高考数学专题复习（精选精讲）练习7-球习题精选精讲 11页

球面距离的计算经典范例 ‎ ‎　　　1．位于同一纬度线上两点的球面距离 ‎　　例1  已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．‎ ‎　　分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．‎ ‎　　解  作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．‎ ‎　　∴与为纬度，为二面角的平面角．‎ ‎　　∴（经度差）．‎ ‎　　△中，．‎ ‎　　△中，由余弦定理，‎ ‎　　‎ ‎　　　　．‎ ‎　　△中，由余弦定理：‎ ‎　　，‎ ‎　　∴．‎ ‎　　∴的球面距离约为．‎ ‎　　2．位于同一经线上两点的球面距离 例2  求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）‎ ‎ ‎ ‎　　解  经过两地的大圆就是已知经线．‎ ‎　　，．‎ ‎　　3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例3  地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）‎ ‎ ‎ ‎　　解  设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．‎ ‎　　△中，由纬度为知，‎ ‎　　∴，‎ ‎　　　．‎ ‎　　△中，，‎ ‎　　∴，‎ ‎　　∴．‎ ‎　　注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．‎ ‎　　（为经度差）‎ ‎　　　　‎ ‎　　　　．‎ ‎　　△中，‎ ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　．‎ ‎　　∴．‎ ‎　　∴的球面距离约为．‎ 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。‎ 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。‎ 设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-，]，如图，设过地球O的球面上A处的经线与赤道交于C点，过B的经线与赤道交于D点。设地球半径为R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。‎ 另外，以O为原点，以OC所在直线为X轴，地轴所在直线ON为Z轴建立坐标系O-XYZ（如图）。则A（Rcosβ1,0,Rsinβ1）,B(Rcosβ2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)‎ cos∠AOB =cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2 ‎ ‎∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]‎ 其中反余弦的单位为弧度。‎ 于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：‎ ‎=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] （I）‎ 上述公式推导中只需写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。‎ 由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只需两点的经纬度即可。‎ 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有：‎ ‎1、β1=β2=β，则球面距离公式为：‎ ‎ =R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β] （II）‎ ‎2、α1-α2=α，则球面距离公式为：‎ ‎=R·arcos（cosβ1cosβ2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2） （III）‎ 例1、 设地球半径为R，地球上A、B两点都在北纬45º的纬线上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20º，求B点的位置。‎ 分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II）得：‎ R= R·arcos[cos245ºcos（20º-α2）+sin245º]‎ cos= cos（20º-α2）+‎ ‎∴cos（20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º 所以B点在北纬45º，东经110º或西经70º 球 ‎ ‎1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________．‎ 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径，∴ ．球体积 ‎2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半径为R）．‎ ‎　．设球心为O，∵ A、B在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ ，∴ A、B的球面距离为．‎ ‎3．设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（　）．‎ ‎　　A． p B． p C． p D． p ‎　　A．由正方体全面积为，则棱长为2cm，内切于正方体的球的直径为2cm，则球的半径为1，其体积为 ‎4．一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为‎2cm，则球的表面积为（　）．‎ ‎　　A．8p B．12p C．16p D．20p ‎　　．B．球的直径与正方体的对角线长相等，∴ ，∴ ，球表面积 ‎5．设地球半径为R，在北纬60°圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（　）．‎ ‎　　A． B． C． D．‎ ‎　　．B．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为，球心为O，‎ 则，∵ A、B在纬度圈上的弧长为，‎ 则，∴ A、、B三点共线，∵ OA＝OB，，‎ ‎∴ △AOB是正三角形，∴ ，∴ A、B的球面距离等于．‎ ‎6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（　）．‎ ‎　　A．1∶ B．1∶ C．1∶ D．1∶‎ ‎　．A．设正方体的棱长为2a，则其内切球半径为a，外接球半径为，二球体积比为 ‎7．球面上有A、B、C三点，AB＝BC＝‎2cm，，球心O到截面ABC的距离等于球半径的一半，求球的体积．‎ ‎．∵ A、B、C是球面上三点，∴ OA＝OB＝OC．设截面圆圆心为，则⊥平面ABC，∴ ，∴ 是△ABC的外接圆圆心．‎ ‎　　∵ AB＝BC＝2，，∴ ，∴ ∠ABC是直角．‎ 在△中，，，，OA＝R，∴ 有，解得，，‎ 球体积 ‎8．半径为1的球面上有三点A、B、C，其中A和B、A和C的球面距离为，B和C的球面距离为，求球心到平面ABC的距离．‎ ‎3．设球心为O，由球面距离的定义可知，，．‎ ‎∵ OA⊥OB，OA⊥OC，∴ OA⊥平面BOC．∴ 三棱锥O－ABC的体积．‎ 在△ABC中，, ,BC＝1，取BC中点M，则AM⊥BC，，．‎ 设点O到平面ABC的距离为h，∵ ，∴ ，‎ ‎∴ ．即点O到平面ABC的距离为．‎ ‎ 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：，（计算公式）‎ ‎ （3）球的截面是圆面：‎ ‎ 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。‎ ‎9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。‎ ‎ 解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP，设球心为O，PC为圆锥的高，取出球后，水面为EF，其高度为PH，连结OC、OA。‎ ‎ 则 ∴‎ ‎ ∵。∵， ∴ 又∵‎ ‎ ∴。 故取出球后水面高为。‎ ‎10. 在北纬45°的纬度圈上有A、B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。‎ ‎ 分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离。‎ ‎ 解：设北纬45°圈的圆心为O'，地球中心 为O，则∠AO'B=160°－70°=90°‎ ‎ ∠OBO'=45°，OB=R ∴‎ ‎ 则 ∴ 故A、B两点间球面的距离为。‎ ‎11．已知地球的半径为 ，球面上 两点都在北纬45°圈上，它们的球面距离为 ， 点在东经30°上，求 点的位置及 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度． ‎ ‎　　分析：求点 的位置，如图就是求 的大小，只需求出弦 的长度．对于 应把它放在 中求解，根据球面距离概念计算即可．