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- 2021-06-15 发布
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章末综合测评(三)
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·菏泽高二期末)对于任意实数 a，b，c，d，下列四个命题中：
①若 a>b，c≠0，则 ac>bc；
②若 a>b，则 ac2>bc2；
③若 ac2>bc2，则 a>b；
④若 a>b>0，c>d，则 ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 若 a>b，c<0 时，acd>0 时，ac>bd，④错，故选 A.
【答案】 A
2．直线 3x＋2y＋5＝0 把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域
的是( )
A．(－3,4) B．(－3，－4)
C．(0，－3) D．(－3,2)
【解析】 当 x＝y＝0 时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是 3x
＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足 3x＋2y＋5>0.
【答案】 A
3．设 A＝b
a
＋a
b
，其中 a，b 是正实数，且 a≠b，B＝－x2＋4x－2，则 A 与 B
的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A2 b
a·a
b
＝2，即 A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即 B≤2，∴A>B.
【答案】 B
4．已知 0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：05920084】
A．a3＞b3 B.1
a
＜1
b
C．ab＞1 D．lg(b－a)＜0
【解析】 由 0＜a＜b＜1，可得 a3＜b3，A 错误；1
a
＞1
b
，B 错误；ab＜1，C
错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D 正确．
【答案】 D
5．在 R 上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足 x☆(x－2)<0 的实数 x 的
取值范围为( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
【解析】 根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解
得－22
【解析】 0logaa2＝2，即 loga(xy)>2.
【答案】 D
7．不等式 2x2＋2x－4≤1
2
的解集为( )
A．(－∞，－3] B．(－3,1]
C．[－3,1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]
【解析】 由已知得 2x2＋2x－4≤2－1，所以 x2＋2x－4≤－1，即 x2＋2x－
3≤0，解得－3≤x≤1.
【答案】 C
8．(2014·安徽高考)x，y 满足约束条件
x＋y－2≤0，
x－2y－2≤0，
2x－y＋2≥0.
若 z＝y－ax 取得
最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( )
A.1
2
或－1 B．2 或1
2
C．2 或 1 D．2 或－1
【解析】 如图，由 y＝ax＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当
a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使
z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－1.
【答案】 D
9．已知正实数 a，b 满足 4a＋b＝30，当1
a
＋1
b
取最小值时，实数对(a，b)是( )
A．(5,10) B．(6,6)
C．(10,5) D．(7,2)
【解析】 1
a
＋1
b
＝
1
a
＋1
b · 1
30·30
＝ 1
30
1
a
＋1
b (4a＋b)
＝ 1
30
5＋b
a
＋4a
b
≥ 1
30
5＋2 b
a·4a
b ＝ 3
10.
当且仅当
b
a
＝4a
b
，
4a＋b＝30，
即 a＝5，
b＝10
时取等号．
【答案】 A
10．在如图 1 所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 z＝x＋ay 取
得最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值是( )
图 1
A．－3
B．3
C．－1
D．1
【解析】 若最优解有无数个，则 y＝－1
ax＋z
a
与其中一条边平行，而三边
的斜率分别为1
3
，－1,0，与－1
a
对照可知 a＝－3 或 1，
又因 z＝x＋ay 取得最小值，则 a＝－3.
【答案】 A
11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货
物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土
地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应
建在离车站( )
A．5 km 处 B．4 km 处
C．3 km 处 D．2 km 处
【解析】 设车站到仓库距离为 x，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题意
得 y1＝k1
x
，y2＝k2x，∵x＝10 时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝4
5
，∴费用之和为
y＝y1＋y2＝20
x
＋4
5x≥2 20
x
×4
5x＝8，当且仅当20
x
＝4x
5
，即 x＝5 时取等号．
【答案】 A
12．设 D 是不等式组
x＋2y≤10，
2x＋y≥3，
0≤x≤4，
y≥1
表示的平面区域，则 D 中的点 P(x，
y)到直线 x＋y＝10 的距离的最大值是( )
A. 2 B．2 2 C．3 2 D．4 2
【解析】 画出可行域，由图知最优解为 A(1,1)，故 A 到 x＋y＝10 的距离
为 d＝4 2.
