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- 2021-06-15 发布
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- 1 -
2020 年河南省高考数学适应性试卷(理科)(5 月份)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.已知i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 2 iz i
,则 z ( )
A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算,可求 1 2z i ,再根据复数与共轭复数的关系,即可求出结果.
【详解】因为
2
22 1 2i iiz ii i
,所以 1 2z i .
故选:B.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念,属于基础题.
2.设集合 1 2A x x , 2 , 0,2xB y y x ,则下列选项正确的是( )
A. 1,3A B B. 1,4A B
C. 1,4A B D. 0,1,2,3,4A B
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合 ,A B ,结合选项进行判断.
【详解】因为 1 2 1 3A x x x x , 2 , 0,2 1 4xB y y x y y ,
所以 1,3A B , 1,4A B .
故选:C
【点睛】本题主要考查集合的运算,把集合化为最简形式是求解的关键,侧重考查数学运算
的核心素养.
3.某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重
比,其中每年入围大学生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)基本都具有线性相关关系,
- 2 -
根据今年的一组样本数据 1,, 2, ,50i ix y i ,用最小二乘法建立的回归方程为
ˆ 0.83 85.71y x ,则下列结论中不正确的是( )
A. y 与 x 具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心 ,x y
C. 若某应聘大学生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.83kg
D. 若某应聘大学生身高为 170cm,则可断定其体重必为 55.39kg
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线性回归方程分析,x 的系数为正则正相关;线性回归方程必过样本中心点;利用线性回
归方程分析数据时只是估计值,与真实值存在误差.
【详解】由于线性回归方程中 x 的系数为 0.83,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正
确;
线性回归方程必过样本中心点 ,x y ,故 B 正确;
由线性回归方程中系数的意义知,x 每增加 1cm,其体重约增加 0.83kg,故 C 正确;
当某大学生的身高为 170cm 时,其体重估计值是 55.39kg,而不是具体值,故 D 不正确.
故选:D
【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程,属于基础题.
4.“ 0m ”是“直线 0x y m 与圆 2 21 1 2x y 相切”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:若 0m ,则圆 2 21 1 2x y 的圆心 (1,1) ,
到直线 0x y 的距离为 2 ,等于半径,此时圆与直线相切,充分性成立;
若直线 0x y m 与圆 2 21 1 2x y 相切,
- 3 -
则圆心到直线距离为 |1 1 | 2
2
m ,解得 0m 或 4 ,
所以必要性不成立.
故选:B.
考点:直线与圆的位置关系、充分必要条件.
5.已知向量 3,1a
, 1,3b m
r
,若向量 a
,b
的夹角为锐角,则实数 m 的取值范围
为( )
A. 1 3, B. 1 3 3,
C. 1 3,1 3 3 1 3 3, D. 1 3,1 3 3 1 3 3,
【答案】C
【解析】
【分析】
先由向量的夹角为锐角,由向量数量积,求出 1 3m ,再由向量 a
, b
共线时,求出
1 3 3m ,进而可求出结果.
【详解】因为 3,1a
, 1,3b m
r
,
所以 3 1 3a b m ;
因为向量 a
,b
的夹角为锐角,所以有 3 1 3 0m ,解得 1 3m .
又当向量 a
,b
共线时, 3 3 1 0m ,解得: 1 3 3m ,
所以实数 m 的取值范围为 1 3,1 3 3 1 3 3, .
故选:C.
【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围,熟记向量数量积的坐标表示,以及向
量共线的坐标表示即可,属于常考题型.
6.设函数 sin 3 cosf x x x , 0,2x ,若 0 1a ,则方程 f x a 的所有根之
和为( )
A. 4
3
B. 2 C. 8
3
D. 7
3
【答案】D
- 4 -
【解析】
【分析】
先进行化简函数 f x ,利用三角函数的对称性进行求解即可.
【详解】∵ 2sin 3f x x
, 0,2x ,
∴ 2,2f x ,又 0 1a ,∴方程 f x a 有两根 1x , 2x ,由对称性得
1 2 33 3
2 2
x x
,解得 1 2
7
3x x .
答案:D
【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质,考查数形结合的能力,属于基础
题.
