高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.5.3 定积分的概念 10页

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2021-06-15 发布

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.5.3 定积分的概念

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1.5.3 定积分的概念明目标、知重点 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分． 2．理解定积分的几何意义． 3．掌握定积分的基本性质．定积分概念一般地，如果函数 f(x)在区间 a，b]上连续，用分点 a＝x00，f(ξi)≤0，故 f(ξi)b－a n ≤0.从而定积分ʃb af(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即 ʃb af(x)dx＝－S. 当 f(x)在区间 a，b]上有正有负时，定积分ʃb af(x)dx 表示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线 x ＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负)．(如图 ②)，即ʃb af(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例 2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3 －3 9－x2dx；(2)ʃ3 －1(3x＋1)dx. 解 (1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆，其面积为 S＝1 2 ·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3 －3 9－x2dx＝9 2 π. (2)由直线 x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝3x＋1 所围成的图形，如图所示： ʃ3 －1(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积， ∴ʃ3 －1(3x＋1)dx＝1 2 ×(3＋1 3 )×(3×3＋1)－1 2 (－1 3 ＋1)×2＝50 3 －2 3 ＝16. 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1 －1xdx；(2)ʃ2π 0 cos xdx；(3)ʃ1 －1|x|dx. 解 (1)如图(1)，ʃ1 －1xdx＝－A1＋A1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π 0 cos xdx＝A1－A2＋A3＝0. (3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ1 －1|x|dx＝2A1＝2×1 2 ＝1. (A1，A2，A3 分别表示图中相应各处面积) 探究点三定积分的性质思考 1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广 ①ʃb af1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃb af1(x)dx±ʃb af2(x)dx±…±ʃb afn(x)dx； ②ʃb af(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中 n∈N*)．思考 2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分 ①若奇函数 y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa －af(x)dx＝0. ②若偶函数 y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa －ag(x)dx＝2ʃa 0g(x)dx. 例 3 计算ʃ3 －3( 9－x2－x3)dx 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3 －3 9－x2dx＝π×32 2 ＝9π 2 ， ʃ3 －3x3dx＝0，由定积分性质得 ʃ3 －3( 9－x2－x3)dx＝ʃ3 －3 9－x2dx－ʃ3 －3x3dx＝9π 2 . 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练 3 已知ʃ1 0x3dx＝1 4 ，ʃ2 1x3dx＝15 4 ，ʃ2 1x2dx＝7 3 ，ʃ4 2x2dx＝56 3 ，求： (1)ʃ2 03x3dx；(2)ʃ4 16x2dx；(3)ʃ2 1(3x2－2x3)dx. 解 (1)ʃ2 03x3dx＝3ʃ2 0x3dx＝3(ʃ1 0x3dx＋ʃ2 1x3dx) ＝3×(1 4 ＋15 4 )＝12； (2)ʃ4 16x2dx＝6ʃ4 1x2dx＝6(ʃ2 1x2dx＋ʃ4 2x2dx)＝6×(7 3 ＋56 3 )＝126； (3)ʃ2 1(3x2－2x3)dx＝ʃ2 13x2dx－ʃ2 12x3dx ＝3ʃ2 1x2dx－2ʃ2 1x3dx＝3×7 3 －2×15 4 ＝7－15 2 ＝－1 2 . 1．下列结论中成立的个数是( ) ①ʃ1 0x3dx＝错误! i3 n3·1 n ； ②ʃ1 0x3dx＝lim n→∞ 错误!i－13 n3 ·1 n ； ③ʃ1 0x3dx＝lim n→∞ 错误! i3 n3·1 n . A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 ②③成立． 2．定积分ʃb af(x)dx 的大小( ) A．与 f(x)和积分区间 a，b]有关，与ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间 a，b]以及ξi 的取法无关 C．与 f(x)以及ξi 的取法有关，与区间 a，b]无关 D．与 f(x)、积分区间 a，b]和ξi 的取法都有关答案 A 3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ1 0xdx________ʃ1 0x2dx； ②ʃ2 0 4－x2dx________ʃ2 02dx. 答案 ①> ②< 4．若ʃT 0x2dx＝9，则常数 T 的值为________．答案 3 解析令 f(x)＝x2. (1)分割将区间 0，T]n 等分，则Δx＝T n . (2)近似代替、求和取ξi＝Ti n (i＝1,2，…，n)， Sn＝错误!(Ti n )2·T n ＝T3 n3错误!2＝T3 n3(12＋22＋…＋n2) ＝T3 n3·nn＋12n＋1 6 ＝T3 6 (1＋1 n )(2＋1 n )． (3)取极限 S＝lim n→∞ T3 6 ×2＝T3 3 ＝9, ∴T3＝27，∴T＝3. 呈重点、现规律] 1．定积分ʃb af(x)dx 是一个和式错误! b－a n f(ξi)的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算. 一、基础过关 1．下列命题不正确的是( ) A．若 f(x)是连续的奇函数，则ʃa －af(x)dx＝0 B．若 f(x)是连续的偶函数，则ʃa －af(x)dx＝2ʃa 0f(x)dx C．若 f(x)在 a，b]上连续且恒正，则ʃb af(x)dx>0 D．若 f(x) 在 a，b]上连续且ʃb af(x)dx>0，则 f(x)在 a，b]上恒正答案 D 解析对于 A，f(－x)＝－f(x)，ʃa －af(x)dx ＝ʃ0 －af(x)dx＋ʃa 0f(x)dx＝－ʃa 0f(x)dx＋ʃa 0f(x)dx＝0，同理 B 正确；由定积分的几何意义知，当 f(x)>0 时，ʃb af(x)dx>0 即 C 正确；但ʃb af(x)dx>0，不一定有 f(x)恒正，故选 D. 2．已知定积分ʃ6 0f(x)dx＝8，且 f(x)为偶函数，则ʃ6 －6f(x)dx 等于( )． A．0 B．16 C．12 D．8 答案 B 解析偶函数图象关于 y 轴对称，故ʃ6 －6f(x)dx＝2ʃ6 0f(x)dx＝16，故选 B. 3．已知ʃt 0xdx＝2，则ʃ0 －txdx 等于( ) A．0 B．2 C．－1 D．－2 答案 D 解析 ∵f(x)＝x 在－t，t]上是奇函数， ∴ʃt －txdx＝0.而ʃt －txdx＝ʃ0 －txdx＋ʃt 0xdx，又ʃt 0xdx＝2， ∴ʃ0 －txdx＝－2.故选 D. 4．由曲线 y＝x2－4，直线 x＝0，x＝4 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A．ʃ4 0(x2－4)dx B.|ʃ 4 0x2－4dx| C．ʃ4 0|x2－4|dx D．ʃ2 0(x2－4)dx＋ʃ4 2(x2－4)dx 答案 C 5．设 a＝ʃ1 0x1 3 dx，b＝ʃ1 0x2dx，c＝ʃ1 0x3dx，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．c>a>b B．a>b>c C．a＝b>c D．a>c>b 答案 B 解析根据定积分的几何意义，易知ʃ1 0x3dx<ʃ1 0x2dx<ʃ1 0x1 3 dx，a>b>c，故选 B. 6．若ʃa －a|56x|dx≤2 016，则正数 a 的最大值为( ) A．6 B．56 C．36 D．2 016 答案 A 解析由ʃa －a|56x|dx＝56ʃa －a|x|dx≤2 016，得ʃa －a|x|dx≤36，∴ʃa －a|x|dx＝2ʃa 0xdx＝a2≤36，即 0

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