2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 第1课时 奇偶性的概念 37页

第三章　3.2.2　奇偶性 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　函数奇偶性的几何特征 一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为___ 函数. 偶 奇 知识点二　函数奇偶性的定义 1.偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函 数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么 函数f(x)就叫做奇函数. f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 知识点三　奇(偶)函数的定义域特征 奇(偶)函数的定义域关于 对称.原点 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(　　) 2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.(　　) 3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.(　　) 4.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(　　) √ × × × 2 题型探究 PART TWO 例1　判断下列函数的奇偶性. 一、函数奇偶性的判断 (2)f(x)＝x2(x2＋2)； 解　f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数. ∵定义域不关于原点对称， ∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0， 反思 感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系. (2)图象法. 跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性. 解　函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 解　f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称. 所以f(x)为奇函数. 解　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数. 二、奇、偶函数图象的应用 例2　定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示. (1)画出f(x)的图象； 解　先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)， 连线可得f(x)的图象如图. (2)解不等式xf(x)>0. 解　xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号. 结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2). 延伸探究　 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题. 解　(1)f(x)的图象如图所示： (2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2). 反思 感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不 等式等. 跟踪训练2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出在区间[－5,0]上的图象； 解　如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′， 再用光滑曲线连接即得. (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0. ∴使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2