浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图含解析 18页

第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图 考试要求　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.简单多面体的结构特征 ‎(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；‎ ‎(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；‎ ‎(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.‎ ‎2.旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3.三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.‎ ‎②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.‎ ‎4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.常见旋转体的三视图 ‎(1)球的三视图都是半径相等的圆.‎ ‎(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.‎ ‎(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.‎ ‎(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.‎ ‎2.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.‎ ‎3.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.‎ ‎4.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(　　)‎ 解析　(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.‎ ‎(2)反例：如图所示图形不是棱锥.‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.‎ ‎(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A.圆柱 B.圆锥 ‎ C.四面体 D.三棱柱 解析　由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.‎ 答案　A ‎3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析　先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.‎ 答案　B ‎4.(2018·上海卷)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)‎ A.4　　　　　　　　　　 B.8‎ C.12 D.16‎ 解析　符合题目条件的面有四个，每一个都有4个顶点，所以选择D.‎ 答案　D ‎5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________.‎ 解析　画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′为O′A′的中点.易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2.‎ 答案　a2‎ ‎6.(2020·北京平谷区质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为________个.‎ 解析　由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的P－ABCD；由图得该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个.‎ 答案　4‎ 考点一　空间几何体的结构特征 ‎【例1】 (1)给出下列命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎(2)以下命题：‎ ‎①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A.0 B.1 ‎ C.2 D.3‎ 解析　(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.‎ ‎(2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.‎ ‎(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.‎ ‎【训练1】 下列结论正确的是(　　)‎ A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析　如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.‎ 若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由圆锥母线的概念知，选项D正确.‎ 答案　D 考点二　空间几何体的三视图　 多维探究 角度1　由空间几何体的直观图判断三视图 ‎【例2－1】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.‎ 答案　B 角度2　由三视图判定几何体 ‎【例2－2】 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A.三棱锥 B.三棱柱 ‎ C.四棱锥 D.四棱柱 ‎(2)(2020·北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中直角三角形的个数为(　　)‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.‎ ‎(2)由三视图可得，该四棱锥如图P－ABCD，直角三角形有：△PAD、△PCD、△PAB，共3个.‎ 答案　(1)B　(2)C 规律方法　(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认.‎ ‎(2)根据三视图还原几何体 ‎①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.‎ ‎②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.‎ ‎③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.‎ 提醒　对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.‎ ‎【训练2】 (1)(角度1)如图所示，由几个棱长相等的小正方体搭成的一个几何体.现老师给小明四张图，要求其删除其中的一张图，使得剩下的三张图可以作为该几何体的三视图，则小明要删除(　　) ‎ ‎(2)(角度2)(2020·北京丰台区期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中最长的棱的长度为(　　)‎ A.2 B. ‎ C.2 D.2 解析　(1)由几何体的直观图得其正视图为C中的图形，侧视图为A中的图形，俯视图为D中的图形，故选B.‎ ‎(2)由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中PA与底面垂直，且AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AB＝BC＝2AD ‎＝2，由勾股定理可得PD＝CD＝，PB＝2，PC＝＝2，所以最长的棱为2.‎ 答案　(1)B　(2)D 考点三　空间几何体的直观图 ‎【例3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.‎ 解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：‎ 因为OE＝＝1，‎ 所以O′E′＝，E′F＝，‎ 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.‎ 答案　 规律方法　(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.