2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练5 6页

解答题滚动练5‎ ‎1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝PC.‎ ‎(1)证明：平面QBD⊥平面ABCD；‎ ‎(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．‎ 方法一　(1)证明　连接AC与BD交于点O，连接QO，则由△ABO∽△CDO，得AO＝AC，‎ 由于PQ＝PC，则有QO∥PA，‎ 由PA⊥平面ABCD，‎ 有QO⊥平面ABCD，‎ 又QO⊂平面QBD，所以平面QBD⊥平面ABCD.‎ ‎(2)解　过D作平面PBC的垂线，垂足为H，‎ 则∠DQH即为所求的线面角θ，设DH＝h，‎ 因为VQ－BCD＝VD－BCQ，‎ 即S△BCD·QO＝S△BCQ·h 代入有×2×＝××h，‎ 解得h＝，‎ 又因为QD2＝QO2＋OD2，所以QD＝，‎ 所以sin θ＝＝.‎ 方法二　(1)证明　以A为原点，分别以射线AB，AP为x，z轴的正半轴，在平面ABCD 内过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴，建立空间直角坐标系A－xyz，‎ 由题意知各点坐标如下：‎ A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(－1，，0)，P(0,0,2)，Q，‎ 因此＝(－3，，0)，＝，‎ 设平面QBD的一个法向量为n1，平面ABCD的一个法向量为n2，‎ 则取n1＝(1，，0)，‎ 同理可取n2＝(0,0,1)，‎ 所以n1·n2＝0，‎ 所以平面QBD⊥平面ABCD ‎(2)解　设QD与平面PBC所成角为θ，‎ ＝，＝(2,0，－2)，‎ ＝(3，，－2)，‎ 设平面PBC的一个法向量为n，‎ 则取n＝，‎ 所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.‎ 所以QD与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎2．已知函数f(x)＝(t＋1)ln x＋tx2＋3t，t∈R.‎ ‎(1)若t＝0，求证：当x≥0时，f(x＋1)≥x－x2；‎ ‎(2)若f(x)≥4x对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求t的取值范围．‎ ‎(1)证明　当t＝0时，f(x)＝ln x，f(x＋1)＝ln(x＋1)，‎ 即证ln(x＋1)≥x－x2.‎ 令g(x)＝ln(x＋1)＋x2－x(x≥0)，‎ 则g′(x)＝＋x－1＝>0，‎ 从而函数g(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，‎ g(x)≥g(0)＝0，‎ 即当x≥0时，f(x＋1)≥x－x2.‎ ‎(2)解　由(1)知，当x≥0时，ln(x＋1)≥x－x2，‎ 则当x≥1，即x－1≥0时，‎ ln x＝ln[(x－1)＋1]≥(x－1)－(x－1)2＝－x2＋2x－.‎ 若t≤－1，则当x≥1时，(t＋1)ln x＋tx2＋3t<0<4x，原不等式不成立．‎ 若t>－1，则当x≥1时，‎ f(x)－4x＝(t＋1)ln x＋tx2－4x＋3t≥(t＋1)＋tx2－4x＋3t＝(x2＋4x＋3)，‎ 从而当f(x)≥4x恒成立时，t≥1.‎ 综上，满足题意的t的取值范围为[1，＋∞)．‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，抛物线E：y2＝4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，求|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值．‎ 解　(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)，‎ 即c＝1，又e＝＝，∴a＝2，b2＝3，‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，∴|AF|2＝|AH|2－|FH|2，‎ 即|AF|2＋|FH|2＝|AH|2，‎ ‎∴直线l1⊥l2.‎ 又直线l1，l2的斜率均存在，‎ ‎∴两直线的斜率都不为零，‎ 故可设直线l1：x＝ky＋1(k≠0)，‎ 直线l2：x＝－y＋1，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．‎ 由 消去x，得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，‎ ‎∴ 同理得 ‎∴|AF|·|FB|＝·＝(1＋k2)|y1y2|，‎ ‎|GF|·|FH|＝·＝|y3y4|，‎ ‎∴|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|＝(1＋k2)|y1y2|＋|y3y4|‎ ‎＝(1＋k2)·＋·＝9(1＋k2)· ‎＝＝＝.‎ 又k2>0，∴k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，‎ 所求式子取最小值.‎ 故|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值为.‎ ‎4．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝，其中n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值，并证明：an>an＋1；‎ ‎(2)证明：an≤；‎ ‎(3)设Tn＝＋＋…＋，求证：Tn>n－.‎ 证明　(1)由题意得an>0，a2＝＝＝.‎ 方法一　＝＝≤1，‎ 所以an＋1≤an，当且仅当an＝1时取等号，‎ 又an≤a1＝，所以等号取不到．‎ 所以an＋11－成立；‎ 当n≥2时，n－Tn＝b1＋b2＋…＋bn<＋<，‎ 即Tn>n－.‎ 综上可知，Tn>n－.‎ 方法二　由(1)知an≤，即3an≤1，‎ 所以an＋1＝≤＝，‎ 从而＝1－≤1－＝·，‎ 所以≤·n－1＝·n－1，‎ 所以＋＋…＋≤·＝·<，‎ 又n－Tn＝＋＋…＋，‎ 所以n－Tn<，所以Tn>n－.‎