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- 2021-06-15 发布
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学业分层测评(十二) 用样本的频率分
布估计总体分布
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列命题正确的是( )
A.频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数
B.频率分布直方图的面积为对应数据的频率
C.频率分布直方图中各小矩形高(平行于纵轴的边)表示频率与组
距的比
D.用茎叶图统计某运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,
33,14,28,39 时,茎是指中位数 26
【解析】 在频率分布直方图中,横轴表示样本数据;纵轴表示
频率
组距,由于小矩形的面积=组距×频率
组距=频率,所以各小矩形的面积
等于相应各组的频率,因此各小矩形面积之和等于 1.
【答案】 C
2.将容量为 100 的样本数据,按由小到大排列分成 8 个小组,如
下表所示:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第 3 组的频率和累积频率为( )
A.0.14 和 0.37 B. 1
14
和 1
27
C.0.03 和 0.06 D. 3
14
和 6
37
【解析】 由表可知,第三小组的频率为 14
100
=0.14,累积频率为
10+13+14
100
=0.37.
【答案】 A
3.如图 228 所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图,则
由图形中的数据可知样本落在[15,20)内的频数为( )
图 228
A.20 B.30
C.40 D.50
【解析】 样本数据落在[15,20)内的频数为 100×[1-5×(0.04
+0.1)]=30.
【答案】 B
4.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎
叶图(如图 229 所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
图 229
A.46,45,56 B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53
【解析】 由题意知各数为 12,15,20,22,23,23,31,32,
34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,
51,54,57,59,61,67,68,中位数是 46,众数是 45,最大数为 68,
最小数为 12,极差为 68-12=56.
【答案】 A
5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图
2210,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若
低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是( )
图 2210
A.45 B.50
C.55 D.60
【解析】 根据频率分布直方图的特点可知,低于 60 分的频率是
(0.005+0.01)×20=0.3,所以该班的学生人数是15
0.3
=50.
【答案】 B
二、填空题
6.200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图
2211 所示,时速在[50,60)的汽车大约有______辆.
图 2211
【解析】 在[50,60)的频率为 0.03×10=0.3,
∴汽车大约有 200×0.3=60(辆).
【答案】 60
7.(2016·东营高一检测)从甲、乙两个班中各随机选出 15 名同学
进行随堂测验,成绩的茎叶图如图 2212 所示,则甲、乙两组的最高
成绩分别是________,________,从图中看,________班的平均成绩
较高.
图 2212
【解析】 由茎叶图可知,甲班的最高分是 96,乙班的最高分是
92.甲班的成绩集中在 60~80 之间,乙班成绩集中在 70~90 之间,故
乙班的平均成绩较高.
【答案】 96 92 乙
8.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都
在 50 度至 350 度之间,频率分布直方图如图 2213 所示:
图 2213
(1)直方图中 x 的值为________;
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
【解析】 由于(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001
2)×50=1,解得 x=0.004 4;数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6
+0.006 0+0.004 4)×50=0.7,所以月用电量在[100,250)内的用户数
为 100×0.7=70.
【答案】 (1)0.004 4 (2)70
三、解答题
9.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,
随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服
用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h),实验的观
测结果如下:
服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更
好? 【导学号:28750037】
图 2214
【解】 (1)设 A 药观测数据的平均数为-x,B 药观测数据的平均数
为-y.由观测结果可得
-x= 1
20(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+
2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
-y= 1
20(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+
1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.
由以上计算结果可得-x>-y,因此可看出 A 药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图:
从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 7
10
的叶集中在茎
“2.”,“3.”上,而 B 药疗效的试验结果有 7
10
的叶集中在茎“0.”,“1.”上,
由此可看出 A 药的疗效更好.
10.为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行
一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图
2215),图中从左到右各小长方形的面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3,
第二小组的频数为 12.
图 2215
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,则该校全体高一年级学生
的达标率是多少?
【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小
组内的频率大小的,因此第二小组的频率为 4
2+4+17+15+9+3
=
0.08.
又因为第二小组的频率=第二小组的频数
样本容量 ,
所以样本容量=第二小组的频数
第二小组的频率= 12
0.08
=150.
(2)由频率分布直方图可估计,该校高一年级学生的达标率为:
17+15+9+3
2+4+17+15+9+3
×100%=88%.
[能力提升]
1.如图 2216 是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,
据图可知( )
图 2216
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为 0 分
【解析】 由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在 30 至 40
之间,比较稳定,而乙运动员均匀地分布在 10 至 40 之间,所以甲运
动员成绩较好.故选 A.
【答案】 A
2.某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,
所得数据的茎叶图如图 2217 所示.以组距为 5 将数据分组成[0,5),
[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )
图 2217
【解析】 借助已知茎叶图得出各小组的频数,再由频率=
频数
样本容量求出各小组的频率,进一步求出频率
组距并得出答案.
法一 由题意知样本容量为 20,组距为 5.
列表如下:
分组 频数 频率 频率
组距
[0,5) 1 1
20 0.01
[5,10) 1 1
20 0.01
[10,15) 4 1
5 0.04
[15,20) 2 1
10 0.02
[20,25) 4 1
5 0.04
[25,30) 3 3
20 0.03
[30,35) 3 3
20 0.03
[35,40] 2 1
10 0.02
合计 20 1
观察各选择项的频率分布直方图知选 A.
法二 由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等,故频率、
频率
组距也分别相等,比较四个选项知 A 正确,故选 A.
【答案】 A
图 2218
3.某校开展“爱我海西,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛
作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最
低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图
中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是________.
【解析】 当 x≤4 时,
89+89+92+93+(90+x)+92+91
7
=91,
解之得 x=1.当 x>4 时,易证不合题意.
【答案】 1
4.某车站在春运期间为了了解旅客购票情况,随机抽样调查了 100
名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间 t(以下简称为购
票用时,单位为 min),下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和
频率分布直方图:(如图 2219 所示)
分组 频数 频率
一组 0≤t<5 0 0
二组 5≤t<10 10 0.10
三组 10≤t<15 10 ②
四组 15≤t<20 ① 0.50
五组 20≤t≤25 30 0.30
合计 100 1.00
图 2219
解答下列问题:
(1)这次抽样的样本容量是多少?
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图;
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组?
【解】 (1)样本容量是 100.
(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分:
(3)设旅客平均购票用时为 t min,则有
0×0+5×10+10×10+15×50+20×30
100
≤t
<5×0+10×10+15×10+20×50+25×30
100
,
即 15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组.
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