7.若对任意正数 x ,不等式 2
2 2 1
4
a
x x
恒成立,则实数 a 的取值范围为( )
A. 0, B. 1 ,4
C. 1 ,4
D. 1 ,2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得出 2
2 22 1 44
xa x x x
,利用基本不等式求得
2
4x x
的最大值,可得出关于 a 的
不等式,由此可解得实数 a 的取值范围.
【详解】依题意得当 0x 时, 2
2 22 1 44
xa x x x
恒成立,
- 5 -
又因为 4 42 4x xx x
,当且仅当 2x 时取等号,所以
2
4x x
的最大值为 1
2
,
所以 12 1 2a ,解得 1
4a ,因此,实数 a 的取值范围为 1 ,4
.
故选:B.
【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数,考查计算能力,属于基础题.
8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识,每天都派出多名学生参加与交通相关的各
类活动.现有包括甲、乙两人在内的 6 名中学生,自愿参加交通志愿者的服务工作这 6 名中学
生中 2 人被分配到学校附近路口执勤,2 人被分配到医院附近路口执勤,2 人被分配到中心市
场附近路口执勤,如果分配去向是随机的,则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
【答案】A
【解析】
【分析】
结合排列、组合求得把 6 名同学平均分配到三个不同的路口分配种数,再求得甲、乙两人被
分配到同一路口种数,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.
【详解】由题意,把 6 名同学平均分配到三个不同的路口,共有
2 2 2
36 4 2
33
3
90C C C AA
种分配方案,
其中甲、乙两人被分配到同一路口有 1 2
3 4 18C C 种可能,
所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为 18 1
90 5
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列组合的应用,着重考查分析问
题和解答问题的能力,属于中档试题.
9.已知函数 22ln 3 3f x x x ,其中 x 表示不大于 x 的最大整数(如 1.6 1 ,
2.1 3 ),则函数 f x 的零点个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
- 6 -
【分析】
构造函数 22lng x x 与 3 3h x x ,作出图象,结合图象得出两函数的交点个数,即
可求解.
【详解】设函数 22lng x x , 3 3h x x ,
则 2 22ln( ) 2lng x x x g x ,所以函数 g x 为定义域上的为偶函数,
作出函数 22lng x x 与 3 3h x x 的图象,如图所示,
当 1 0x 时, 6h x ,结合图象,两函数有 1 个交点,即 1 个零点;
当 0 1x 时, 3h x ,结合图象,两函数有 1 个交点,即 1 个零点;
当 1x 时, 0g x h x ,两函数有 1 个交点,即 1 个零点;
当 2 3x 时, 3h x , 4ln 2 4ln3g x ,此时两函数有 1 个交点,即 1 个零点,综
上可得函数 22ln 3 3f x x x 共 4 个零点.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定,以及函数的图象的应用,其中解答中构造
新函数,作出函数的图象,结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键,着重考
查构造思想,以及数形结合思想的应用,属于中档试题.
10.已知过双曲线
2 2
: 18 4
x yC 的左焦点 F 的直线 l 与双曲线左支交于点 A , B ,过原点与
弦 AB 中点 D 的直线交直线 4 3
3x 于点 E ,若 AEF 为等腰直角三角形,则直线 l 的方
程可以为( )
- 7 -
A. 3 2 2 2 3 0x y B. 3 2 2 2 3 0x y
C. 3 2 2 2 3 0x y D. 3 2 2 2 3 0x y
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意,得 2 3,0F ,设 : 2 3 2l x my m , 1 1,A x y , 2 2,B x y ,将直
线 l 的 方 程 代 入 双 曲 线 C 的 方 程 , 消 去 x , 根 据 韦 达 定 理 , 以 及 题 中 条 件 , 得 到
2 2
4 3 2 3,2 2
mD m m
,求得直线 OD 的方程为
2
my x ,求出 4 3 2 3,3 3E m
,推出
EF l ,得到 EF AF ,根据题意,求出 3 2 2m ,即可得出结果.
【详解】由
2 2
: 18 4
x yC 得其左焦点为 2 3,0F ,
则由题意可设 : 2 3 2l x my m ,代入双曲线C 的方程,消去 x ,
整理得 2 22 4 3 4 0m y my .
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,由根与系数的关系,得 1 2 2
4 3
2
my y m
,
∴ 1 2
2
2 3
2 2
y y m
m
, 1 21 2
2
4 32 32 2 2
m y yx x
m
,即 2 2
4 3 2 3,2 2
mD m m
∴直线
OD 的方程为
2
my x .
