2020届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题 理（含解析） 14页

蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.‎ ‎2. 设是复数的共轭复数，且，则（ ）‎ A. 3 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故.‎ ‎3. 若满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. -3 B. 0 C. -4 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.‎ - 14 -‎ ‎4. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎5. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为,,联立解得，则，故选B.‎ ‎6. 已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 14 -‎ ‎【解析】，由于角为第三象限角，故，.‎ ‎7. 已知 ，则（ ）‎ A. 18 B. 24 C. 36 D. 56‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故，.‎ ‎8. 已知，下列程序框图设计的是求的值，在“*”中应填的执行语句是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设，要计算，首先，下一个应该加，再接着是加，故应填.‎ ‎9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 14 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥和一个三棱锥组合而成.故体积为.‎ ‎10. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵点，关于直线对称，，‎ 又∵直线经过点，∴直线的方程为，的中点坐标为，‎ ‎∴，化简整理得，即，‎ ‎，解得，（舍去），故选C.‎ ‎11. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.‎ - 14 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.‎ ‎12. 定义在上的奇函数满足：当时，（其中为的导函数）.则在上零点的个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，，由于当时，，故当时，为增函数.又，所以当时，成立，由于，所以，由于为奇函数，故当时，，即只有一个根就是.‎ ‎【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出 - 14 -‎ 的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，是两个不同的平面向量，满足：，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，解得，当时，两个是相同的向量，故舍去，所以.‎ ‎14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意有，， ，故.‎ ‎15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.‎ - 14 -‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先根据题目所给的条件画出图像，突破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可得到所求的结果.‎ ‎16. 已知满足，，，则__________．（用表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，与已知条件相加可得 ‎ ‎.....................‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且，‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】(1) （2）的周长为 ‎【解析】【试题分析】（1）根据余弦定理，由得到，，在利用三角形面积公式可求得面积.（2）利用三角形内角和定理，有,展开后结合已知条件可求得.利用正弦定理求得，利用配方法可求得由此求得周长为.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）∵，∴，‎ 即，‎ ‎∴；‎ - 14 -‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ 由题意，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴的周长为．‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若直线与所成角的大小为60°，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）90°‎ ‎【解析】【试题分析】（1）由于是等边三角形，结合勾股定理，可计算证明三条直线两两垂直，由此证得平面，进而得到平面平面.（2）根据（1）证明三条直线两两垂直，以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用和所成角为计算出点的坐标，然后通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦值并求得大小.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）∵，‎ 且是等边三角形 ‎∴，，均为直角三角形，即，，‎ ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴平面平面 - 14 -‎ ‎（2）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 令，，‎ ‎∴，，，．‎ 设，则，．‎ ‎∵直线与所成角大小为60°，所以 ‎，‎ 即，解得或（舍），‎ ‎∴，‎ 设平面的一个法向量为．‎ ‎∵，，则 即 令，则，所以．‎ ‎∵平面的一个法向量为，‎ ‎∵，，则 即 令，则，，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 故二面角的大小为90°．‎ ‎19. 为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.‎ - 14 -‎ ‎（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：‎ ‎①计算这一天平均值与标准差；‎ ‎②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？‎ 参考数据：，，‎ ‎，，，‎ ‎，，.‎ ‎【答案】(1) （2）① ②生产线异常，需要进一步调试 ‎【解析】【试题分析】（1）依题意可知满足二项分布，根据二项分布的公式计算出，然后用减去这个值记得到的值.利用二项分布的期望公式，直接计算出的值.（2）分别计算出均值和标准差，计算的范围，发现不在这个范围内，根据原理可知需要进一步调试.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意知：‎ 或 ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）①‎ 所以 ‎②结论：需要进一步调试．‎ - 14 -‎ 理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，‎ 零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知 生产线异常，需要进一步调试．‎ ‎20. 已知椭圆经过点，离心率.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）依题意可知，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）当直线斜率斜率不存在时，不符合题意.当斜率存在时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）因为椭圆，经过点，所以．‎ 又，所以，解得．‎ 故而可得椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，‎ 此时直线与椭圆相切，不符合题意．‎ 设直线的方程为，即，‎ 联立，得．‎ 设，，则 ‎ ‎ - 14 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以为定值，且定值为-1．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要确定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考查直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.‎ ‎21. 已知函数，（其中为自然对数的底数，）.‎ ‎（1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】(1) ，（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.（2）将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1），．（过程略）‎ ‎（2）令，则，‎ 当时，单调递增，而，‎ ‎∴时，不合题意 当时，令，则，‎ ‎∵为减函数，‎ ‎∴时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，‎ ‎∴ ，‎ 即．（△）‎ 但，等号成立当且仅当且．‎ - 14 -‎ 故（△）式成立只能 即．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数与切线有关的知识.考查利用导数解不等式恒成立问题.解决导数与切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，联络点在于切点的横坐标，以此建立方程组，求得未知参数的值.不等式恒成立问题往往可以考虑构造函数法，利用函数的最值来求解.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；‎ ‎（2）若与相交于两点，求.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）对方程两边乘以，由此求得曲线的普通方程.对的参数方程利用加减消元法可求得的普通方程.（2）将的参数方程代入，利用韦达定理和直线参数的几何意义，来求的弦长的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的普通方程为 ‎（2）将的参数方程代入的方程，‎ 得，得：‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数与的图象恒有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ - 14 -‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，分别求解每一段的解集.由此计算不等式的解集.（2）先求得函数的最小值，求得函数的最大值，比较这两个数值的大小，即可求得有公共点时，实数的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）当时，，‎ 由得，；‎ ‎（2），‎ 该二次函数在处取得最小值，‎ 因为函数，在处取得最大值 故要使函数与的图象恒有公共点，‎ 只需要，即．‎ ‎ ‎ - 14 -‎