‎ ‎(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.‎ ‎【训练3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.‎ 解析　如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.‎ 在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1.‎ ‎∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.‎ 在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2.‎ ‎∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.‎ 答案　2＋ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)‎ A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 解析　根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.‎ 答案　B ‎2.如图所示的几何体是棱柱的有(　　)‎ A.②③⑤ B.③④⑤‎ C.③⑤ D.①③‎ 解析　由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.‎ 答案　C ‎3.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 解析　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.‎ 答案　A ‎4.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是(　　)‎ A.4 B.4‎ C.2 D.2‎ 解析　由四棱锥P－ABCD的正视图可知，四棱锥的正视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，又因为四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，所以四棱锥的侧视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，所以侧视图的面积为×2×2＝2.故选C.‎ 答案　C ‎5.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析　易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.‎ 答案　D ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ A.6 B.4 ‎ C.6 D.4‎ 解析　如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6.‎ 答案　C ‎7.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)‎ A.①③ B.①④‎ C.②④ D.①②③④‎ 解析　由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.‎ 答案　A ‎8.(2020·北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A. B.2 ‎ C.2 D.3‎ 解析　根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD＝AB＝2，BC＝1，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC＝＝＝3.‎ 答案　D 二、填空题 ‎9.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________.‎ 解析　由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.‎ 答案　 ‎10.直观图(如图)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在原坐标系xOy中四边形为________(填图形形状)；面积为________cm2.‎ 解析　将直观图恢复到平面图形(如图)，是OA＝2 cm，OC＝4 cm的矩形，SOABC＝2×4＝8(cm2).‎ 答案　矩形　8‎ ‎11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________.‎ 解析　由三视图可知几何体为如图所示的三棱锥P－ABC，其最长棱为AC＝＝.‎ 答案　 ‎12.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中三个梯形的面积之和为________.‎ 解析　由三视图可知，该几何体的直观图如图五面体，其中平面ABCD⊥平面ABEF，CD＝2，AB＝6，EF＝4，底面梯形是等腰梯形，高为3，梯形ABCD的高为4，等腰梯形EFDC的高为＝5，三个梯形的面积之和为×4＋×3＋×5＝46.‎ 答案　46‎ ‎13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q 在线段A1C1上，若PM＝1，则PQ长度的最小值为________.‎ 解析　由题意得，过点Q作QN⊥平面ABCD，垂足为N，‎ 则点N在线段AC上，分别连接PQ，PN，‎ 在Rt△PNQ中，‎ PQ＝＝，‎ 在平面ABCD内过点M作MR⊥AC，垂足为R，则MR＝2，即M到直线AC的最短距离为2，‎ 又PM＝1，当P∈MR时，此时PNmin＝MR－1＝1，‎ 所以PQmin＝＝.‎ 答案　 ‎14.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有________对.‎ 解析　由三视图的特征，将俯视图拉伸得四棱锥A－BCDE，且顶点A在底面BCDE上的射影为棱BC的中点O，又底面BCDE为矩形，则侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥侧面ABC，侧面ACD⊥侧面ABC；又因为AC＝AB＝2，BC＝4，即AB⊥AC，则由CD⊥侧面ABC，知CD⊥AB，故AB⊥侧面ACD，故侧面ABE⊥侧面ACD.因此此几何体中共有4对平面互相垂直.‎ 答案　4‎ 能力提升题组 ‎15.在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ A.①和② B.③和① ‎ C.④和③ D.④和②‎ 解析　如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.‎ 答案　D ‎16.(2020·北京房山区一模)某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 解析　该多面体为一个三棱锥D－ABC，是正方体的一部分，如图所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，S△BCD＝×()2＝，S△BAD＝S△ACD＝×1×＝，S△BCA＝×1×1＝ ‎，所以该三棱锥的四个面的面积中最大的是.‎ 答案　C ‎17.正四面体的棱长为2，以其中心O为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成的曲线总长度为4π，则球O的半径为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析　设球O的半径为R，若正四面体一个面截球如图1所示，则小圆周长为π，所以小圆半径为，又球心到四面体的面的距离为1，故R＝＝；若正四面体一个面截球如图2所示，记D为AC的中点，由题意知＝.设小圆O1的半径为r，则∠AO1B＝，‎ 又∠BO1C＝，∠AO1D＝(∠BO1C－∠AO1B)＝－，O1D＝，所以cos＝　①.‎ 令f(r)＝cos－，‎ 则f′(r)＝－×‎ sin＋＞0，‎ 所以函数f(r)在(0，＋∞)上单调递增，且最多有一个零点，而f(2)＝0，‎ 所以方程①有唯一解2，从而R＝＝，‎ 所以球O的半径是或，故选D.‎ 答案　D ‎18.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________.‎ 解析　如图，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′.‎ 则C′D′＝＝a.‎ 又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD＝a.‎ 故S△ABC＝AB·CD＝a2.‎ 答案　a2‎