令 4 3
3x ,得 2 3
3y m ,即 4 3 2 3,3 3E m
,
∴直线 EF 的斜率为
2 3 03
4 3 2 33
m
m
,∴ EF l ,
则必有 EF AF ,即 22 2 2 2
1 1 1
4 4 2 3 13 3m x y m y ,
- 8 -
解得 1
2 3
3y .
又
2 2
1 1 18 4
x y ,∴ 1
4 6
3x ,∴ 3 2 2m ,
从而直线 l 的方程为 3 2 2 2 3 0x y 或 3 2 2 2 3 0x y .
故选:A.
【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程,熟记直线与双曲线的位置关系,以及双曲线
的简单性质即可,属于常考题型.
11.设 nS , nT 分别为等差数列 na , nb 的前 n 项和,且 3 2
4 5
n
n
S n
T n
.设点 A 是直线 BC 外
一点,点 P 是直线 BC 上一点,且 1 4
3
a aAP AB ACb
,则实数 的取值为( )
A. 28
25
B. 3
25
C. 3
28
D. 18
25
【答案】B
【解析】
【分析】
由 3 2
4 5
n
n
S n
T n
,结合数列的 na 与 nS 的关系,分别求得 na , nb 的通项公式,进而得到
1 4
3
a a
b
的值,再结合向量的共线定理,即可求解.
【详解】由题意, nS , nT 分别为等差数列 na , nb 的前 n 项和,且 3 2
4 5
n
n
S n
T n
,
不妨取 23 2nS n n , 24 5nT n n ,
当 1n 时, 1 1 5a S ,
当 2n 时, 1 6 1n n na S S n ,
验证得当 1n 时上式成立,综上数列 na 的通项公式为 6 1na n ,
同理可得,数列 nb 的通项公式为 8 1nb n ,
- 9 -
则 1 4
3
28
25
a a
b
,
又由点 P 在直线 BC 上,设 BP kBC ,
1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC 28
25 AB AC ,
即 281 25k , 3
25k .
故选:B.
【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前 n 项和公式的应用,以及向量共线定理的应用,
其中解答中熟记数列中 na 与 nS 的关系,求得数列的通项公式,以及共线向量的定理是解答的
关键,着重考查推理与运算能力.
12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验
公式为: 21
2
1
2S 弦 矢+ 矢 .弧田(如图 1 阴影部分)由圆弧和其所对弦围成,弦”指圆
弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)
近似体积公式: 1
2V 圆面积 矢 31
2
矢 .球缺是指一个球被平面截下的一部分,厦门嘉庚
体育馆近似球缺结构(如图 3),若该体育馆占地面积约为 18000 2m ,建筑容积约为 340000 3m ,
估计体育馆建筑高度(单位: m )所在区间为( )
参考数据: 332 18000 32 608768 , 334 18000 34 651304 ,
336 18000 36 694656 ,
338 18000 38 738872 , 340 18000 40 784000 .
A. 32,34 B. 34,36 C. 36,38 D. 38,40
【答案】B
【解析】
- 10 -
分析:根据所给近似体积公式分别计算 32,32,36,38,40h 时的体积近似值.
详解:设体育馆建筑高度为 ( )h m ,则 31 1180002 2V h h ,
若 32h ,则 304383V ;若 34h ,则 325652V ,若 36h ,则 347328V ,
325652 340000 347328 ,∴34 36h ,
故选 B.
点睛:本题通过数学文化引入球缺体积近似公式,即吸引了学生的眼球,又培养了学生的兴
趣,同时培养了学生的爱国情怀,是一道好题.
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.若 x,y 满足线性约束条件
6 0
4 4 0
0
x y
x y
y
,则 2z x y 的最大值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】
由线性约束条件,作出可行域, z 的几何意义为直线的截距,移动直线可得经过 A 点, z 取
最大值.
【详解】由线性约束条件,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
2 2z x y y x z , z 的几何意义为直线的截距,
- 11 -
作直线 2y x ,平移该直线,当直线经过点 6,0A 时,
2z x y 取得最大值,即 max z 2 6 0 12 .
故答案为:12
【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题,考查了数学运算能力和数形结合能力,
属于基础题目.
14.过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m , n 的两段 m n ,请写出
一个 m , n 满足的等量关系式______.
