2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2 5页

‎2.3 幂函数 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)‎ A．y＝－x3　　　　　　　　 B．y＝x－3‎ C．y＝2x3 D．y＝x3－1‎ 解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．‎ 答案：B ‎2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)‎ A．y＝x－2 B.y＝x－1‎ C．y＝x2 D．y＝x 解析：∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，‎ 但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．‎ 答案：A ‎3．如图，函数y＝x的图象是(　　)‎ 解析：y＝x＝≥0，故只有D中的图象适合．‎ 答案：D ‎4．已知幂函数是偶函数，则实数t的值为(　　)‎ A．0 B.－1或1‎ C．1 D．0或1‎ 解析：∵是幂函数，‎ ‎∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.‎ 当t＝0时，f(x)＝x是奇函数，不满足题设；‎ 当t＝1时，f(x)＝x是偶函数，满足题设．‎ 答案：C 5‎ ‎5．a，b满足00时，幂函数y＝xα是增函数；‎ ‎④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．‎ 其中正确的序号为________．‎ 解析：当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误．‎ 答案：①④‎ ‎8．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n＞n，则n＝________.‎ 解析：∵－＜－，且n＞n，∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．‎ 又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.‎ 答案：－1或2‎ ‎9．点(，2)与点分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)；‎ 当x＝1时，f(x)＝g(x)；‎ 当x∈(0,1)时，f(x)3，a>，‎ 故a的取值范围是a>.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设幂函数f(x)的图象经过点，设0f(a) D．不能确定 解析：因为幂函数f(x)的图象经过点，设f(x)＝xα，因为图象经过点，所以α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x在第一象限单调递减．‎ 因为0a，所以f(a－1)1.30＝1，‎ ‎∴0.71.3<‎1.30.7‎.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，‎ ‎∴幂函数y＝xm在 (0，＋∞)上单调递增，故m>0.‎ 答案：(0，＋∞)‎ ‎4．把，，，0按从小到大的顺序排列________．‎ 解析：0＝1，＞0＝1，＜1，＜1.‎ ‎∵y＝x为增函数，∴＜＜0＜.‎ 答案：＜＜0＜ ‎5．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)．‎ ‎(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；‎ ‎(2)若该函数f(x)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．‎ 解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N＋)，而m与m＋1中必有一个为偶数，‎ ‎∴m2＋m为偶数，‎ ‎∴函数f(x)＝x (m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)∵函数f(x)经过点(2，)，‎ ‎∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，‎ 5‎ ‎∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2，‎ 又∵m∈N＋，∴m＝1，f(x)＝x.‎ 又∵f(2－a)>f(a－1)，‎ ‎∴解得1≤a<，‎ 故函数f(x)经过点(2，)时，m＝1.满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a＜.‎ ‎6．已知函数f(x)＝(m2＋‎2m)·x，求m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．‎ 解析：(1)若f(x)为正比例函数，则 解得m＝1.‎ ‎(2)若f(x)为反比例函数，则 解得m＝－1.‎ ‎(3)若f(x)为二次函数，则 解得m＝.‎ ‎(4)若f(x)为幂函数，则m2＋‎2m＝1，‎ 解得m＝－1±.‎ 5‎