山东省青岛市2020届高三第三次模拟数学试题 Word版含解析 27页

- 1 - 青岛市 2020 年高三自主检测 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的． 1.若复数 （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用复数的四则运算得到 ，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项. 【详解】 ， 复数 z 在复平面上对应的点为 ，该点在第二象限， 故复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以 分母的共轭复数，本题属于基础题. 2.已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】 , , 3 2 1 iz i = + 1z i= − + ( ) ( )3 2 12 2 11 1 1 (1 ) i ii iz ii i i i += = = = − ++ − − + ( )1,1− U = R { }2 0M x R x x= ∈ − ≤ { }cos ,N y R y x x R= ∈ = ∈ ( )U M N∩ = [ )1,0− ( )0,1 ( ),0−∞ ∅ { }2 0 [0,1]M x R x x= ∈ − ≤ = { }cos , [ 1,1]N y R y x x R= ∈ = ∈ = − - 2 - , , 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于 容易题. 3.如图是一个 列联表，则表中 、 处的值分别为（ ） 总计 总计 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据表格中的数据可先求出 、 的值，再结合总数为 可分别求得 和 的值. 【详解】由表格中的数据可得 ， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题. 4.若直线 ， ． ， 与 平行，则下列选项 中正确的（ ） A. p 是 q 的必要非充分条件 B. q 是 p 的充分非必要条件 ( ,0) (1, )U M∴ = −∞ +∞ ( ) [ )1,0U M N = −∴ ∩ 2 2× a b 1y 2y 1x b 21 e 2x c 25 33 a d 106 96 94 60 52 52 54 50 52 d c 106 a b 33 25 8c = − = 21 25 46d = + = 106 46 60a∴ = − = 60 8 52b = − = 2 1 : 3 2 0l a x y− + = 2 : 2 5 0l ax y a+ − = : 0p a = 1:q l 2l - 3 - C. p 是 q 的充分非必要条件 D. q 是 p 的非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 与 平行，得到 或 ，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为 与 平行，所以 或 . 经检验，当 或 时，两直线平行. 设 ， 或 ， 因为  , 所以 p 是 q 的充分非必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平. 5.在 中，如果 ，那么 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角 形 【答案】A 【解析】 【分析】 结合 以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为 ，即 ，又 ， ，所以 与 一正一负，故而得解. 【详解】解： ， 1l 2l 0a = 6 5a = − 1l 2l 2 5 ( 3) 2 0, 0a a a× − − × = ∴ = 6 5a = − 0a = 6 5a = − { | 0}A a a= = { | 0B a a= = 6}5a = − A B ABC ( )cos 2 cos 0B C C+ + > ABC A B C π+ + = 2cos cos 0B A− > cos cos 0B A < A (0, )B π∈ cos B cos A A B C π+ + = cos(2 ) cosB C C∴ + + ( )cos cos[ ( )]B B C B Aπ= + + + − + cos[ ( )] cos[ ( )]B A B Aπ π= + − + − + cos[ ( )] cos[ ( )]B A B Aπ π= + − + − + cos( ) cos( )B A B A= − − − + - 4 - ， ，即 与 异号， 又 ， ， 与 一正一负， 为钝角三角形． 故选：A. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查 学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题. 6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学 喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学 依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50 种 B. 60 种 C. 80 种 D. 90 种 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，按甲的选择不同分成 2 种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情 况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成 2 种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有 2 种，丙的选择有 10 种， 此时有 种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有 2 种，乙的选择有 3 种，丙的选择有 10 种， 此时有 种不同的选法； 则一共有 种选法. 故选：C. 【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题. 7.