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- 2021-06-15 发布
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第三章 函数的概念与性质
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
单调递增
单调递减
增函数
减函数
提示
:
定义中的
x
1
,
x
2
有以下
3
个特征
:
①
任意性
,
即
x
1
,
x
2
是任意选取的
,
证明时不能以特殊代替一般
;
②
有大小
,
通常规定
x
1
<
x
2
;
③
属于同一个单调区间
.
提示
:
若函数
f
(
x
)
是其定义域上的增函数
,
则当
f
(
a
)>
f
(
b
)
时
,
a
>
b
;
若函数
f
(
x
)
是其定义域上的减函数
,
则当
f
(
a
)>
f
(
b
)
时
,
a
<
b.
解析
:
由函数单调性的定义可知
,
要证明一个函数是增函数
,
需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大
,
函数值也越大
,
而不是个别的自变量
.
答案
:
×
答案
:
×
答案
:
×
单调递增或单调递减
单调区间
提示
:
不能确定
.
由特殊值的大小不能判定函数的单调性
.
答案
:
C
答案
:
D
解析
:
因为
f
(
x
)=
x
2
-2
x
+3
是图象开口向上的二次函数
,
其对称轴为直线
x
=1,
所以函数
f
(
x
)
的单调减区间是
(-∞,1)
.
(-∞,1)
解析
:
观察图象可知
,
y
=
f
(
x
)
的单调区间有
[-5,-2], [-2,1],[1,3],[3,5]
.
其中
y
=
f
(
x
)
在区间
[-5,-2],[1,3]
上是增函数
,
在区间
[-2,1],[3,5]
上是减函数
.
[-2,1]
[3,5]
[-5,-2]
[1,3]
(-∞,1),(1,+∞)
解析
:
因为函数
f
(
x
)
是开口向下的二次函数
,
其对称轴为直线
x
=
a
,
所以
f
(
x
)
的单调递减区间为
(
a
,+∞)
.
(
a
,+∞)
解析
:
f
(
x
)=
x
2
+2(
a
-1)
x
+2=[
x
+(
a
-1)]
2
-(
a
-1)
2
+2,
所以此二次函数的对称轴为直线
x
=1-
a.
所以
f
(
x
)
的单调递减区间为
(-∞,1-
a
]
.
因为
f
(
x
)
在
(-∞,4]
上是减函数
,
所以直线
x
=1-
a
必须在直线
x
=4
的右侧或与其重合
,
所以
1-
a
≥4,
解得
a
≤-3,
即实数
a
的取值范围为
(-∞,-3]
.
(-∞,-3]
解
:
由例题知函数
f
(
x
)
的单调递减区间为
(-∞,1-
a
],
所以
1-
a
=4,
解得
a
=-3
.
解析
:
因为
y
=
f
(
x
)
在
R
上单调递增
,
且
f
(
m
2
)>
f
(-
m
),
所以
m
2
>-
m
,
即
m
2
+
m
>0
.
解得
m
<-1
或
m
>0,
即
m
的取值范围是
(-∞,
-1)
∪
(0,+∞)
.
故选
D
.
答案
:
D
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