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- 2021-06-15 发布
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2.2.2 事件的相互独立性
学习目标 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
知识点一 相互独立的概念
甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球,2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球,记事件A为“从甲箱里摸出白球”,事件B为“从乙箱里摸出白球”.
思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗?
答案 不影响.
思考2 P(A),P(B),P(AB)的值为多少?
答案 P(A)=,P(B)=,
P(AB)==.
思考3 P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?
答案 P(AB)=P(A)P(B).
梳理
条件
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B)
结论
称事件A与事件B相互独立
知识点二 相互独立的性质
16
条件
A与B是相互独立事件
结论
也相互独立
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
3.如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B).( √ )
4.“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.( √ )
类型一 事件独立性的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
(3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
所以P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),
所以事件A与B相互独立.
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性
16
(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
跟踪训练1 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下列两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
解 (1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为
Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有4个基本事件,由等可能性知概率都为.
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
类型二 求相互独立事件的概率
例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
16
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P( )
=1-P()P()P()
=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
引申探究
1.在本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.
解 恰有一列火车正点到达的概率为
P3=P(A )+P(B)+P( C)=P(A)P()·P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.
2.若一列火车正点到达计10分,用ξ表示三列火车的总得分,求P(ξ≤20).
解 事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”,其对立事件为“三列火车都正点到达”,
所以P(ξ≤20)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)
=1-0.8×0.7×0.9=0.496.
反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A,B都发生为事件AB.
(3)A,B都不发生为事件 .
(4)A,B恰有一个发生为事件A+B.
(5)A,B中至多有一个发生为事件A+B+ .
跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为和
16
,求两人破译时,以下事件发生的概率:
(1)两人都能破译的概率;
(2)恰有一人能破译的概率;
(3)至多有一人能破译的概率.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
解 记事件A为“甲独立地破译出密码”,事件B为“乙独立地破译出密码”.
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出,乙破译出甲破译不出,即A+B,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
=×+×=.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,
∴其概率为1-P(AB)=1-=.
类型三 相互独立事件的综合应用
例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,,,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,,,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率;
(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数,求X的分布列.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)设“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则
P(A)=×=,P(B)=×=,
P(C)=×=.
因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.
16
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,则
P(D)=P(AB )+P(A C)+P(BC)
=××+××+××=.
(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,
P(X=2)=P(D)=,
P(X=3)=××=,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1---=.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
反思与感悟 概率问题中的数学思想
(1)正难则反:灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+P()=1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法.
(2)化繁为简:将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件).
(3)方程思想:利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解.
跟踪训练3 甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p;
(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中”为事件B.由题意得P()P()=,
16
解得P()=或P()=-(舍去),
故p=1-P()=,所以乙投球的命中率为.
(2)方法一 由题设知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率为
1-P(·)=1-P()P()=.
方法二 由题设知,P(A)=,P()=,
故甲投球2次,至少命中1次的概率为2P(A)P()+P(A)P(A)=.
1.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示第1次摸得白球,A2表示第2次摸得白球,则A1与A2是( )
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 D
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件,故选项A,C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响,故两者是不相互独立事件.
2.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
答案 A
解析 P甲==,P乙=,所以P=P甲·P乙=.
3.甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
16
A.p1p2 B.p1(1-p2)+p2(1-p1)
C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2)
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况,这两个事件显然是互斥的,所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1-p2)+p2(1-p1),故选B.
4.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 C
解析 由题意知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,,则在这段道路上三处都不停车的概率P=××=.
5.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
解 设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3.
(1)第3次拨号才接通电话可表示为12A3,
于是所求概率为P(12A3)=××=.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为
A1+1A2+12A3,
于是所求概率为P(A1+1A2+12A3)
=P(A1)+P(1A2)+P(12A3)
=+×+××=.
16
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件不可能同时发生,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较)
互斥事件
相互独立事件
定义
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
概率
公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
一、选择题
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
考点 相互独立事件的定义
题点 相互独立事件的判断
答案 C
解析 ∵P(A)=1-P()=1-=,
∴P(AB)=P(A)P(B),∴A,B相互独立.
2.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一个发生的概率是( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 A
16
解析 因为P(A)=,P(B)=,所以P()=,
P()=.又A,B为相互独立事件,
所以P( )=P()P()=×=.
所以A,B中至少有一个发生的概率为1-P( )=1-=.
3.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
A. B. C. D.1
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 C
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.
根据题意,知事件A和B相互独立,且P(A)=,P(B)=.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,
则C=A∪B,且A和B互斥.
故P(C)=P(A∪B)
=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
=×+×=.
4.从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是,从两袋内各摸出1个球,则等于( )
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰好有1个红球的概率
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 C
16
解析 至少有1个红球的概率是×+×+×=.
5.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 D
解析 由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
∴P(A)=P(B).又P( )=,则P()=P()=,
∴P(A)=.
6.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是,则这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率为( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 B
解析 因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,它们之间相互独立,且遇到红灯的概率都是,所以未遇到红灯的概率都是1-=,所以P=××=.
7.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为( )
A. B.
16
C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 C
解析 满足xy=4的所有可能如下:
x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.
∴所求事件的概率为
P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)
=×+×+×=.
8.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A. B.
C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,
所以P(E)=P(ABC∪AB∪AC)
=P(ABC)+P(AB)+P(AC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()·P(C)
=××+××+××=.
二、填空题
9.某自动银行设有两台ATM机.在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,,则该客户此刻到达需要等待的概率为________.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求两个相互独立事件同时发生的概率
16
答案
解析 该客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为P=×=.
10.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________,P(B)=________.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案
解析 ∵P(AB)=P(AB)P()=P()=,
∴P()=,即P(C)=.又P(C)=P()·P(C)=,
∴P()=,P(B)=.又P(AB)=,则P(A)=,
∴P(B)=P()·P(B)=×=.
11.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 相互独立事件性质的应用
答案 0.128
解析 由已知条件知,第2个问题答错,第3,4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A,则P(A)=0.8,故P=P[(A+)AA]=[1-P(A)]·P(A)P(A)=0.128.
三、解答题
12.要生产一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
解 从甲、乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A,B,则事件A,B相互独立.
(1)设至少有1件废品为事件C,则
16
P(C)=1-P( )=1-P()P()=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则
P(D)=P(A )+P(B)=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.
13.某校设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关,第二关,第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆,10个学豆,20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一关,第二关,第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.
(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(2)设该选手所得学豆总数为X,求X的分布列.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A,“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1,“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2,则A1,A2互斥.
P(A1)=××=,
P(A2)=××××=,
P(A)=P(A1)+P(A2)=+=,
所以选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
(2)由题意得X的所有可能取值为0,5,15,35,
P(X=0)=+P(A)=,
P(X=5)=×=,
P(X=15)=×××=,
P(X=35)=××××=.
所以X的分布列为
X
0
5
15
35
P
16
四、探究与拓展
14.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道题中,甲能答对其中6道题,乙能答对其中8道题.若规定每人每次考试都从这10道题中随机抽出3道题进行测试,且至少答对2道题算合格,则甲、乙两人分别参加一次考试,至少有一人考试合格的概率为( )
A. B. C. D.
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 C
解析 设事件A表示“甲考试合格”,事件B表示“乙考试合格”,则P(A)===,
P(B)===.
所以甲、乙两人考试都不合格的概率为P( )=P()P()=×=,则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1-P( )=1-=.
15.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列.
考点
题点
解 设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4.
∵利润=产量×市场价格-成本,
∴X所有可能的取值为
500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,
16
300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.
P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()
=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以X的分布列为
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
16
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