2021届高考数学一轮复习第七章不等式第3节基本不等式及其应用教学案含解析新人教A版 13页

第3节　基本不等式及其应用 考试要求　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.两个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎2.ab≤≤.‎ ‎3.≤≤≤(a>0，b>0).‎ ‎4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.‎ ‎5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)‎ - 13 -‎ ‎(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)‎ ‎(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)‎ 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；‎ 不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.‎ ‎(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋没有最小值.‎ ‎(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(新教材必修第一册P48T1改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　)‎ A.2 B.4 C.2 D.6‎ 解析　∵x>2，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.‎ 当x－2＝，即x＝4时等号成立.‎ 答案　D ‎3.(新教材必修第一册P45例1改编)若x<0，则x＋(　　)‎ A.有最小值，且最小值为2‎ B.有最大值，且最大值为2‎ C.有最小值，且最小值为－2‎ D.有最大值，且最大值为－2‎ 解析　因为x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.‎ 答案　D ‎4.(2020·安徽江南十校联考)已知实数x满足logx>1，则函数y＝8x＋ - 13 -‎ 的最大值为(　　)‎ A.－4 B.8 C.4 D.0‎ 解析　由logx>1得00，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.‎ 答案　 考点一　利用基本不等式求最值　多维探究 角度1　配凑法求最值 ‎【例1－1】 (1)(2020·乐山一中月考)设00，则a＋的最小值为________.‎ 解析　(1)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]‎ ‎≤2＝，‎ 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.‎ - 13 -‎ ‎∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.‎ ‎(2)由题意可知a＋＝a＋＋－≥2－＝，当且仅当a＋＝，即a＝时等号成立.所以a＋的最小值为.‎ 答案　(1)　(2) 规律方法　配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：‎ ‎(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；‎ ‎(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；‎ ‎(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.‎ 角度2　常数代换法求最值 ‎【例1－2】 (2019·龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)‎ A.3 B.5 C.7 D.9‎ 解析　∵x>0，y>0，且＋＝，∴x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7.‎ 答案　C 规律方法　常数代换法求最值的步骤 ‎(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；‎ ‎(2)把确定的定值(常数)变形为1；‎ ‎(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；‎ ‎(4)利用基本不等式求解最值.‎ 角度3　消元法求最值 ‎【例1－3】 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得00，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.‎ ‎(3)(角度3)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 解析　(1)f(x)＝＝－ ‎＝－＝－ ‎＝－(x＋1)＋＋2.‎ 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，‎ 所以f(x)≥2＋2＝4，‎ 当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.‎ 故f(x)的最小值为4.‎ ‎(2)∵x>0，y>0，∴>0.‎ ‎∵x＋2y＝5，∴＝ ‎＝＝2＋≥2＝4，‎ 当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎(3)由题意可得b＋c＝2－a>0，所以00，μ>0)，则＋的最小值为(　　)‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ ‎(2)(2020·长沙模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1.设M是底面ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB、三棱锥M－PBC、三棱锥M－PCA的体积.若f(M)＝，且＋≥ 8恒成立，则正实数a的最小值为________.‎ 解析　(1)由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以＋＝×(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当λ＝，μ＝时等号成立，故＋的最小值为16.故选A.‎ ‎(2)∵PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，‎ ‎∴VP－ABC＝××3×2×1＝1＝＋x＋y.‎ ‎∴x＋y＝，则2x＋2y＝1.‎ ‎∵a>0，∴＋＝(2x＋2y)＝2＋2a＋＋≥2＋2a＋4(当且仅当＝，即y＝x时，取等号)，因此2＋2a＋4≥8，解得a≥1，‎ ‎∴正实数a的最小值为1.‎ - 13 -‎ 答案　(1)A　(2)1‎ 规律方法　(1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.‎ ‎(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.‎ ‎【训练3】 (2020·厦门联考)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)‎ A. B.2 C.4 D. 解析　∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，‎ ‎∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，‎ ‎∵＋≥2＝2，当且仅当＝即m＝n时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2，故选B.‎ 答案　B A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)‎ A.a＋b≥2 B.＋≥2‎ C.≥2 D.a2＋b2>2ab 解析　因为和同号，所以＝＋≥2.‎ 答案　C ‎2.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)‎ A.9 B.18 C.36 D.81‎ 解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.‎ 答案　A ‎3.下列结论正确的是(　　)‎ A.当x>0且x≠1，lg x＋≥2‎ B.<1(x∈R)‎ - 13 -‎ C.当x>0时，＋≥2‎ D.当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；‎ 对于D，当00，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为(　　)‎ A.4 B. C. D.6‎ 解析　圆的一般方程化成标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，依据圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，得a＋2b＝2(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋2b)＝×≥×(5＋2)＝(当且仅当a＝b＝时取等号).‎ 答案　B ‎8.(2020·信阳模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为(　　)‎ A.1 B. C. D.2‎ 解析　由已知可得tan α＝a，tan β＝，‎ ‎∵α＝2β，∴tan α＝tan 2β，∴a＝，‎ 即a＝，由a>0，b>0得>0，则00，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.‎ 答案　8‎ ‎11.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________.‎ 解析　法一　由题意可设P(x0>0)，‎ 则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4.‎ 法二　设P(x0>0)，则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0>0得x0＝，∴P(，3)，曲线y＝x＋(x>0)上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4.‎ 答案　4‎ ‎12.(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________.‎ 解析　＝＝＝2＋.‎ ‎∵x>0，y>0且x＋2y＝4，‎ ‎∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，‎ ‎∴2xy≤4，∴≥，‎ ‎∴2＋≥2＋＝.‎ 答案　 B级　能力提升 ‎13.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[3，＋∞) B.(－∞，3]‎ - 13 -‎ C.(－∞，6] D.[6，＋∞)‎ 解析　因为a>0，b>0，＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立.‎ 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，‎ 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，‎ 令f(x)＝x2－4x－2，‎ 则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，‎ 所以f(x)的最小值为－6，‎ 所以－6≥－m，即m≥6.‎ 答案　D ‎14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为(　　)‎ A.2 B.2＋ C.4 D.2＋2 解析　因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，‎ 所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，‎ 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，‎ 当且仅当a＋b＝c，即c＝2－2时，等号成立，‎ 所以＋的最小值为2＋2.‎ 答案　D ‎15.若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.‎ 解析　∵a，b∈R，ab>0，‎ ‎∴≥＝4ab＋≥2＝4，‎ 当且仅当即时取得等号.‎ 答案　4‎ ‎16.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a - 13 -‎ 的取值范围是________.‎ 解析　对任意x∈N*，f(x)≥3，‎ 即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.‎ 设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，‎ 当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝，‎ ‎∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，‎ ‎∴a≥－，故a的取值范围是.‎ 答案　 C级　创新猜想 ‎17.(新定义题)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________.‎ 解析　由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.‎ 又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，‎ 当且仅当＝，即x＝1时取等号，‎ 故函数f(x)的最小值为3.‎ 答案　1　3‎ - 13 -‎