在三棱柱 中， ，侧棱 底面 ABC，若该三棱柱的所有顶 cos cos sin sin cos cos sin sinB A B A B A B A= − − − + 2cos cos 0B A= − > cos cos 0B A∴ < cos B cos A A (0, )B π∈ cos B∴ cos A ABC∴ 2 10 20× = 2 3 10 60× × = 20 60 80+ = 1 1 1ABC A B C− AB BC AC= = 1AA ⊥ - 5 - 点都在同一个球 O 的表面上，且球 O 的表面积的最小值为 ，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 设三棱柱的上、下底面中心分别为 、 ，则 的中点为 ，设球 的半径为 ，则 ，设 ， ，在 △ 中，根据勾股定理和基本不等式 求出 的最小值为 ，结合已知可得 ，从而可得侧面积. 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为 、 ，则 的中点为 ， 设球 的半径为 ，则 ，设 ， ， 则 ， ， 则 △ 中， ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ，所以 ，所以 ， 在 4π 6 3 3 3 3 2 1O 2O 1 2O O O O R OA R= AB BC AC= = a= 1AA h= Rt 2OO A 2R 3 3 ah 3ah = 1O 2O 1 2O O O O R OA R= AB BC AC= = a= 1AA h= 2 1 2OO h= 2 2 3 3 3 2 3O A AB a= × = Rt 2OO A 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 3R OA OO O A h a= = + = + 1 32 2 3h a≥ × × 3 3 ah= 3 3h a= 2 34 4 3S R ahπ π= ≥ ×球 4 3 3 ah π = 4π 3ah = - 6 - 所以该三棱柱的侧面积为 . 故选：B. 【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于 基础题. 8.已知函数 ，若函数 有 13 个零点， 则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可知，设 ，且 恒过定点 ，转化为函数 与函数 的图象有 13 个交点，画出函数 与函数 的图象，利用 数形结合法，即可求出 的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数 有 13 个零点， 令 ，有 ， 设 ，可知 恒过定点 ， 画出函数 ， 的图象，如图所示： 则函数 与函数 的图象有 13 个交点， 由图象可得： ，则 ，即 ， 解得： ， ， . 故选：D. 3 3 3ah = ( ) ( )26 , 7 5 ( 2), 5 x xf x f x x  + − ≤ < −=  − ≥ − ( ) ( ) ( )1g x f x k x= − + k 1 1,8 6      1 1,8 6     1 1 1 1, ,6 8 8 6    − −      1 1 1 1, ,6 8 8 6    − −       ( ) | | | 1|h x k x= + ( )h x ( )1,0− ( )y f x= ( ) | | | 1|h x k x= + ( )y g x= ( ) | | | 1|h x k x= + k ( ) ( ) | ( 1) |g x f x k x= − + ( ) 0g x = ( ) | | | 1|f x k x= + ( ) | | | 1|h x k x= + ( )h x ( )1,0− ( )f x ( )h x ( )y f x= ( ) | | | 1|h x k x= + ( ) ( ) ( ) 5 1 7 1 7 1 h h h  <  >  − < ·(5 1) 1 ·(7 1) 1 · 7 1 1 k k k  + <  + >  − + < 1 1| |8 6k< < 1( 6k ∈ − 1 1) (8 8 −  1)6 - 7 - 【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转 化思想和数形结合思想，属于中档题. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多页符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 得 0 分． 9.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若 函数 在区间 上是单调增函数，则实数 可能的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据图象平移求得函数 的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得 的取值范 围，即可求解. 【详解】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度， 得到函数 的图象， 若函数 在区间 上是单调增函数， ( ) ( )sin 0f x xω ω= > 12 π ( )y g x= ( )g x 0, 2 π     ω 2 3 5 6 ( )y g x= w ( ) ( )sin 0f x xω ω= > 12 π ( ) sin( )12 wy g x wx π= = − ( )g x 0, 2 π     - 8 - 则满足 ，解得 ， 所以实数 的可能的取值为 . 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质 的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国 古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有 一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布， 第一天织 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已 知 匹 丈， 丈 尺，若这一个月有 天，记该女子这一个月中的第 天所织布的尺数 为 ， ，对于数列 、 ，下列选项中正确的为（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 由题意可知，数列 为等差数列，求出数列 的公差，可得出数列 的通项公式，利 用等比数列的定义判断出数列 是等比数列，然后利用数列 的通项公式即可判断出各 选项的正误. 