2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.1 任意角和弧度制 10页

5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念， 能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念． 知识点一 任意角 1．角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示： 如图，OA 是角α的始边，OB 是角α的终边，O 是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或 简记为“α”． 思考 角的概念中主要包含哪些要素？ 答案 角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边． 3．角的分类： 名称 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 知识点二 角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那 么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这 个角不属于任何一个象限． 思考 “锐角”“第一象限角”“小于 90°的角”三者有何不同？ 答案 锐角是第一象限角也是小于 90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于 360°， 还可能是负角，小于 90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 知识点四 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任 一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答案 终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍；相等的角终边相同． 1．第二象限角是钝角．( × ) 2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( √ ) 3．终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( √ ) 一、任意角的概念 例 1 下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于 90°的角为锐角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于 180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为________(填序号)． 答案 ② 解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于 90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确； ⑤0°角或负角小于 180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确． 反思感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、 周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的 技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 跟踪训练 1 若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为( ) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 答案 B 解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－ 4 12 ×360°＝－120°. 二、终边相同的角及象限角 例 2 将下列各角表示为 k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角． (1)420°；(2)－510°；(3)1 020°. 解 (1)420°＝360°＋60°， 而 60°角是第一象限角，故 420°是第一象限角． (2)－510°＝－2×360°＋210°， 而 210°是第三象限角，故－510°是第三象限角． (3)1 020°＝2×360°＋300°， 而 300°是第四象限角，故 1 020°是第四象限角． 反思感悟 首先把各角写成 k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限 即可． 跟踪训练 2 (1)在四个角 20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B (2)与－460°角终边相同的角可以表示成( ) A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z 答案 C 解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成 260°＋k·360°，k∈Z，故选 C. 三、区域角的表示 例 3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解 终边在 30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在 180° －75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边 在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 反思感悟 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间 {x|α