【答案】 4mn m n
【解析】
【分析】
先由题意,设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线 AB 的方程为: 4y kx ,联立直线与抛物线方
程 , 根 据 韦 达 定 理 , 得 到 2
1 2 16 8y y k , 再 由 题 意 , 得 到 1 2 8y y m n ,
1 2
1 2 1 2
y y m nk x x x x
- -= =- -
,求得 ( )
( )
2
2
16
m nk m n
-= +
,从而得到 2
8 8m n m nm n
,求解,
即可得出结果.
【详解】由题意, 0,4F ,
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线 AB 的方程为: 4y kx ,
由 2
4
16
y kx
x y
消去 y ,得到 2 16 64 0x kx ,所以 1 2
1 2
16
64
x x k
x x
,
所以 2
1 2 1 2 8 16 8y y k x x k ,
又过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m , n 的两段 m n ,
所以 1 4y m , 2 4y n , 1 2 8y y m n ,
所以 1 2
1 2 1 2
y y m nk x x x x
- -= =- -
,
因此 ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
1 2 1 2 1 21 2 2 16 128 16
m n m n m n m nk x x x x y y m nx x
- - - -= = = =+ - + + +-
,
- 12 -
所以 2
2
1 2 16 8 8 8m ny y k m nm n
,
即 2 2 16m n m n m n ,整理得: 4mn m n .
故答案为: 4mn m n .
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用,熟记抛物线的焦点弦长公式,以及抛物线
的简单性质即可,属于常考题型.
15.习近平同志提出:乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创
业.2020 年 1 月 8 日,人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返
乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出,要贯彻落实党中央、国务院的决策部署,进一步推
动返乡入乡创业,以创新带动创业,以创业带动就业,促进农村一、二、三产业融合发展,
实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术
培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列 na (单
位:万元),每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金 1a (万元)的 3 倍,已知
2 2
1 2 200a a ,则该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为_______万元.
【答案】200
【解析】
【分析】
设等差数列 na 的公差为 d,且满足 2 2
1 2 200a a .则该镇政府帮扶 5 年累计总投入:
1 1 1 2
5 45 5 3 102a d a a a ,再利用基本不等式求最值即可.
【详解】设等差数列 na 的公差为 d,且满足 2 2
1 2 200a a .则该镇政府帮扶 5 年累计总投
入:
2 2
1 1 1 1 2 1 2
5 45 5 3 10 2 10 10 2 10 2 200 2002a d a a d a a a a
,当且仅当 1 2 10a a 时等号成立.
故该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为 200 万元.
故答案为:200
【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和公式在实际问题中的应用,也考查了基本不等式求最值
- 13 -
的应用,属于基础题.
16.函数 22 22lnxf x x e x ax ,若 0a ,则 f x 在 1,2 的最小值为_______;当 0x
时, 1f x 恒成立,则 a 的取值范围是_____.
【答案】 (1). e (2). ,1
【解析】
【分析】
将 0a 代入,求出函数的导数得出 0f x 恒成立,得到单调性进而得最小值;结合性
1xe x 可得 21 1 1a x ,进而可得结果.
【详解】当 0a 时,∵ 22 2lnxf x x e x ,∴ 2 22 22 2x xf x xe x x e x
.
当 1x 时, 0f x 恒成立,
∴ f x 在 1,2 上单调递增.
∴ f x 在 1,2 上最小值为 1f e .
又 0x 时, 1f x 恒成立,令 1xg x e x , 1 0 0xg x e g ,
所以 g x 在 0, 递增, 0 0g x g 所以 1xe x
∴ 2 22 2 2ln 22ln 2lnx x xf x x e x ax e x ax
2 2 22ln 1 2ln 1 1 1x x x ax a x 恒成立,
∴ 1a .
故答案为 e ; ,1 .
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值,利用导数解决不等式恒成立问
题,属于难题.
三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.)
17.在平面中,四边形 ABCD 满足 AB AD , 4AB , 2 5AC , 2BCD BCA ,
ABC 的面积为 4 .
(1)求 BC 的长;
- 14 -
(2)求 ACD△ 的面积.
【答案】(1) 2BC ;(2)10 .