【详解】由题意可知，数列 为等差数列，设数列 的公差为 ， ， 由题意可得 ，解得 ， ， ， （非零常数），则数列 是等比数列，B 选项正确； 12 2 2 12 2 w w w π π π π π − ≥ −  − ≤ 60 5w< ≤ w 2 5,1,3 6 5 1 4= 1 10= 30 n na 2 na nb = { }na { }nb 10 58b b= { }nb 1 30 105a b = 3 5 7 2 4 6 209 193 a a a a a a + + =+ + { }na { }na { }na { }nb { }na { }na { }na d 1 5a = 1 30 2930 3902 da ×+ = 16 29d = ( )1 16 1291 29n na a n d +∴ = + − = 2 na nb = 1 11 2 2 22 n n n n a a a dn a n b b + + −+∴ = = = { }nb - 9 - ， ， ，A 选项错误； ， ，C 选项错误； ， ， 所以， ，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式， 考查计算能力，属于中等题. 11.已知曲线 上存在两条斜率为 3 的不同切线，且切点的横坐标都大 于零，则实数 可能的取值（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，得出 的导数，可令切点的横坐标为 ，求得切线的斜率，由题意可得关于 的方程 有两个不等的正根，考虑判别式大于 0，且两根之和大于 0，两根 之积大于 0，计算可得 的范围，即可得答案. 【详解】解：由题可知， ， 则 ， 可令切点的横坐标为 ，且 ， 可得切线斜率 ， 由题意，可得关于 的方程 有两个不等的正根， 且可知 ， 16 805 5 329 29d = × = ≠ ( )5 5 310 5 2 2 2d db b = = ≠ 10 58b b∴ ≠ 30 1 29 5 16 21a a d= + = + = 21 1 30 5 2 105a b∴ = × > 4 1 16 1933 5 3 29 29a a d= + = + × = 5 1 16 2094 5 4 29 29a a d= + = + × = 3 5 7 5 5 2 4 6 4 4 3 209 3 193 a a a a a a a a a a + + = = =+ + ( ) 3 22 13f x x x ax= − + − a 19 6 10 3 9 2 ( )f x m m 22 2 3 0m m a− + − = a 3 22( ) 13f x x x ax= − + − 2( ) 2 2f x x x a′ = − + m 0m > 22 2 3k m m a= − + = m 22 2 3 0m m a− + − = 1 2 1 0m m+ = > - 10 - 则 ，即 ， 解得： ， 的取值可能为 ， . 故选：AC. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考 查转化思想和运算能力. 12.在如图所示的棱长为 1 的正方体 中，点 P 在侧面 所在的平面上 运动，则下列命题中正确的（ ） A. 若点 P 总满足 ，则动点 P 的轨迹是一条直线 B. 若点 P 到点 A 的距离为 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为 的圆 C. 若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D. 若点 P 到直线 AD 与直线 的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A.根据 平面 ，判断点 的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条 件可转化为 ，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点 的轨迹方程， 判断轨迹是否是双曲线. 【详解】A.在正方体 中， 平面 ， 1 2 0 0m m ∆ >  > 4 8( 3) 0 3 02 a a − − > − > 73 2a< < a∴ 19 6 10 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1BCC B 1PA BD⊥ 2 2π 1CC 1BD ⊥ 1AB C P 1PB PC+ = P 1AC 1,AC BD BB⊥ ⊥ ABCD - 11 - 所以 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 同理 ，所以 平面 ， 而点 P 在侧面 所在的平面上运动，且 ， 所以点 的轨迹就是直线 ，故 A 正确； B.点 的轨迹是以 为球心，半径为 的球面与平面 的交线， 即点 的轨迹为小圆，设小圆的半径为 ， 球心 到平面 的距离为 1，则 ， 所以小圆周长 ，故 B 正确； C. 点 P 到直线 AB 的距离就是点 到点 的距离， 即平面 内的点 满足 ， 即满足条件的点 的轨迹就是线段 ，不是椭圆，故 C 不正确； D.如图，过 分别做 于点 ， 于点 ， 则 平面 ，所以 ，过 做 ，连结 ， ，所以 平面 ，所以 ， 如图建立平面直角坐标系，设 ， 1 1,BB AC BB BD B⊥ = AC ⊥ 1 1BB D D 1BD ⊂ 1 1BB D D 1AC BD⊥ 1 1 1,AB BD AB AC A⊥ = 1BD ⊥ 1AB C 1 1BCC B 1PA BD⊥ P 1B C P A 2 1 1BCC B P r A 1 1BCC B ( )2 2 1 1r = − = 2 2l rπ π= = P B 1 1BCC B P 1PB PC BC+ = = P BC P PM BC⊥ M 1PE CC⊥ E PM ⊥ ABCD PM AD⊥ M MN AD⊥ PN PM MN M∩ = AD ⊥ PMN PN AD^ ( ),P x y - 12 - ，则 ， ， 即 ，整理为： ， 则动点 的轨迹是双曲线，故 D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻 辑推理，计算能力，属于中档题型. 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数 的取 值范围. 【详解】解：由题可知，方程 表示焦点在 轴上的椭圆， 可得 ，解得： ， 所以实数 的取值范围为： . 故答案为： . