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- 2021-06-15 发布
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立体几何精选精练(2013/4/3)
1. 如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,,,,,底面,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角正弦值;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
D
P
E
A
B
C
关键词: 建系 平行 垂直 求角 求距离
2. 如图, 是边长为的正方形,平面,,,与平面所成角为.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.
3.如图,三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是,D是AC的中点。
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求直线与平面所成的角的正弦值。
关键词: 建系 平行 垂直 求角 求距离
4. 如图,在三棱锥中,底面,
点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
5.直四棱柱中,底面为菱形,且为延长线上的一点,面。
(Ⅰ)求二面角的大小;
(Ⅱ)在上是否存在一点,使面?若存在,求的值,不存在,说明理由
关键词: 三视图 线上的动点
6.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)证明:BN⊥平面C1B1N;
(Ⅱ)设二面角C-NB1-C1的平面角为,求cos的值;
(Ⅲ)M为AB中点,在CB上是否存在一点P,使得MP∥平面CNB1,若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
N
C
C1
B1
B
A
M
7. 四棱锥P-ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
(Ⅰ)写出四棱锥P-ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明);
(Ⅱ)在四棱锥P-ABCD中,若E为PA的中点,求证:BE∥平面PCD;
(Ⅲ)在四棱锥P-ABCD中,设面PAB与面PCD所成的角为,求的值
关键词: 空间想象
8. 如图,是两条互相垂直的异面直线,点P、C在直线上,点A、B在直线上,M、N分别是线段AB、AP的中点,且PC=AC=a,(I)证明:平面ABC;
(II)设平面MNC与平面PBC所成的角为
现给出四个条件:
① ②
③CM ④
请从中再选择两上条件以确定的值,并求之.
9. 已知某几何体的三视图如图所示,其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影,分别是另四个顶点A,B,C,D的投影。
(I)从①②两个图中选择出该几何体的直观图;
(II)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(III)设平面PAD与平面ABC的交线为,求二面角A——B的大小
关键词: 面上的动点
10 . 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
11. 在直角梯形ABCD中,AD//BC,,,如图(1).把沿翻折,使得平面.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若点为线段中点,求点到平面的距离;
(Ⅲ)在线段上是否存在点N,使得与平面所成角为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
12 .如图1,在等腰梯形中,,,,为上一点,且,.将梯形沿折成二面角,设其大小为.
(Ⅰ)在上述折叠过程中,若,请你动手实验并直接写出直线与平面所成角的取值范围(不必证明);
(Ⅱ)当时,连结,,,得到如图2所示的几何体,
(i)求证:平面平面;
(ii)在平面上是否存在点,使得线段的中点在平面上,若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
关键词: 翻折问题
13. 如图所示的几何体中,,,;直角三角形中,, .
(Ⅰ)求与所成角的正弦值;
(Ⅱ)若过点且与直线垂直的平面与直线交于点,求线段的长度.
关键词: 函数与最值
14.如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径。
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为。
(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。
15.如图,已知平行四边形中,四边形为正方形,平面平面分别是的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)记表示四棱锥的体积.
(ⅰ)求的表达式;
(ⅱ)当取得最大值时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
关键词: 函数与最值
16.如图,侧棱垂直底面的三棱柱中,,,,是侧棱上的动点.
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)试求三棱锥的体积取得最大值时的值;
(Ⅲ)若二面角的平面角的余弦值为,试求实数的值.