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- 2021-06-15 发布
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第三章 3.3 第 1 课时
一、选择题
1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,2) D.(2,0)
[答案] D
[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知,只有(2,0)点不满足 3x+2y<6.
2.不等式组
y<x
x+y≤1
y≥3
,表示的区域为 D,点 P1(0,-2),点 P2(0,0),则( )
A.P1∉D,P2∉D B.P1∉D,P2∈D
C.P1∈D,P2∉D D.P1∈D,P2∈D
[答案] A
[解析] P1 点不满足 y≥3.P2 点不满足 y<x.和 y≥3
∴选 A.
3.已知点 P(x0,y0)和点 A(1,2)在直线 l:3x+2y-8=0 的异侧,则( )
A.3x0+2y0>0 B.3x0+2y0<0
C.3x0+2y0<8 D.3x0+2y0>8
[答案] D
[解析] ∵3×1+2×1-8=-3<0,P 与 A 在直线 l 异侧,∴3x0+2y0-8>0.
4.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )
A. x+y-1≥0
x-2y+2≥0
B. x+y-1≤0
x-2y+2≤0
C. x+y-1≥0
x-2y+2≤0
D. x+y-1≤0
x-2y+2≥0
[答案] A
[解析] 取原点 O(0,0)检验满足 x+y-1≤0,故异侧点应为 x+y-1≥0,排除 B、D.
O 点满足 x-2y+2≥0,排除 C.
∴选 A.
5.不等式 x2-y2≥0 表示的平面区域是( )
[答案] B
[解析] 将(±1,0)代入均满足知选 B.
6.不等式组 x-y+5x+y≥0
0≤x≤3
表示的平面区域是一个( )
A.三角形 B.直角梯形
C.梯形 D.矩形
[答案] C
[解析] 画出直线 x-y+5=0 及 x+y=0,
取点(0,1)代入(x-y+5)(x+y)=4>0,知点(0,1)在不等式(x-y+5)(x+y)≥0 表示的对顶角
形区域内,再画出直线 x=0 和 x=3,则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,它是一
个梯形.
二、填空题
7.已知 x,y 为非负整数,则满足 x+y≤2 的点(x,y)共有________个.
[答案] 6
[解析] 符合条件的点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)共 6 个.
8.用三条直线 x+2y=2,2x+y=2,x-y=3 围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括
边界)可用不等式表示为________.
[答案]
x+2y<2
2x+y>2
x-y<3
三、解答题
9.画出不等式组
x+y-6≥0
x-y≥0
y≤3
x<5
表示的平面区域.
[解析] 不等式 x+y-6≥0 表示在直线 x+y-6=0 上及右上方的点的集合,x-y≥0 表
示在直线 x-y=0 上及右下方的点的集合,y≤3 表示在直线 y=3 上及其下方的点的集合,x
<5 表示直线 x=5 左方的点的集合,所以不等式组
x+y-6≥0
x-y≥0
y≤3
x<5
表示的平面区域为如图
阴影部分.
10.经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连结 A(1,-2)、B(2,1)的线段总有公共点,求
直线 l 的斜率 k 的取值范围.
[解析]
由题意知直线 l 斜率存在,设为 k.
则可设直线 l 的方程为 kx-y-1=0,
由题知:A、B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧,所以有:
(k+1)(2k-2)≤0
∴-1≤k≤1.
一、选择题
1.在平面直角坐标系中,若点 A(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上方,则 t 的取值范围是
( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,1)
[答案] B
[解析] 在直线方程 x-2y+4=0 中,令 x=-2,则 y=1,则点 P(-2,1)在直线 x-2y+4
=0 上,又点(-2,t)在直线 x-2y+4=0 的上方,如图知,t 的取值范围是 t>1,故选 B.
2.不等式组 x-y+1x+y+1≥0
-1≤x≤4
表示的平面区域是( )
A.两个三角形 B.一个三角形
C.梯形 D.等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图
∵(x-y+1)(x+y+1)≥0 表示如图(1)所示的对顶角形区域.且两直线交于点 A(-1,0).故
添加条件-1≤x≤4 后表示的区域如图(2).
3.不等式组
x-y+6≥0
x+y≥0
x≤3
表示的平面区域的面积是( )
A.18 B.36
C.72 D.144
[答案] B
[解析] 作出平面区域如图.
交点 A(-3,3)、B(3、9)、C(3,-3),
∴S△ABC=1
2[9-(-3)]×[3-(-3)]=36.
4.在平面直角坐标系中,若不等式组
x+y-1≥0
x-1≤0
ax-y+1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面
积等于 2,则 a 的值为( )
A.-5 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析] 画出 x+y-1≥0
x-1≤0
表示的平面区域如图,直线 l:y=ax+1 过定点(0,1),由于 ax
-y+1≥0 与
x+y-1≥0
x-1≤0
围成平面区域的面积为 2,∴a>0,令 x=1 得 y=a+1,∴1
2
×(a+1)×1=
2,∴a=3.
二、填空题
5.点 P(1,a)到直线 x-2y+2=0 的距离为3 5
5
,且 P 在 3x+y-3>0 表示的区域内,则
a=________.
[答案] 3
[解析] 由条件知,|1-2a+2|
5
=3 5
5
,∴a=0 或 3,又点 P 在 3x+y-3>0 表示的区域内,
∴3+a-3>0,
∴a>0,∴a=3.
6.不等式
x≤1
x-y+1≥0
2x+y+2≥0
表示的平面区域的面积是________.
[答案] 6
[解析] 作出平面区域如图△ABC,A(-1,0)、B(1,2)、C(1,-4),S△ABC=1
2·|BC|·d=1
2
×6×2
=6.
(d 表示 A 到直线 BC 的距离.)
三、解答题
7.求由约束条件
x+y≤5
2x+y≤6
x≥0
y≥0
确定的平面区域的面积 S 和周长 C.
[解析] 可行域如图所示,其四个顶点为 O(0,0),B(3,0),A(0,5),P(1,4).过点 P 作 y 轴
的垂线,垂足为 C,则 AC=1,PC=1,
OC=4,OB=3,AP= 2,PB= 4-02+1-32=2 5,得周长 C=AO+BO+AP+PB
=8+ 2+2 5.
∵S△ACP=1
2AC·PC=1
2
,
S 梯形 COBP=1
2(CP+OB)·OC=8,∴面积 S=S△ACP+S 梯形 COBP=17
2 .
8.画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0 表示的平面区域.
[解析] (x+2y+1)(x-y+4)<0 表示 x+2y+1 与 x-y+4 的符号相反,因此原不等式等
价于两个不等式组 x+2y+1>0,
x-y+4<0,
与 x+2y+1<0,
x-y+4>0,
在同一直角坐标内作出两个不等式
组表示的平面区域,就是原不等式表示的平面区域.
在直角坐标系中画出直线 x+2y+1=0 与 x-y+4=0,(画成虚线)取原点(0,0)可以判断.
不等式 x+2y+1>0 表示直线 x+2y+1=0 的右上方区域,x+2y+1<0 表示直线 x+2y
+1=0 的左下方区域;x-y+4<0 表示直线 x-y+4=0 的左上方区域,x-y+4>0 表示直线
x-y+4=0 的右下方区域.
所以不等式组表示的平面区域,即原不等式表示的平面区域如图所示.
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