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题. PM y= 2 21PN y= + ( )22 1PE x= − ( )221 1y x+ = − ( )2 21 1x y− − = P 2 2 11 x y m m + =− y m 1(0, )2 m 2 2 11 x y m m + =− y 1 0m m− > > 10 2m< < m 1(0, )2 1(0, )2 - 13 - 14.已知定义在 的偶函数 在 单调递减， ，若 ，则 x 的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】 由 题 意 结 合 偶 函 数 的 性 质 可 得 ， 再 由 函 数 的 单 调 性 即 可 得 ，即可得解. 【详解】因为 为偶函数， ，所以 ， 又 在 单调递减， ， 所以 ，解得 . 所以 x 的取值范围为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力， 属于基础题. 15.若 ，则 （1） ________； （2） ________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 （1）化简二项式为 ，利用通项，求得 ，再令 ，求 得 ，即可求解； （2）令 ，求得 ( ),−∞ +∞ ( )f x [ )0,+∞ ( ) 11 2f − = − ( ) 12 1 2f x − ≥ − 0 1x≤ ≤ ( ) ( ) 11 1 2f f= − = − 1 2 1 1− ≤ − ≤x ( )f x ( ) 11 2f − = − ( ) ( ) 11 1 2f f= − = − ( )f x [ )0,+∞ ( ) 12 1 2f x − ≥ − 1 2 1 1− ≤ − ≤x 0 1x≤ ≤ 0 1x≤ ≤ 0 1x≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )17 2 16 17 0 1 2 16 172 1 1 1 1x a a x a x a x a x− = + + + + + + + + + 0 1 2 16a a a a+ + + + = 1 2 3 162 3 16a a a a+ + + + = 172 1+ ( )1617 1 2⋅ − ( ) 7 171 [3 )]2 (1x x= − +− 17 1a = − 1 1x+ = 0 1 2 16 1 1 7 7 2a a a a a+ + + =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 16 17 0 1 2 16 7 17 1 (21 1 1 1 )a a x a x a x xx ag x= + + + + + + + + + = − - 14 - ，根据 和（1）中 ， 即可求解. 【详解】（1）由题意，可化为 ， 由 ，可得 ， 令 ，即 时，可得 ， 所以 . （2）令 ， 则 ， 则 ， 由（1）可得 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋 值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属 于中档试题. 16.已知 ， 是平面上不共线的两个向量，向量 与 ， 共面，若 ， ， 与 的夹角为 ，且 ， ，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 设 ， 由 已 知 ， 可 得 ， ， 从 而 可 求 出 ，则 ，即可求出模长. 【详解】解：设 ，因为 与 的夹角为 ， 所以 ， ( ) ( ) ( )16 1 2 17 162 1 17 1 17 (2 )g a a x a xx x′ = − ⋅+ + + −= + + ( )0g′ 17 1a = − ( ) 7 171 [3 )]2 (1x x= − +− 17 17 17 17 17 [ (1 )] (1 )T C x x= − + = − + 17 1a = − 1 1x+ = 0x = 0 1 2 16 1 1 7 7 2a a a a a+ + + =+ + 1 0 1 2 1 7 7 1 1 6 72 2 1a a a a a= −+ =+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 16 17 0 1 2 16 7 17 1 (21 1 1 1 )a a x a x a x xx ag x= + + + + + + + + + = − ( ) ( ) ( ) ( )15 16 1 2 16 17 1612 1 7 (216 1 1 1 )7g a a x x ax a xx′ == + + + + ⋅+ −+ −+ ( ) 1 2 16 16 172 16 1 770 1 2a a ag a= + + + +′ = − ⋅ 1717 17a = − 16 16 1 2 3 16 12 3 7 2 17 17 ( )1 1 26a a a a+ + + + = − ⋅ + = ⋅ − 1e 2e b 1e 2e 1 1e = 2 2e = 1e 2e 3 π 1 1b e⋅ =  2 2b e⋅ =  b = 2 3 3 1 2b xe ye= +   1 1b e⋅ =  2 2b e⋅ =  1x y+ = 4 2x y+ = 2 1,3 3x y= = 2 1 2 2 1 3 3b e e = +      1 2b xe ye= +   1e 2e 3 π 1 2 1 2 cos 13e e e e π⋅ = =    - 15 - 则 ， ，解得 ， 则 ， 故答案为: . 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本 题的难点是用已知 表示 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 17.如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，点 是线段 的中点，将 ， 分别沿 ， 向上折起，使 ， 重合于点 ，得到三棱锥 ．