【答案】 D
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横
线上)
13．函数 y＝2－x－4
x(x>0)的值域为________．
【解析】 当 x>0 时，y＝2－ x＋4
x ≤2－2 x×4
x
＝－2.当且仅当 x＝4
x
，x
＝2 时取等号．
【答案】 (－∞，－2]
14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义 a⊙b＝ ab＋a＋b(a，b 为正实数)，
若 1⊙k<3，则 k 的取值范围为________．
【解析】 由题意得 k＋1＋k<3，即( k＋2)·( k－1)<0，且 k>0，因此 k 的
取值范围是(0,1)．
【答案】 (0,1)
15．(2015·山东高考)若 x，y 满足约束条件
y－x≤1，
x＋y≤3，
y≥1，
则 z＝x＋3y 的最
大值为________．
【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线 y＝－1
3x，当直线
y＝－1
3x＋z
3
过点 A 时，目标函数取得最大值．由 y－x＝1，
x＋y＝3，
可得 A(1,2)，代入
可得 z＝1＋3×2＝7.
【答案】 7
16．(2015·浙江高考)已知实数 x，y 满足 x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|
的最大值是________．
【解析】 ∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4<0,6－x－3y>0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－
3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
令 z＝10－3x－4y
如图，设 OA 与直线－3x－4y＝0 垂直，∴直线 OA 的方程为 y＝4
3x.
联立
y＝4
3x，
x2＋y2＝1，
得 A
－3
5
，－4
5 ，
∴当 z＝10－3x－4y 过点 A 时，z 取最大值，zmax＝10－3× －3
5 －4× －4
5 ＝
15.
【答案】 15
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)(2016·苏州高二检测)已知函数 f(x)＝x2＋2
x
，解不等式
f(x)－f(x－1)>2x－1.
【解】 由题意可得
x2＋2
x
－(x－1)2－ 2
x－1>2x－1，
化简得 2
xx－1<0，
即 x(x－1)<0，
解得 00 且 x≠0，即－10 时，
∵ x2
1＋x>0，∴ 1
1＋x>1－x.
19．(本小题满分 12 分)已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，求证：1
x
＋4
y
＋9
z
≥36.
【导学号：05920085】
【证明】 ∵(x＋y＋z)
1
x
＋4
y
＋9
z ＝14＋y
x
＋4x
y
＋z
x
＋9x
z
＋4z
y
＋9y
z
≥14＋4＋6＋
12＝36，
∴1
x
＋4
y
＋9
z
≥36.
当且仅当 x2＝1
4y2＝1
9z2，即 x＝1
6
，y＝1
3
，z＝1
2
时，等号成立．
20．(本小题满分 12 分)一个农民有田 2 亩，根据他的经验，若种水稻，则
每亩每期产量为 400 千克；若种花生，则每亩每期产量为 100 千克，但水稻成本
较高，每亩每期需 240 元，而花生只要 80 元，且花生每千克可卖 5 元，稻米每
千克只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才
能得到最大利润？
【解】 设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则由题意得
x＋y≤2，
240x＋80y≤400，
x≥0，
y≥0，
即
x＋y≤2，
3x＋y≤5，
x≥0，y≥0，
画出可行域如图阴影部分所示
而利润 P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立 x＋y＝2，
3x＋y＝5，
得交点 B(1.5,0.5)．
故当 x＝1.5，y＝0.5 时，
P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大．
21．(本小题满分 12 分)(2015·周口高二检测)已知函数 f(x)＝x2＋3
x－a
(x≠a，a
为非零常数)．
(1)解不等式 f(x)a 时，f(x)有最小值为 6，求 a 的值．
【解】 (1)f(x)0 时， x＋3
a (x－a)<0，
∴解集为 x|－3
a0，
解集为 x|x>－3
a
或 x0)．
∴f(x)＝t2＋2at＋a2＋3
t
＝t＋a2＋3
t
＋2a
≥2 t·a2＋3
t
＋2a
＝2 a2＋3＋2a.
当且仅当 t＝a2＋3
t
，
即 t＝ a2＋3时，等号成立，
即 f(x)有最小值 2 a2＋3＋2a.
依题意有：2 a2＋3＋2a＝6，
解得 a＝1.
22．(本小题满分 12 分)(2015·济南师大附中检测)已知函数 f(x)＝x2－2x－8，
g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式 g(x)<0 的解集；
(2)若对一切 x>2，均有 f(x)≥(m＋2)x－m－15 成立，求实数 m 的取值范围．
【解】 (1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，
∴－22 时，f(x)≥(m＋2)x－m－15 恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即 x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切 x>2，均有不等式x2－4x＋7
x－1
≥m 成立．
而x2－4x＋7
x－1
＝(x－1)＋ 4
x－1
－2≥2 x－1× 4
x－1
－2＝2(当且仅当 x＝3 时
等号成立)，
∴实数 m 的取值范围是(－∞，2]．
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