2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试 5页

同步精选测试　等比数列的前n项和 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)‎ A.1　　　B‎.0　‎　　C.1或0　　　D.－1‎ ‎【解析】　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.‎ ‎【答案】　A ‎2.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. v B.－ C. D.－ ‎【解析】　设公比为q，∵S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，‎ ‎∴∴ 解得a1＝，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　) ‎ ‎【导学号：18082099】‎ A.190 B‎.191 C.192 D.193‎ ‎【解析】　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.‎ ‎【答案】　C ‎4.设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为(　　)‎ A.2n B.2n－n C.2n＋1－n D.2n＋1－n－2‎ ‎【解析】　法一：特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2‎ 5‎ ‎＝4的只有答案D.‎ 法二：看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.‎ ‎∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.‎ ‎【答案】　D ‎5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝‎2a1，且a4与‎2a7的等差中项为，则S5＝(　　)‎ A.35 B.33‎ C.31 D.29‎ ‎【解析】　设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝‎2a1，∴a4＝2.‎ 又∵a4＋‎2a7＝a4＋‎2a4q3＝2＋4q3＝2×，‎ ‎∴q＝.‎ ‎∴a1＝＝16，S5＝＝31.‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝x·2n－1，则x＝________. ‎ ‎【导学号：18082100】‎ ‎【解析】　法一：由Sn＝x·2n－1得a1＝S1＝2x－1，a2＝S2－S1＝2x，a3＝S3－S2＝4x.因为a1，a2，a3成等比，所以a＝a1·a3，即(2x)2＝(2x－1)·4x，解得x＝0或1.又a2＝2x≠0，∴x＝1.‎ 法二：当n＝1时，a1＝S1＝2x－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(x·2n－1)－(x·2n－1－1)＝x·2n－1.因为{an}是等比数列，所以n＝1时也适合an＝x·2n－1，所以x·20＝2x－1，∴x＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎7.设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.‎ ‎【解析】　法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.‎ 法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.‎ ‎【答案】　15‎ ‎8.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n 5‎ ‎＝________.‎ ‎【解析】　∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.‎ ‎【答案】　6‎ 三、解答题 ‎9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.‎ ‎(1)求{an}的公比q；‎ ‎(2)若a1－a3＝3，求Sn. ‎ ‎【导学号：18082101】‎ ‎【解】　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.‎ 又q≠0，从而q＝－.‎ ‎(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.‎ 从而Sn＝＝.‎ ‎10.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N＋).‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ ‎【解】　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N＋).‎ 由题意知：‎ 当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.‎ 当n≥2时，b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝bn－1，和原递推式作差得，bn＝bn＋1－bn.整理得＝，所以bn＝n(n∈N＋).‎ ‎(2)由(1)知anbn＝n·2n，‎ 因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，‎ ‎2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，‎ 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.‎ 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).‎ 5‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A.(2n－1)2 B.(2n－1)2‎ C.4n－1 D.(4n－1)‎ ‎【解析】　a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1).‎ ‎【答案】　D ‎2.如图231，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　) ‎ ‎【导学号：18082102】‎ 图231‎ A. B.π C.2π D.3π ‎【解析】　根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.‎ ‎【答案】　B ‎3.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q＝________.‎ ‎【解析】　若q＝1，则Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1，显然2Sn≠Sn＋1＋Sn＋2，不合题意，所以q≠1.‎ 由题意，知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，‎ 5‎ 即2·＝＋.‎ 因为≠0，‎ 所以2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2.‎ 因为qn≠0，所以q2＋q－2＝0，所以q＝－2.‎ ‎【答案】　－2‎ ‎4.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)由题意有 即 解得或 故或 ‎(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，‎ 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ①‎ Tn＝＋＋＋＋…＋＋. ②‎ ‎①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，‎ 故Tn＝6－.‎ 5‎