试在三棱锥 中， （1）证明：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理，得出 ，而 ，根据线面垂直的判定定理证 ( )1 2 2 1 1 1 1 2 1b e e x e ye e xe ye yx⋅ = ⋅ =+ + ⋅ = + =      ( ) 2 2 2 2 11 2 2 4 2b e e yxe e xy x ye e e⋅ = ⋅ = + ⋅ = ++ =       2 1,3 3x y= = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 1 4 4 4 4 2 3 3 3 9 9 9 9 9 9 3b e e e e e e = + = + + ⋅ = + + =          2 3 3 1 2,e e  b 1 2AO O C 1 2/ /AO CO 1 1 2AO O O⊥ 1 2 4O O = 2 2CO = 1 4AO = B 1 2O O 1ABO△ 2BCO△ AB BC 1O 2O O O ABC− O ABC− AOB ⊥ BOC OC ABC 2 3 AO OC⊥ AO OB⊥ - 16 - 出 平面 ，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面 平面 ； （2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，根据 空间坐标的运算可得出 和平面 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式， 即可求出直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）由题知：在直角梯形 中， ， 所以在三棱锥 中， ， 所以 ， 又因为 ， ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以，平面 平面 . （2）由（1）知： ， ，又 ， 以 为坐标原点，以 的方向分别作为 轴， 轴， 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系 ， 所以 ， ， ， ， 设 为平面 的法向量， ， ， 由 ，可得 ， 令 得： ， 设直线 与平面 所成角为 ，所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . AO ⊥ BOC AOB ⊥ BOC O OC x OB y OA z ( )2,0,0OC → = ABC OC ABC 1 2AO O C ( )22 2 1 2 1 2 20AC AO CO O O= − + = O ABC− 2 2 2AC AO OC= + AO OC⊥ AO OB⊥ CO OB O= AO ⊥ BOC AO ⊂ AOB AOB ⊥ BOC AO OC⊥ AO OB⊥ BO OC⊥ O , ,OC OB OA   x y z O xyz− ( )0,0,4A ( )0,2,0B ( )2,0,0C ( )2,0,0OC → = ( ), ,n x y z= ABC ( )0,2, 4AB → = − ( )2, 2,0BC → = − 0 0 n AB n BC  ⋅ =  ⋅ =   2 4 0 2 2 0 y z x y − =  − = 2x = ( )2,2,1n = OC ABC θ 2sin 3C OC O n n θ → → → → = = ⋅ ⋅ OC ABC 2 3 - 17 - 【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成 角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力. 18.已知 为等差数列， ， ， 分别是下表第一、二、三行中 某一个数，且 ， ， 中的任何两个数都不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从① ，② ，③ 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 存在；并在此存在的数列 中，试解答下列两个问题 （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 ． 的{ }na 1a 2a 3a 1a 2a 3a 1 2a = 1 1a = 1 3a = { }na { }na { }na { }nb ( ) 1 21 n n nb a+= − { }nb nT - 18 - 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 分析】 (1)分别代入① ，② ，③ ，结合已知条件可判断 ， ， ， 求出数列的公差，即可求出通项公式. (2)由(1)知 ，当 n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出 ， 由等差数列的求和公式即可求解；当 n 为奇数时， 即可求解. 【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列； 当第一行第二列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列；当第一行第三列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列， 则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 都不存在， 若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知 ， ， ， 则公差 ，所以 ， ， 若选择条件③，当第一行第一列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列； 当第一行第二列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列；当第一行第三列为 时，由题意知，可能的组合有， 不是等差数列， 不是等差数列， 【 3 2na n= − 2 2 9 3 , 2 ,2 2 9 3 2, 2 1,2 2 n n n n k k N T n n n k k N ∗ ∗ − + = ∈∴ =   − − = − ∈ 1 2a = 1 1a = 1 3a = 1 1a = 2 4a = 3 7a = ( ) ( )1 21 3 2n nb n+= − − 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 1n n n nT b b b b a a a a a a−= + + + + = − + − + + −  ( )1 2 33 na a a a= − + + + 1n n nT T b−= + 1a 1 2 32, 6, 7a a a= = = 1 2 32, 9, 8a a a= = = 1a 1 2 32, 4, 7a a a= = = 1 2 32, 9, 12a a