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  • 2021-06-15 发布

2020年高中数学第四章圆与方程4

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‎4.2.2‎‎-4.2.3 直线与圆的方程的应用 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(  )‎ A.21 B.19‎ C.9 D.-11‎ 解析:圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=(m<25).由两圆相外切得|C‎1C2|=r1+r2=1+=5,解方程得m=9.‎ 答案:C ‎2.圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A、B,则线段AB的垂直平分线的方程为(  )‎ A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0‎ C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0‎ 解析:圆x2+y2-2x-5=0化为标准方程是(x-1)2+y2=6,其圆心是(1,0);圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程是(x+1)2+(y-2)2=9,其圆心是(-1,2).线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线,验证可得A正确.‎ 答案:A ‎3.圆O1:x2+y2-6x+16y-48=0与圆O2:x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为(  )‎ A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 解析:圆O1为(x-3)2+(y+8)2=121,‎ O1(3,-8),r=11,‎ 圆O2为(x+2)2+(y-4)2=64,O2(-2,4),R=8,‎ ‎∴|O1O2|==13,‎ ‎∴r-R<|O1O2|2 D.k<-2或k>2或k=± 解析:y=表示圆x2+y2=1的上半部分(包括与x轴的两个交点A,B),y=kx+2过定点(0,2).=kx+2有唯一解,由图(图略)可以看出,在两条切线处和过x轴上AB线段上的点(不包括A,B)的直线满足方程只有一个解,观察选项,易知应选D.‎ 答案:D ‎6.若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1与x2+(y-b)2=1的位置关系是________.‎ 解析:∵两圆的圆心分别为O1(a,0),O2(0,b),半径r1=r2=1,∴|O1O2|==2=r1+r2,两圆外切.‎ 答案:外切 ‎7.已知直线l:y=x+m与曲线C:y=有两个公共点,则m的取值范围是________.‎ 解析:由曲线C:y=,得x2+y2=1(y≥0),‎ ‎∴曲线C为在x轴上方的半圆,如图所示,l:y=x+m是斜率为1的平行直线系,记当m=1时的直线为l1,记当l与半圆相切时的直线为l2,这时圆心到直线的距离d=r=1,所以截距m=.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时),l与C有两个不同的交点.故m∈[1,).‎ 答案:[1,)‎ ‎8.据气象台预报:在A城正东方‎300 km的海面B处有一台风中心,正以‎40 km/h的速度向西北方向移动,在距台风中心‎250 km以内的地区将受其影响,从现在起经过约________ h,台风将影响A城,持续时间约为________ h.(结果精确到0.1 h)‎ 解析:以B为原点,正东方向为x轴的正方向,建立直角坐标系(图略),则台风中心的移动轨迹是y=-x,受台风影响的区域边界的曲线方程是(x-a)2+(y+a)2=2502.‎ 依题意有(-300-a)2+a2≤2502,‎ 解得-150-25≤a≤-150+25,‎ ‎∴t1==≈2.0,‎ Δt==≈6.6.‎ 故从现在起经过约2.0 h,台风将影响A城,持续时间约为6.6 h.‎ 答案:2.0 6.6‎ 5‎ ‎9.已知两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-2)2+(y-2)2=5,求经过点P(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程.‎ 解析:设所求直线为y=kx+1,‎ 即kx-y+1=0.‎ 由题意知圆C1(0,0),r1=1,‎ 圆C2(2,2),r2=,‎ 则两圆圆心到直线的距离分别为 d1=,d2=,‎ 因为直线被两圆截得的弦长相等,所以 ‎2=2,‎ 解得k=-1.‎ ‎∴y=-x+1,即x+y-1=0.‎ 当所求直线垂直于x轴时,所求直线方程为x=0.分别代入圆C1,C2,可知都满足条件,所以所求直线方程为x+y-1=0,或x=0.‎ ‎10.设有半径长为‎3 km的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定,且其速度比为3∶1,问:甲、乙两人在何处相遇?‎ 解析:如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴,南北方向为y轴建立平面直角坐标系.‎ 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇,CD所在直线的方程为+=1(a>3,b>3),乙的速度为v,则甲的速度为3v.依题意,有 解得 所以乙向北前进‎3.75 km时甲、乙两人相遇.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的圆心位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为直线通过第一、二、四象限,所以a<0,b>0,故圆心位于第二象限.‎ 答案:B ‎2.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是(  )‎ 5‎ A.    B.‎2 ‎   C.2    D.4‎ 解析:∵点P在直线3x+4y+8=0上,如图所示,‎ ‎∴设P,‎ C点坐标为(1,1),‎ S四边形PACB=2S△PAC=|AP|·|AC|=|AP|,‎ ‎∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1,‎ ‎∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形PACB的面积最小.‎ ‎∴|PC|2=(1-x)2+2‎ ‎=x2+x+10=2+9,‎ ‎∴|PC|min=3.当|PC|最小时,|PA|= =2,‎ ‎∴四边形PACB面积的最小值为2.‎ 答案:C ‎3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.‎ 解析:如图,圆x2+y2=4的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1.即<1,|c|<13,‎ ‎∴-130)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,求k的值.‎ 解析:由圆的方程得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,‎ 所以若四边形PACB的最小面积是2,所以S△PBC的最小值为1,而S△PBC=r|PB|,‎ 即|PB|的最小值为2,‎ 此时|PC|最小为圆心到直线的距离,‎ 此时d== =,‎ 即k2=4,因为k>0,所以k=2.‎ ‎6.AB为圆的定直径,CD为动直径,自D作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|,求证:直线CP必过一定点.‎ 解析:以线段AB所在的直线为x轴,以AB中点为原点,建立直角坐标系,如图,设圆的方程为x2+y2=r2(r>0),定直径AB位于x轴上,动直径为CD.‎ 令C(x0,y0),则D(-x0,-y0),‎ ‎∴P(-x0,-y0-2r).‎ ‎∴直线CP的方程为 y-y0=(x-x0),‎ 即(y0+r)x-(y+r)x0=0.‎ ‎∴直线CP过直线:x=0,y+r=0的交点(0,-r),‎ 即直线CP过定点(0,-r).‎ 5‎