函数 f ( x )=   叠加而成的; (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f ( x )= ax +   的模型,有时将所列函数 解析式转化为 f ( x )= ax +   的形式; (3)关注函数的定义域,取得最值时等号成立的条件. 例3 　(1)(2015四川)某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位:℃) 满足函数关系 y =e kx + b (e=2.718 … 为自然对数的底数, k , b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃ 的保鲜时间是 　　　     小时. (2)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v =5log 2   ,单位是m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. ①试计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位; ②当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少? 解题导引 　(1)把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式,利用方程思 想解题. (2)①令0=5log 2   ,求出 Q ;②将 Q =80代入关系式求解. 解析　 (1)由题意得   解得   当 x =33时, y =e 33 k + b =(e 11 k ) 3 e b =   × 192=24. (2)①由题意知,当燕子静止时,它的速度为0,代入题目所给关系式可得0=5 log 2   ,解得 Q =10, 即燕子静止时的耗氧量为10个单位. ②将耗氧量 Q =80代入关系式得 v =5log 2   =5log 2 8=15(m/s),即当一个燕子的 耗氧量为80个单位时,它的飞行速度为15 m/s. 答案 　(1)24 方法总结 　应用指数函数模型的关注点: (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来 解决. (2)应用指数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关 数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3) y = a (1+ x ) n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 例4 　某店销售进价为2元/件的产品 A ,该店产品 A 每日的销售量 y (单位:千 件)与销售价格 x (单位:元/件)满足关系式 y =   +4( x -6) 2 ,其中2< x <6. (1)若产品 A 销售价格为4元/件,求该店每日销售产品 A 所获得的利润; (2)试确定产品 A 的销售价格,使该店每日销售产品 A 所获得的利润最大.(保 留1位小数) 解题导引      (1) (2)   解析 　(1)当 x =4时, y =   +4 × (4-6) 2 =21,此时该店每日销售产品 A 所获得的利 润为(4-2) × 21=42千元. (2)设该店每日销售产品 A 所获得的利润为 f ( x )千元, 则 f ( x )=( x -2)·   =10+4( x -6) 2 ( x -2)=4 x 3 -56 x 2 +240 x -278(2< x <6), 从而 f '( x )=12 x 2 -112 x +240=4(3 x -10)( x -6)(2< x <6). 令 f '( x )=0,得 x =   ,易知在   上, f '( x )>0,函数 f ( x )单调递增;在   上, f '( x )<0,函数 f ( x )单调递减.所以 f ( x )在 x =   处取得极大值,即最大值.所以当 x =   ≈ 3.3时,函数 f ( x )取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,利润最大. 方法总结 　解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函 数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际 意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:   考法二 　函数的综合应用 例5     (2019山西吕梁模拟,12)记函数 f ( x )=   +cos π x 在区间(-2,4)上的零 点分别为 x = x i ( i =1,2, … , n ),则   x i =   (　　) A.5　    B.6　    C.7　    D.8 解题导引 　分别判断出两个函数图象都关于直线 x =1对称,作出两个函数 的图象,由图象知两个函数图象有7个交点,结合图象的对称性进行求解即 可. 解析　 由 f ( x )=   +cos π x =0得-   =cos π x ,设 g ( x )=-   , h ( x )=cos π x , 则 g ( x )的图象关于直线 x =1对称, h ( x )的图象也关于直线 x =1对称,作出两个 函数的图象,如图,由图象知在(-2,4)上两个函数图象有7个交点,其中6个交 点两两关于直线 x =1对称,第7个交点的横坐标为1,设关于直线 x =1对称的6 个交点的横坐标从小到大为 a , b , c , d , e , f ,则满足   =   =   =1,所以   x i =3 × 2+1=6+1=7,故选C. 答案     C 方法总结　 函数的综合应用基本思路: (1)首先确定函数的定义域; (2)拆分或化简解析式; (3)确定函数的单调性、奇偶性、周期性; (4)引入导数、不等式等工具,运用数形结合、分类讨论、化归与转化等数 学思想解决问题. 例     (2020届河南八市重点中学9月月考,21)“2019年”是一个重要的时间 节点——中华人民共和国成立70周年和全面建成小康社会的关键之年.70 年披荆斩棘,70年砥砺奋进,70年风雨兼程,70年沧桑巨变,勤劳勇敢的中国 人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩,取得了举世瞩目的成就.趁此良 机,李明在某网店销售“新中国成立70周年纪念册”,每本纪念册进价4元, 物流费、管理费共为 m (1 ≤ m ≤ 3)元/本,预计当每本纪念册的售价为 x 元(9 ≤ x ≤ 10)时,月销售量为(14- x )千本. (1)求月利润 f ( x )(千元)与每本纪念册的售价 x 的函数关系式,并注明定义域; (2)当 x 为何值时,月利润 f ( x )最大?并求出最大月利润. 实践探究 解题导引     本例以“中华人民共和国成立70周年”为背景创设情境,设计 考查二次函数模型的建立及运用,以模型解决实际问题. 解析 　(1) f ( x )=( x -4- m )(14- x )=- x 2 +(18+ m ) x -14(4+ m ),定义域为[9,10]. (2)由(1)知 f ( x )=-   +   . 当1 ≤ m ≤ 2时,9<   ≤ 10, f ( x )的最大值为 f   =   .当2< m ≤ 3 时,   >10, f ( x )的最大值为 f (10)=4(6- m )=24-4 m .综上所知,当1 ≤ m ≤ 2时, 售价为   元, f ( x )取得最大值   千元.当2< m ≤ 3时,售价为10元, f ( x ) 取得最大值(24-4 m )千元. 方法总结 　认真阅读,还原函数模型题解决此类问题的关键,通过对还原的 函数模型的研究,得出对生活(或实际问题)的结论. 例     (2020届河北衡水中学考试,3)由我国引领的5G时代已经到来,5G的发 展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进 而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带 动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值,如图是某单位结合近 年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测. 创新思维 结合上图,下列说法错误的是   (　　) A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 解题导引 本题以5G时代为背景创设情境,引导学生关注社会现实和 经济发展.考查学生收集数据,整理数据,处理数据的能力. 解析 　设备制造商的经济产出在2029年将被信息服务商超过,故选D. 答案     D 方法总结 　仔细阅读题目,与社会生活的联系,作出与实际相符的结论.