a= = = 1a 1 2 32, 4, 8a a a= = = 1 2 32, 6, 12a a a= = = { }na 1 1a = 2 4a = 3 7a = 2 1 3d a a= − = ( )1 1 3 2na a n d n= + − = − *n N∈ 1a 1 2 33, 6, 7a a a= = = 1 2 33, 9, 8a a a= = = 1a 1 2 33, 4, 7a a a= = = 1 2 33, 9, 12a a a= = = 1a 1 2 33, 4, 8a a a= = = 1 2 33, 6, 12a a a= = = - 19 - 则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 都不存在， 综上可知： ， . （2）由（1）知， ，所以当 n 为偶数时， ， 当 n 为奇数时， ， 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求 和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论. 19.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （1）若 还同时满足下列四个条件中的三个：① ，② ，③ ，④ 的面积 ，请指出这三个条件，并说明理由； （2）若 ，求 周长 L 的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得 ，再判断①②不能同时成立， 最后根据③④判断能同时成立的第三个条件； （2）首先利用正弦定理边角互化，表示 ， ，再利用三角 { }na 3 2na n= − *n N∈ ( ) ( )1 21 3 2n nb n+= − − 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 1n n n nT b b b b a a a a a a−= + + + + = − + − + + −  ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 3 4 3 4 4 1n n n na a a a a a a a a a a a− −= + − + − + + + + − ( ) ( ) 2 1 2 3 1 3 2 9 33 3 2 2 2n n na a a a n n + −= − + + + = − × = − + ( ) ( ) ( )2 2 2 1 9 3 9 31 1 3 2 22 2 2 2n n nT T b n n n n n−= + = − − + − + − = − − 2 2 9 3 , 2 ,2 2 9 3 2, 2 1,2 2 n n n n k k N T n n n k k N ∗ ∗ − + = ∈∴ =   − − = − ∈ ABC sin sin sin cos cos cos A B C A B C += + ABC 7a = 10b = 8c = ABC 10 3S = 3a = ABC ( ]6,9 3A π= 2 3sinb B= 22 3sin 3c B π = −   - 20 - 函数恒等变形表示周长 ，最后根据角 的范围求周长的取值范围. 【详解】解：因为 所以 即 所以 因为 A，B， ， 所以 ，即 ，所以 （1） 还同时满足条件①③④ 理由如下： 若 同时满足条件①② 则由正弦定理得 ，这不可能 所以 不能同时满足条件①②， 所以 同时满足条件③④ 所以 的面积 所以 与②矛盾 所以 还同时满足条件①③④ （2）在 中，由正弦定理得： 因为 ，所以 ， 所以 L 6sin 36B π = + +   B sin sin sin cos cos cos A B C A B C += + sin cos sin cos cos sin cos sinA B A C A B A C+ = + sin cos cos sin sin cos cos sinA B A B C A C A− = − ( ) ( )sin sinA B C A− = − ( )0,C π∈ A B C A− = − 2A B C= + 3A π= ABC ABC sin 5 3sin 17 bB a A= = > ABC ABC ABC 1 1 38 10 32 2sin 2A bS bc= = × × =× 5b = ABC ABC 2 3sin sin sin b c a B C A = = = 2 3C B π= − 2 3sinb B= 22 3sin 3c B π = −   22 3 s sin 3in 3a b BL c B π  = + + = + − +     sin co3 1 32 s6 2B B  = + +    6sin 36B π = + +   - 21 - 因为 ，所以 ， 所以 周长 L 的取值范围为 . 【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算 能力，逻辑推理能力，属于中档题型. 20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表： 阶梯 年用气量（立方米） 价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过 228 的部分 3.25 第二阶梯 超过 228 而不超过 348 的部分 3.83 第三阶梯 超过 348 的部分 4.70 从该市随机抽取 10 户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下： 居民用气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气量（立方米） 95 106 11 2 161 210 227 256 313 325 457 （1）求一户居民年用气费 y（元）关于年用气量 x（立方米）的函数关系式； （2）现要在这 10 户家庭中任意抽取 3 户，求抽到的年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户数的分布列与数学期望； （3）若以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取 10 户， 其中恰有 k 户年用气量不超过 228 立方米的概率为 ，求 取最大值时的值． 