高中数学第三章3-1复数代数形式的四则运算练习新人教B版选修2-2 7页

湖南省新田县第一中学高中数学 第三章 3.1 复数代数形式的四则 运算练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．已知复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z 等于( )． A．0 B．2i C．6 D．6－2i 2．已知 z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数 z＝z2－z1 对应的点位于( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设 z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )． A．0 B．1 C. 2 2 D.1 2 4．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )． A．20＋15i B．20－15i C．－20－15i D．－20＋15i 5．(1＋i)20－(1－i)20 的值是( )． A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 6. －1＋ 3i 3 1＋i 6 ＋－2＋i 1＋2i 的值是( )． A．0 B．1 C．i D．2i 7．复数 z 满足(1＋2i) z － ＝4＋3i，那么 z＝( )． A．2＋i B．2－i C．1＋2i D． 1－2i 8．若 x＝1－ 3i 2 ，那么 1 x2－x ＝( )． A．－2 B．－1 C．1＋ 3i D．1 9．若 z1＝2－i，z2＝－1 2 ＋2i，则 z1，z2 在复平面上所对应的点为 Z1、Z2，这两点之间的距 离为________． 10．已知 z1＝ 3 2 a＋(a＋1)i，z2＝－3 3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若 z1－z2＝4 3，则 a＋b ＝________. 11．在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为 zO＝0，zA＝2＋a 2 i， zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数 a－b 为________． 12．设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z＝________. 13．若 a 1－i ＝1－bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a＋bi|＝________． 14．若 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为________． 15．设 f(z＋i)＝1－ z － ，z1＝1＋i，z2＝1－i，则 f 1 z1 ＋1 z2 ＝________. 16．计算(1) 1＋i 1－i 6＋ 2＋ 3i 3－ 2i ； (2) 1 2 ＋ 3 2 i 4. 1．已知复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z 等于 ( )． A．0 B．2i C．6 D．6－2i 解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i. 答案 D 2．A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角 形 AOB 一定是 ( )． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA → ，OB → 为邻边所作的平行四边形的对角线相 等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直角三角形． 答案 B 3．已知 z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数 z＝z2－z1 对应的点位于 ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二 象限． 答案 B 4．若 z1＝2－i，z2＝－1 2 ＋2i，则 z1，z2 在复平面上所对应的点为 Z1、Z2，这两点之间的距 离为________． 解析 |Z1Z2 → |＝ 2＋1 2 2＋ －1－2 2＝ 61 2 . 答案 61 2 5．已知 z1＝ 3 2 a＋(a＋1)i，z2＝－3 3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若 z1－z2＝4 3，则 a＋b＝ ________. 解析 ∵z1－z2＝ 3 2 a＋(a＋1)i－[－3 3b＋(b＋2)i]＝ 3 2 a＋3 3b ＋(a－b－1)i＝ 4 3， 由复数相等的条件知 3 2 a＋3 3b＝4 3， a－b－1＝0， 解得 a＝2， b＝1. ∴a＋b＝3. 答案 3 6．已知 z，ω为复数，(1＋3i) z 为纯虚数，ω＝ z 2＋i ，且|ω|＝5 2，求ω. 解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意得 a＝3b≠0. ∵|ω|＝| z 2＋i|＝5 2， ∴|z|＝ a2＋b2＝5 10， 将 a＝3b 代入上式，得 a＝15， b＝5， 或 a＝－15， b＝－5. 故ω＝±15＋5i 2＋i ＝±(7－i)． 综合提高 限时 25 分钟 7．设 z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为 ( )． A．0 B．