‎ ‎　　解：如图，设球心为 ，北纬45°圈的中心为 ，‎ ‎　　由 两点的球面距离为 ，所以 = ，‎ ‎　　 为等边三角形．于是 ．‎ ‎　　由 ，‎ ‎　　 ．即 = ．‎ ‎　　又 点在东经30°上，故 的位置在东经120°，北纬45°或者西经60°，北纬45°．‎ ‎　　 两点在其纬线圈上所对应的劣弧 ．‎ ‎　　说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．‎ ‎12．自半径为 的球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值．‎ ‎　　分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．‎ ‎　　解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．‎ ‎　　 = ．‎ ‎　　说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．‎ ‎　　*例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．‎ ‎　　分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．‎ ‎　　解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高 ．‎ ‎　　而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 ．‎ ‎13. 一个球的半径为R，A、B是球面上的两个点，如果A、B沿球面的最短距离为 ‎ 解： ‎ ‎ 要使O到平面ABO’的距离最长（O’为过AB的圆的圆心），只须过A、B的小圆最小，即AB=2r ‎ ‎ ‎14. 设A、B是地球北纬60o圈上两点，点A、B的经度分别是东经40o和西经20o，求A、B两点的球面距离。‎ ‎ 解：设O’为北纬60o圈所在圆圆心，r为半径，地球半径为R ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小结： ‎ ‎15. 求棱长为a的正四面体内切球的体积。‎ ‎ 解：设正四面体ABCD高为AO’=h，内切球心为O，半径为r ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 注：正四面体外接球与内切球半径之比为3：1。‎ ‎16. 在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的体积和表面积。‎ ‎ 解：设过P、A、B三点的圆为圆O1 ‎ ‎ 【关于“球”的常见问题】‎ 问题： 地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.‎ 解答:分析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差.‎ 解  设O1是北纬45°圈的中心，∵A、B都在此圈上，∴O‎1A＝O1B＝ R.∵A、B的球面距离为 ，‎ ‎∴∠AOB＝ ＝ ＝ ,ΔAOB为等边三角形. AB＝R，在ΔAO1B中，∵O‎1A2+O1B2＝ R2+ R2＝R2＝AB2，‎ ‎∴∠AO1B＝90°.∴A、B两地的经度差是90°.‎ 评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.‎ ‎ 问题：已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.‎ ‎ ‎ ‎ 解答:‎ 解  设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝ ，R＝OD＝AD·tan ,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan ,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝ R.∴V正方体＝ (lcosθtan )3.‎ 问题：如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答:分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.‎ 解  (1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，‎ ‎∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.‎ 设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1，∵PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.∴CD是球的直径.故  PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.‎ ‎(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝ xyz，‎ V2＝ x2y2z2≤ ( )3＝ · ＝ R6.∴V≤ R3.即  V最大＝ R3.‎ 评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.‎ 球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.‎ 问题：求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径. ‎ ‎ 解答:解  如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝ a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4· ·Sr＝ S·AH，∴r＝ AH＝ a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔCD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝ a,AH＝ a,由相交弦定理得 a×(2R- a)＝( a)2.解得R＝ a.‎ 问题：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为(    )‎ A.4         B.2         C.2          D. ‎ 解答:解  设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝ ，又∵OA＝OB∴ΔAOB是等边三角形同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.‎ 边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径. r＝ AB＝ R R＝ r＝2 ∴应选B.‎ 问题：已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球表面积是(    )‎ A. π         B. π          C.4π           D. π 解答:解  如图，过ABC三点的截面圆的圆心是O′，球心是O，连结AO′、OO′，则OO′⊥      AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC为正三角形.∴AO′＝ ×2＝ 设球半径为R，则OA＝R，OO′＝ ‎ ‎ ‎ 在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝ +( )2∴R＝ ∴球面面积为4πR2＝ π∴应选A.‎ 说明  因为R＝OA＞O′A＞ AB＝1，所以球面积S＝4πR2＞4π.从而选A.‎ ‎ 问题：长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是(    )‎ A.20 π          B.25 π          C.50π          D.200π 解答:解  正方体的对角线为l，球的半径为R，则l＝2R.得：l2＝4R2＝32+42+52＝50从而  S球＝4πR2＝50π∴应选C.‎ ‎ 问题：在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球的表面积是        .‎ 解答:解  由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线CD＝ a.∴S球表面积＝4π·( a)2＝3πa2.‎ 问题：圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降       cm.‎ 解答:分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.解  设取出小球后，容器水平面将下降hcm，两小球体积为V球＝2× π×52×h,V1＝   V球即  25πh＝ π  ∴h＝ cm.∴应填 .‎ 问题：湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.‎ 解答:解  设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.‎ 得R＝13  ∴该球半径为13cm.‎