2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 10页

第2课时　正弦、余弦函数的图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)‎ ‎2．掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)‎ ‎3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易错点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的直观想象、数学运算核心素养．‎ 回顾正、余弦函数的图象，尝试探究函数y＝sin的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称轴、对称中心．‎ 正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，‎ 取得最大值1；‎ 当x＝2kπ－(k∈Z)时，‎ 取得最小值－1‎ 当x＝2kπ(k∈Z)时，‎ 取得最大值1；‎ 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，‎ 取得最小值－1‎ 周期性 周期函数，T＝2π 周期函数，T＝2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在(k∈Z)上是增函数；‎ 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；‎ 在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)‎ - 10 -‎ 在(k∈Z)上是减函数 上是减函数 对称性 关于x＝kπ＋(k∈Z)成轴对称，关于(kπ，0)(k∈Z)成中心对称 关于x＝kπ(k∈Z)成轴对称，关于(k∈Z)成中心对称 ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)y＝sin是奇函数． (　　)‎ ‎(2)函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数． (　　)‎ ‎(3)y＝sin x在上单调递减． (　　)‎ ‎(4)y＝cos x的值域为(－1,1)． (　　)‎ ‎[提示]　(1)∵y＝sin＝cos x，∴是偶函数．‎ ‎(2)T＝＝π．f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin 2x，故为奇函数．‎ ‎(3)y＝sin x在上单调递增．‎ ‎(4)×．y＝cos x的值域为[－1,1]．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．函数y＝sin x＋1的值域是________．‎ 　[由sin x∈[－1,1]，得sin x∈，‎ 所以sin x＋1∈．]‎ ‎3．函数y＝sin(2x＋π)的对称中心是________．‎ ，k∈Z　[y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，‎ 由2x＝kπ得x＝(k∈Z)，‎ ‎∴y＝sin(2x＋π)的对称中心为，k∈Z．]‎ - 10 -‎ 求三角函数的单调区间 ‎【例1】　求下列函数的单调递增区间．‎ ‎(1)y＝2cos；‎ ‎(2)y＝logsin．‎ ‎[思路点拨]　(1)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再确定所求的单调区间后利用整体代换的方法求解．‎ ‎(2)先由sin>0，得到相应x的取值范围，然后借助于复合函数的单调性分析．‎ ‎[解]　(1)因为y＝2cos＝2cos，‎ 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以y＝2cos的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由sin>0得2kπ0，ω≠0)的单调区间的一般步骤 (1)当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，即为函数递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，即为函数递减区间.‎ - 10 -‎ (2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－sin(－ωx－φ)，则y＝sin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.,余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上.‎ 提醒：要注意k∈Z这一条件不能省略.‎ ‎1．求函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间．‎ ‎[解]　当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋时，函数单调递减，‎ 解得：kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎∵x∈[－π，0]，‎ ‎∴取k＝－1，此时－π＋≤x≤－π＋，‎ 即－≤x≤－．‎ 故函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调减区间为．‎ 比较三角函数值的大小 ‎【例2】　用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．‎ ‎(1)sin 194°与cos 160°；‎ ‎(2)cos ，sin ，－cos ；‎ ‎(3)sin与sin．‎ ‎[思路点拨]　先把异名函数同名化，再把不同单调区间内的角化为同一单调区间内，最后借助单调性比较大小．‎ ‎[解]　(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，‎ cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°．‎ ‎∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sin x在区间(0°，90°)内是增函数，‎ ‎∴sin 14°－sin 70°，‎ ‎∴sin 194°>cos 160°．‎ - 10 -‎ ‎(2)sin ＝cos，－cos ＝cos，‎ ‎∵0<π－<－<<π，‎ 函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，‎ ‎∴cos>cos>cos ，‎ 即－cos >sin >cos ．‎ ‎(3)cos ＝cos＝sin ．‎ ‎∵0<<<，函数y＝sin x在内是增函数，‎ ‎∴sin