1 C. 2 2 D.1 2 解析 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数 z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1) 为端点的线段的垂直平分线，即直线 y＝－x，而|z＋i|表示直线 y＝－x 上的点到点(0， －1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线 y＝－x 的距离． 答案 C 8．复数 z1、z2 分别对应复平面内的点 M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段 M1M2 的中点 M 对应 的复数为 4＋3i，则|z1|2＋|z2|2 等于 ( )． A．10 B．25 C．100 D．200 解析 根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1 → 、OM2 → 为邻边的平行 四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2 为直角，M 是斜边 M1M2 的中点， ∵|OM → |＝ 42＋32＝5， ∴|M1M2|＝10. ∴|z1|2＋|z2|2＝|OM1 → |2＋|OM2 → |2＝|M1M2 → |2＝100. 答案 C 9．在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为 zO＝0，zA＝2＋a 2 i，zB＝－2a＋3i，zC ＝－b＋ai，则实数 a－b 为________． 解析 因为OA → ＋OC → ＝OB → ，所以 2＋a 2 i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以 2－b＝－2a， a 2 ＋a＝3， 得 a－b＝－4. 答案 －4 1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于 ( )． A．20＋15i B．20－15i C．－20－15i D．－20＋15i 解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－ 22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i. 答案 D 2．(1＋i)20－(1－i)20 的值是 ( )． A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C 3. －1＋ 3i 3 1＋i 6 ＋－2＋i 1＋2i 的值是 ( )． A．0 B．1 C．i D．2i 解析 原式＝ －1＋ 3i 3 [ 1＋i 2]3 ＋ －2＋i i 1＋2i i ＝ 2×－1＋ 3i 2 3 2i 3 ＋ －2＋i i －2＋i ＝－1 i ＋i ＝2i，故选 D. 答案 D 4．设复数 z＝1＋ 2i，则 z2－2z＝________. 解析 ∵z＝1＋ 2i ∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋ 2i)(1＋ 2i－2) ＝(1＋ 2i)(－1＋ 2i)＝－3. 答案 －3 5．若 a 1－i ＝1－bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a＋bi|＝________． 解析 ∵a，b∈R，且 a 1－i ＝1－bi， 则 a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i， ∴ a＝1－b， 0＝1＋b. ∴ a＝2， b＝－1. ∴|a＋bi|＝|2－i|＝ 22＋（－1）2＝ 5. 答案 5 6．计算(1) 1＋i 1－i 6＋ 2＋ 3i 3－ 2i ； (2) 1 2 ＋ 3 2 i 4. 解 (1)原式＝i6＋ 2＋ 3i i 3－ 2i i ＝i2＋ 2＋ 3i i 2＋ 3i ＝－1＋i. (2)法一 原式＝ 1 2 ＋ 3 2 i 2 2＝ －1 2 ＋ 3 2 i 2 ＝－1 2 － 3 2 i. 法二 ∵ －1 2 － 3 2 i 3＝1， ∴原式＝ －1 2 － 3 2 i 4＝ －1 2 － 3 2 i 3 －1 2 － 3 2 i ＝－1 2 － 3 2 i. 综合提高 限时 25 分钟 7．复数 z 满足(1＋2i) z － ＝4＋3i，那么 z＝ ( )． A．2＋i B．2－i C． 1＋2i D．1－2i 解析 z － ＝4＋3i 1＋2i ＝ 4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝1 5 (10－5i)＝2－i， ∴z＝2＋i. 答案 A 8．若 x＝1－ 3i 2 ，那么 1 x2－x ＝ ( )． A．－2 B．－1 C．1＋ 3i D．1 解析 ∵x2－x＝x(x－1)＝1－ 3i 2 · 1－ 3i 2 －1 ＝1－ 3i 2 ·－1－ 3i 2 ＝－1 4 (1－ 3i)(1＋ 3i)＝－1， 所以 1 x2－x ＝－1，故选 B. 答案 B 9．若 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为________． 解析 z1 z2 ＝a＋2i 3－4i ＝ a＋2i 3＋4i 9＋16 ＝3a＋4ai＋6i－8 25 ＝ 3a－8 ＋ 4a＋6 i 25 ， ∴ 3a－8＝0， 4a＋6≠0， ∴a＝8 3 . 答案 8 3 10．设 f(z＋i)＝1－ z － ，z1＝1＋i，z2＝1－i，则 f 1 z1 ＋1 z2 ＝________. 解析 令 z＋i＝t，得 z＝t－i， f(t)＝1－( t－i )＝1－i－ t － ， 1 z1 ＋1 z2 ＝ 1 1＋i ＋ 1 1－i ＝ 1－i＋1＋i 1＋i 1－i ＝2 2 ＝1. ∴f 1 z1 ＋1 z2 ＝f(1)＝1－i－1＝－i. 答案 －i