【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为 ； 20, 3B π ∈   5,6 6 6B π π π + ∈   1sin ,16 2B π   + ∈       ABC ( ]6,9 ( )P k ( )P k ( ] ( ] ( ) 3.25 , 0,228 3.83 132.24, 228,348 4.7 435, 348, x x y x x x x  ∈ = − ∈  − ∈ +∞ 9 10 - 22 - （3）6． 【解析】 【分析】 （1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费 y（元）关于年用气量 x（立方米） 的函数关系式； （2）由题意知 10 户家庭中年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户有 3 户，得 到随机变量 可取 ，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而 求得期望； （3）由 ，列出不等式组由 ，求得 的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 所以年用气费 y 关于年用气量 x 的函数关系式为 . （2）由题知 10 户家庭中年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户有 3 户， 设取到年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户数为 ，则 可取 ， 则 ， ， ， ， 故随机变量 分布列为： 0 1 2 3 的 ξ 0,1,2,3 ( ) 10 10 3 2 5 5 k k kP k C −   =        10 1 10 1 1 10 10 10 1 10 1 1 10 10 3 2 3 2 5 5 5 5 3 2 3 2 5 5 5 5 k k k k k k k k k k k k C C C C − + − − + − − − + −         ≥                         ≥                k ( ]0,228x∈ 3.25y x= ( ]228,348x∈ 3.83 132.24y x= − ( )348,x∈ +∞ 4.7 435xy −= ( ] ( ] ( ) 3.25 , 0,228 3.83 132.24, 228,348 4.7 435, 348, x x y x x x x  ∈ = − ∈  − ∈ +∞ ξ ξ 0,1,2,3 ( ) 3 7 3 10 70 24 CP C ξ = = = ( ) 2 1 7 3 3 10 211 40 C CP C ξ = = = ( ) 1 2 7 3 3 10 72 40 C CP C ξ = = = ( ) 3 3 3 10 13 120 CP C ξ = = = ξ ξ - 23 - P 所以 . （3）由题意知 ， 由 ，解得 ， ， 所以当 时，概率 最大，所以 . 【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期 望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21.已知函数 ，（其中 是自然对数的底数）， ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）设函数 ，若 对任意的 恒成立，求实数 a 的取值 范围． 【答案】（1）在定义域 上单调递增；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）先求得 ，利用导数可得 恒成立，故可得 的单调区间. （2） 对任意的 恒成立等价于 对任意 恒成立，就 7 24 21 40 7 40 1 120 ( ) 7 21 7 1 90 1 2 324 40 40 120 10E ξ = × + × + × + × = ( ) ( )10 10 3 2 0,1,2,3 ,105 5 k k kP k C k −   = =        10 1 10 1 1 10 10 10 1 10 1 1 10 10 3 2 3 2 5 5 5 5 3 2 3 2 5 5 5 5 k k k k k k k k k k k k C C C C − + − − + − − − + −         ≥                         ≥                28 33 5 5k≤ ≤ *k N∈ 6k = ( )P k 6k = ( ) lnxf x ae x= 2.71828e =  ( ) 2 lng x x x a= + 0a > ( )f x ( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( ) 0h x > ( )0,1x∈ ( )0, ∞+ 1 ,e  +∞  ( ) ( )l 1 ,n 0,x xf x ae xx  ′ = + ∈ +∞   1ln 1x x + ≥ ( )f x ( ) 0h x > ( )0,1x∈ ( ) ln nl x x ae ae x x> ( )0,1x∈ - 24 - 和 结合 的单调性分类讨论可得 对任意 恒成立， 参变分离后再次利用导数可求 的取值范围. 【详解】解：（1）因为 ，所以 . 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增． 所以 ，又因为 ， ， 所以 ， 在定义域 上单调递增. （2）由 得 ，即 ， 所以 ，即 对任意 恒成立， 设 ，则 所以，当 时， ，函数 单调递增， 且当 时， ，当 时， ， 若 ，则 ， 若 ，因为 ，且 在 上单调递增，所以 ， 综上可知， 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立. 