2019年高考数学练习题汇总压轴小题突破练(3) 10页

压轴小题突破练(3)‎ ‎1．如图，过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝2－，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由＝2－，得 ＝(＋)，可知E为PF的中点，‎ 令右焦点为F′，则O为FF′的中点，|PF′|＝2|OE|＝a，‎ 又∵|PF|－|PF′|＝2a，∴|PF|＝3a，‎ ‎∵E为切点，∴OE⊥PF，PF′⊥PF，‎ ‎∴|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，∴10a2＝4c2，e＝.‎ ‎2．在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若动点P满足＝(1－λ)＋(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为(　　)‎ A．5 B．10‎ C．2 D．4 答案　A 解析　设＝，‎ 所以＝＋(1－λ)＝λ＋(1－λ)，‎ 则B，P，D三点共线，故P点的轨迹为直线BD.‎ 则点P的轨迹与直线BC，AC围成的封闭区域为△BCD及其内部区域．因为sin C＝＝，则S△BCD＝BC·CD·sin C＝×7××6×＝5.‎ ‎3．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0在R上恒成立，‎ 即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，‎ 故判别式Δ＝a2－4a·b≤0恒成立，‎ 再由|a|＝2|b|≠0，‎ 可得8|b|2≤8|b|2cos〈a，b〉，‎ ‎∴cos〈a，b〉≥，‎ 又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉∈.‎ ‎4．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点， P是双曲线上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则＋＋＋2ln＋2ln取得最小值时，双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设A(－a,0)，B(a,0), P(x0，y0)(x0≠±a)，点P在双曲线上，得－＝1，所以kPAkPB＝·＝＝，即mn＝，‎ ＋＋＋2ln|m|＋2ln|n|≥4＋ ＋2ln，‎ 设函数f(x)＝2ln x＋(x>0), f′(x)＝－＝，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．f(x)min＝f ，即mn＝＝，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a2＝4b2，所以e＝＝.‎ ‎5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，连接BF，交AC，CE于G，H两点，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则I1，I2，I3的大小关系是(　　)‎ A．I10，y>0.‎ ‎∴2＝x2＋y2＋xy＝x2＋y2＋ ‎ ‎≥2＋＝，‎ 当且仅当x2＝y2，即3x＝4y，即3＝4时等号成立．即min＝.‎ ‎16．在△ABC中，AB＝6，AC＝6，∠BAC＝，点D满足＝，点E在线段AD上运动，若＝λ＋μ，则3λ＋取得最小值时，向量的模为________．‎ 答案　2 解析　在△ABC中，AB＝6，AC＝6，∠BAC＝，可得BC＝6.‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.∵点D满足＝，‎ ‎∴CD＝2. ‎ 如图建立平面直角坐标系，则A(0,6)，B(6,0)，D(2,0)，‎ 设＝k＝(2k，－6k)，＝λ＋μ＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)，‎ ‎∴2k＝6λ，－6k＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ， ‎ ‎∴3λ＋＝3λ＋≥2＝，‎ 当且仅当λ2＝ 时等号成立．‎ 此时＝(6λ，－18λ)，||＝＝2 .‎ ‎17．已知a，b，c是三个单位向量，且c·a＝c·b>0，则对于任意的正实数t，的最小值为，则a·b＝________.‎ 答案　或－ 解析　设a，c夹角为θ，则a，b夹角为2θ，‎ ‎∴2＝1＋t2＋－2a·c＋2a·b ‎＝2－2cos θ＋2cos 2θ－1(t>0)，‎ 将2看作关于t＋的二次函数，‎ ‎∵0