2020_2021学年新教材高中数学第1章集合1 5页

第2课时　全集、补集 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)‎ ‎2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)‎ 通过求集合的补集来提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养．‎ 如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，所有男同学组成的集合记为E，集合E，F和S之间有怎样的关系？E，F之间有怎样的关系？‎ ‎1．补集 ‎(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．‎ ‎(2)符号表示 ‎∁SA＝{x|x∈S，且xA}．‎ ‎(3)图形表示：‎ ‎(4)补集的性质 ‎①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A．‎ ‎2．全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)‎ ‎(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集． (　　)‎ ‎(3)一个集合的补集的补集是其自身． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁UA＝ ．‎ ‎{x|－1＜x≤0}　[根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以∁‎ - 5 -‎ UA＝{x|－1＜x≤0}．]‎ 集合的补集 ‎【例1】　(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁UA等于 ．‎ ‎(2)(一题两空)已知集合U＝{x|x≤10，x∈N}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则∁UA＝ ，∁UB＝ ．‎ ‎(3)已知集合U＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，A＝{(x，y)|y＝x,0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈N}，则∁UA＝ ．‎ ‎[思路点拨]　(1)利用数轴将集合表示出来再求补集．‎ ‎(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．‎ ‎(3)利用列举法表示出全集U，集合A这两个点集，再求A，B的补集．‎ ‎(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}‎ ‎(2){0,2,4,6,8,10}　{0,1,4,6,8,9,10}　(3){(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}　[(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知∁UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．‎ ‎(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，‎ 因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以∁UA＝{0,2,4,6,8,10}．‎ 因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以∁UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．‎ ‎(3)已知集合U＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，A＝{(x，y)|y＝x,0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈N，}＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)}，‎ 所以∁UA＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．]‎ ‎1．求补集∁UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：‎ ‎(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．‎ ‎(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．‎ ‎(3)利用Venn图求解．‎ ‎2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，∁UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．‎ ‎3．解决集合问题注意分清集合类型，不要混淆数集与点集．‎ - 5 -‎ 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－24}　[将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．‎ 所以∁UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．]‎ 补集与子集的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．若M⊆N，则∁UM与∁UN有什么关系？‎ ‎[提示]　由Venn图可知，若M⊆N，∁UM⊇∁UN．‎ 反之，若∁UM⊇∁UN，则M⊆N，即M⊆N⇔∁UM⊇∁UN．‎ ‎2．若M⊆N，针对M应考虑的两种情况是什么？‎ ‎[提示]　两种情况是M＝∅和M≠∅．‎ ‎【例2】　已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B．‎ ‎[思路点拨]　先由集合A与∁UA求出全集U，再由补集的定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B．‎ ‎[解]　法一：∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，‎ ‎∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．‎ 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．‎ 法二：借助Venn图，如图所示．‎ 由图可知B＝{2,3,5,7}．‎ ‎【例3】　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤‎2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．‎ ‎[思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．‎ - 5 -‎ ‎[解]　若B＝∅，则a＋1>‎2a－1，所以a<2．‎ 此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB；‎ 若B≠∅，则a＋1≤‎2a－1，即a≥2，‎ 此时∁UB＝{x|x‎2a－1}，‎ 由于A⊆∁UB，如图，‎ 则a＋1>5，所以a>4，‎ 所以实数a的取值范围为a<2或a>4．‎ ‎(变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　∁UA＝{x|x<－2或x>5}．‎ 因为B⊆∁UA，‎ 当a＋1>‎2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA．‎ 当a＋1≤‎2a－1，即a≥2时，B≠∅．‎ 所以‎2a－1<－2或a＋1>5，‎ 即a>4，‎ 综上，a的取值范围为a<2或a>4．‎ ‎1．解决此类问题应注意以下几点 ‎(1)空集作为特殊情况，不能忽略；‎ ‎(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；‎ ‎(3)端点值能否取到，应注意分析．‎ ‎2．U是由集合A与∁UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈∁UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．‎ ‎1．∁UA的数学意义包括两个方面：①A⊆U，也即暗含了A必须是U的子集这一条件；②∁UA＝{x|x∈U，且xA}．‎ ‎2．补集是集合间的关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想．‎ - 5 -‎ ‎1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则∁UB＝ ．‎ ‎{1,2}　[根据补集的定义∁UB＝{x|x∈U且xB}＝{1,2}．]‎ ‎2．若全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x>0，y>0，x，y∈R}，则∁UA＝ ．‎ ‎{(x，y)|x≤0或y≤0，x，y∈R}　[因为A＝{(x，y)|x>0，y>0，x，y∈R}，所以∁UA＝{(x，y)|x≤0或y≤0，x，y∈R}．]‎ ‎3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3a}，A⊆C，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|27}．‎ ‎(2)要使A⊆C，只需a<3即可．所以a的取值范围为{a|a<3}．‎ - 5 -‎