设 ， ，则 ，所以 在 单调递增， 所以 ，即 a 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论， 1xae ≥ 1xae < ( ) lnH x x x= xae x> ( )0,1x∈ a ( ) lnxf x ae x= ( ) ( )l 1 ,n 0,x xf x ae xx  ′ = + ∈ +∞   ( ) ln 1k x x x = + ( ) 2 1xk x x −′ = ( )0,1x∈ ( ) 0k x′ < ( )k x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0k x′ > ( )k x ( ) ( )1 1 0k x k≥ = > 0a > 0xe > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 0h x > ( ) ( ) 0g x f x− > 2ln lnxae x x x a< + ( )ln ln ln x x x aex x ae x a ae +< = ( ) ln nl x x ae ae x x> ( )0,1x∈ ( ) lnH x x x= ( ) 2 1 ln xH x x −′ = ( )0,1x∈ ( ) 0H x′ > ( )H x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0H x > ( )0,1x∈ ( ) 0H x < 1xae x≥ > ( ) ( )0xH ae H x≥ > 0 1xae< < ( ) ( )xH ae H x> ( )H x ( )0,1 xae x> xae x> ( )0,1x∈ x xa e > ( )0,1x∈ ( ) x xG x e = ( )0,1x∈ ( ) 1 0x xG x e −′ = > ( )G x ( )0,1 ( ) ( ) 11 aG x G e < = ≤ 1 ,e  +∞  - 25 - 后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数 来讨论，本题为较难题. 22.已知直线 过坐标原点 O 且与圆 相交于点 A，B，圆 M 过点 A，B 且与直线 相切． （1）求圆心 M 的轨迹 C 的方程； （2）若圆心在 x 轴正半轴上面积等于 的圆 W 与曲线 C 有且仅有 1 个公共点． （ⅰ）求出圆 W 标准方程； （ⅱ）已知斜率等于 的直线 ，交曲线 C 于 E，F 两点，交圆 W 于 P，Q 两点，求 的 最小值及此时直线 的方程． 【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ） 的最小值为 ， 此时直线 的方程为 ． 【解析】 【分析】 （1）设 ，由题意结合圆的性质可得 、 ，代 入化简即可得解； （2）（ⅰ）设圆 W 与曲线 C 的公共点为 ，圆 W 的标准方程 ，由题意可得曲线 C 在 T 的切线 l 与圆 W 相切即 ，由直线垂直 的性质及点 在圆 W 上即可得解； （ⅱ）设 ， ，直线 ，联立方程组结合弦长公式可得 ， 由垂径定理可得 ，确定 m 的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意圆 的圆心为 ，半径为 2，直线 过坐标原点 O， 所以坐标原点 O 为 AB 的中点， ， 1l 2 2 4x y+ = 2 0y + = 2π 1− 2l EF PQ 2l 2 4x y= ( )2 23 2x y− + = EF PQ 2 6+ 2l 2 3 1y x= − + − ( ),M x y 2 2 2MO OA MA+ = 2r y MA= + = ( )2 , 04 tT t t   >   ( ) ( )2 2 2 0x a y a− + = > l WT⊥ T ( )1 1,E x y ( )2 2,F x y 2 :l y x m= − + EF PQ 2 2 4x y+ = ( )0,0 1l 2AO = - 26 - 所以 ， 设 ，所以 ， 又因为圆 M 与直线 相切，所以圆 M 的半径 ， 所以 ，化简得 M 的轨迹 C 的方程为 ； （2）（ⅰ）由（1）知曲线 C ，设 ，则 ， 设圆 W 与曲线 C 的公共点为 ， 则曲线 C 在 T 的切线 l 的斜率 ， 由题意，直线 l 与圆 W 相切于 T 点， 设圆 W 的标准方程为 ，则圆 W 的的圆心为 ， 则直线 WT 的斜率 ， 因为 ，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ，所以 令 ，则 ，所以 即 ，所以 ， 所以 ， ， 从而圆 W 的标准方程为 ； （ⅱ）设 ， ，直线 ， 由 得 ，所以 ， ， 所以 ， 为 MO AO⊥ ( ),M x y 2 2 2MO OA MA+ = 2 0y + = 2r y MA= + = ( )22 2 4 2x y y+ + = + 2 4x y= 2 4 xy = ( ) 2 4 xf x = ( ) 2 xf x′ = ( )2 , 04 tT t t   >   ( ) 2 tk f t′= = ( ) ( )2 2 2 0x a y a− + = > ( ),0a ( ) 2 24 4WT t tk t a t a = =− − l WT⊥ ( ) 2 12 4 t t t a ⋅ = −− ( )3 8 0t t a+ − = ( ) 22 2 24 tt a  − + =   2 23 2 28 4 t t   − + =       6 44 128 0t t+ − = 2t λ= 3 24 128 0λ λ+ − = ( ) ( )3 2 24 8 128 0λ λ λ− + − = ( )( )24 8 32 0λ λ λ− + + = 4λ = 2t = 3a = ( )2 23 2x y− + = ( )1 1,E x y ( )2 2,F x y 2 :l y x m= − + 2 4 y x m x y = − +  = 2 4 4 0x x m+ − = 1 2 4x x+ = − 1 2 4x x m=− ( ) ( )2 1 2 1 22 4 4 2 1EF x x x x m= ⋅ + − = + - 27 - 又因为圆 W 的圆心 到直线 的距离为 ， 所以 ， 所以 ， 由于 与曲线 C、圆 W 均有两个不同的交点， ，解得 ， 令 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ，亦 时取等号， 当 时， 的最小值为 ， 此时直线 的方程为 . 【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、 弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题. ( )3,0 PQ 3 2 m − 2 232 2 2 12 10 2 mPQ m m  − = − = − + −    ( ) 22 4 2 1 14 6 52 12 10 mEF m PQ m mm m + += = − + −− + − 2l ∴ 16 16 0 3 2 2 m m ∆ = + >  − < 1 5m< < ( )1 2,6m u+ = ∈ 1m u= − ( ) ( )2 14 4 121 6 1 5 8 EF u PQ u u u u = =  − − + − − − + +   14 2 6 122 8u u ≥ = + − ⋅ + 12u u = 2 3u = 2 3 1m = − ∴ 2 3 1m = − EF PQ 2 6+ 2l 2 3 1y x= − + −