2020年高中数学第四章圆与方程4 5页

‎4.2.2‎‎-4.2.3 直线与圆的方程的应用 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B．19‎ C．9 D．－11‎ 解析：圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径r1＝1.将圆C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25)，得圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径r2＝(m<25)．由两圆相外切得|C‎1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，解方程得m＝9.‎ 答案：C ‎2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0‎ C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ 解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．‎ 答案：A ‎3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　)‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，‎ O1(3，－8)，r＝11，‎ 圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，‎ ‎∴|O1O2|＝＝13，‎ ‎∴r－R<|O1O2|2 D．k<－2或k>2或k＝± 解析：y＝表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B)，y＝kx＋2过定点(0,2).＝kx＋2有唯一解，由图(图略)可以看出，在两条切线处和过x轴上AB线段上的点(不包括A，B)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.‎ 答案：D ‎6．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．‎ 解析：∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝＝2＝r1＋r2，两圆外切．‎ 答案：外切 ‎7．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝有两个公共点，则m的取值范围是________．‎ 解析：由曲线C：y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，‎ ‎∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示，l：y＝x＋m是斜率为1的平行直线系，记当m＝1时的直线为l1，记当l与半圆相切时的直线为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时)，l与C有两个不同的交点．故m∈[1，)．‎ 答案：[1，)‎ ‎8．据气象台预报：在A城正东方‎300 km的海面B处有一台风中心，正以‎40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心‎250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)‎ 解析：以B为原点，正东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.‎ 依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，‎ 解得－150－25≤a≤－150＋25，‎ ‎∴t1＝＝≈2.0，‎ Δt＝＝≈6.6.‎ 故从现在起经过约2.0 h，台风将影响A城，持续时间约为6.6 h.‎ 答案：2.0　6.6‎ 5‎ ‎9．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5，求经过点P(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程．‎ 解析：设所求直线为y＝kx＋1，‎ 即kx－y＋1＝0.‎ 由题意知圆C1(0,0)，r1＝1，‎ 圆C2(2,2)，r2＝，‎ 则两圆圆心到直线的距离分别为 d1＝，d2＝，‎ 因为直线被两圆截得的弦长相等，所以 ‎2＝2，‎ 解得k＝－1.‎ ‎∴y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.‎ 当所求直线垂直于x轴时，所求直线方程为x＝0.分别代入圆C1，C2，可知都满足条件，所以所求直线方程为x＋y－1＝0，或x＝0.‎ ‎10．设有半径长为‎3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？‎ 解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．‎ 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为＋＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有 解得 所以乙向北前进‎3.75 km时甲、乙两人相遇．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的圆心位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以a<0，b>0，故圆心位于第二象限．‎ 答案：B ‎2．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值是(　　)‎ 5‎ A.　　　 B．‎2　‎　　　C．2　　　　D．4‎ 解析：∵点P在直线3x＋4y＋8＝0上，如图所示，‎ ‎∴设P，‎ C点坐标为(1,1)，‎ S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|，‎ ‎∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，‎ ‎∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．‎ ‎∴|PC|2＝(1－x)2＋2‎ ‎＝x2＋x＋10＝2＋9，‎ ‎∴|PC|min＝3.当|PC|最小时，|PA|＝ ＝2，‎ ‎∴四边形PACB面积的最小值为2.‎ 答案：C ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．‎ 解析：如图，圆x2＋y2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1.即<1，|c|<13，‎ ‎∴－130)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，求k的值．‎ 解析：由圆的方程得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，‎ 所以若四边形PACB的最小面积是2，所以S△PBC的最小值为1，而S△PBC＝r|PB|，‎ 即|PB|的最小值为2，‎ 此时|PC|最小为圆心到直线的距离，‎ 此时d＝＝ ＝，‎ 即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.‎ ‎6．AB为圆的定直径，CD为动直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．‎ 解析：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，定直径AB位于x轴上，动直径为CD.‎ 令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，‎ ‎∴P(－x0，－y0－2r)．‎ ‎∴直线CP的方程为 y－y0＝(x－x0)，‎ 即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.‎ ‎∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，‎ 即直线CP过定点(0，－r)．‎ 5‎