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- 2021-06-15 发布
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
1.(2017·九江模拟)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
【解析】 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,
此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
【答案】 D
2.(2017·黄冈调研)已知a≥1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M,m,则M-m的值为( )
A.8 B.-a3-3a+4
C.4 D.-a3+3a+2
【解析】 当x∈[-1,1]时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a≥1),∴f′(x)=3(x-1)(x+1).当-1<x<1时,f′(x)<0,所以原函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以M=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以M-m=4.
【答案】 C
3.(2017·成都外国语学校月考)已知函数f(x)=x2+2cos x,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)的图象大致是( )
【解析】 设g(x)=f′(x)=2x-2sin x,g′(x)=2-2cos x≥0,所以函数f′(x)在R上单调递增.
【答案】 A
4.(2017·长春调研)已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R
上单调递增”的充分不必要条件.
【答案】 A
5.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则( )
A.a<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<c<a
【解析】 依题意得,当x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
又f(3)=f(-1),且-1<0<<1,
因此有f(-1)<f(0)<f,
即有f(3)<f(0)<f,c<a<b.
【答案】 C
6.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为________.
【解析】 函数的定义域是(0,+∞),
且f′(x)=1-=,
令f′(x)<0,解得0<x<1,所以单调递减区间是(0,1).
【答案】 (0,1)
7.(2017·上饶模拟)f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则a的取值范围是________.
【解析】 由f′(x)=3x2-3>0,解得单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),f′(x)<0得单调递减区间为(-1,1).要有3个不同零点需满足解得a∈(-2,2).
【答案】 (-2,2)
8.(2017·成都一诊)已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)=-4x+,
若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,
即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,
即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.
令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,
所以≥h(2)或≤h(1),
即≥或≤3,
又a>0,所以0<a≤或a≥1.
【答案】 ∪[1,+∞)
9.(2017·武汉武昌区联考)已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间.
【解析】 (1)由题意得f′(x)=,
又f′(1)==0,故k=1.
(2)由(1)知,f′(x)=.
设h(x)=-ln x-1(x>0),则h′(x)=--<0,
即h(x)在(0,+∞)上是减函数.
由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0;
当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.
综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),
单调递减区间是(1,+∞).
10.(2017·沈阳质检)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.
【解析】 (1)由已知得f′(x)=,
∴f′(1)=1=a,a=2.
又∵g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1.
(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数.
∴φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立.
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
则2m-2≤x+,x∈[1,+∞),
∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.
故实数m的取值范围是(-∞,2].
B组 专项能力提升
(时间:25分钟)
11.(2017·渭南模拟)设f(x)在定义域内可导,其图象如下图所示,则导函数f′(x)的图象可能是( )
【解析】 由f(x)的图象可知,当x<0时,是减函数,f′(x)<0,排除C、D两项,当x>0时,函数的单调性是先减后增再减.∴当x→∞时,f′(x)<0,故选B.
【答案】 B
12.已知f(x)是可导的函数,且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则( )
A.f(1)<ef(0),f(2 016)>e2 016f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 016)>e2 016f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 016)<e2 016f(0)
D.f(1)<ef(0),f(2 016)<e2 016f(0)
【解析】 令g(x)=,
则g′(x)=′=
=<0,
所以函数g(x)=是单调减函数,
所以g(1)<g(0),g(2 016)<g(0),
即<,<,
故f(1)<ef(0),f(2 016)<e2 016f(0).
【答案】 D
13.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是________.
【解析】 对f(x)求导,
得f′(x)=-x2+x+2a=-++2a.
当x∈时,
f′(x)的最大值为f′=+2a.
令+2a>0,解得a>-.
所以a的取值范围是.
【答案】
14.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
【解析】 由题意知f′(x)=-x+4-
=-,
由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1和3,
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,
函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.
【答案】 (0,1)∪(2,3)
15.(2016·北京)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
【解析】 (1)因为f(x)=xea-x+bx,
所以f′(x)=(1-x)ea-x+b.
依题设,知
即
解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.
由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,
f′(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g′(x)=-1+ex-1.
所以,当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,
从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).
综上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).
故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
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