【解析】
【分析】
(1)由 ABC 的面积求得sin BAC 的值,进而求得 cos BAC ,然后在 ABC 中利用余
弦定理可求得 BC 的长;
(2)利用勾股定理得出 AB BC ,进而推导出 DCA BCA CAD ,可得出
AD CD ,过顶点 D 作 AC 的垂线,垂足为 E ,在 Rt ADE△ 中,利用正弦定理可求得 DE
的长,然后利用三角形的面积公式可求得 ACD△ 的面积.
【详解】(1)由已知 1 1sin 4 2 5 sin 42 2ABCS AB AC BAC BAC △ ,可得
5sin 5BAC ,
又 AB AD ,所以 0, 2BAC
,所以 2 2 5cos 1 sin 5BAC BAC .
在 ABC 中,由余弦定理 2 2 2 2 cos 4BC AB AC AB AC BAC , 2BC ;
(2)由(1)可得: 2 2 2AC AB BC ,所以 AB BC ,故
2BAC BCA .
由 AB AD ,得
2BAC CAD ,所以 BCA CAD ,.
又 2BCD BCA ,所以 DCA BCA CAD ,
所以 ACD△ 为等腰三角形,即 AD CD .
在 ACD△ 中,过顶点 D 作 AC 的垂线,垂足为 E ,且
2ADE CAD ,
ADE BAC , sin sin cos2CAD ADE ADE
,
- 15 -
在 Rt ADE△ 中,由正弦定理
sin sin
DE AE
CAD ADE
,可得
sin cos 2 5sin sin
AE CAD AE ADEDE ADE ADE
,
所以 1 1 2 5 2 5 102 2ACDS AC DE △ .
【点睛】本题考查三角形中的几何计算,考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公
式解三角形,考查计算能力,属于中等题.
18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作
名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等,非物质文化遗产
蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素,是
全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国,有 39 个项目入选,总数位居世界第一.现已
知某地市是非物质文化遗产项目大户,有 7 项人选,每年都有大批的游客前来参观学习,同
时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对 2019 年春节期间的 90 位游客购买情况进行
统计,得到如下人数分布表:
购买金额
(元)
0,15 15,30 30,45 45,60 60,75 75,90
购买人数 10 15 20 15 20 10
(1)根据以上数据完成 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为
购买金额是否少于 60 元与年龄有关.
不少于 60 元 少于 60 元 总计
- 16 -
年龄大于 50 40
龄小于 50 18
总计
(2)为吸引游客,超市推出一种优惠方案,举行购买特产,抽奖赢取非物质文化遗产体验及
返现的活动,凡是购买金额不少于 60 元可抽奖三次,每次中奖概率为 P(每次抽奖互不影响,
且 P 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率),每中奖一次体验 1 次,同时减免 5
元;每中奖两次体验 2 次,减免 10 元,每中奖三次体验 2 次,减免 15 元,若游客甲计划购
买 80 元的土特产,请列出实际付款数 X(元)的分布列并求其数学期望.
附参考公式和数据:
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
, n a b c d .
2
0P K k
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列联表见解析,能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于
60 元与年龄有关;(2)分布列见解析,75.
【解析】
【分析】
(1)根据题中数据可得 2 2 列联表,再利用 2K 计算公式得出,即可判断出结论.
(2) X 可能取值为 65,70,75,80,且 10 20 1
90 3P .利用二项分布列的计算公式即可
得出 X 的分布列及其数学期望.
【详解】解:(1)2×2 列联表如下:
不少于 60 元 少于 60 元 总计
- 17 -
年龄大于 50 12 40 52
龄小于 50 18 20 38
总计 30 60 90
2
2 90 12 20 40 18 1440 5 3.84130 60 52 38 247K
,.
因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与年龄有关.
(2)X 的可能取值为 65,70,75,80,且 10 20 1
90 3P .
3
3
3
1 165 3 27P X C
,
2
2
3
1 2 270 3 3 9P X C
,.
2
1
3
1 2 475 C 3 3 9P X
,
3
0
3
2 880 3 27P X C
.
X 的分布列为
X 65 70 75 80
P 1
27
2
9
4
9
8
27
所以 1 2 865 70 75 80 7527 9 9 27
4E X .
【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望,考查运算求解能力和
应用意识,属于中档题.
19.如图,已知五面体 ABCDEF 中,四边形 BCEF 为等腰梯形, //BC AD , AB BC ,且
- 18 -
2BC , 1BF EF CE AD , 2AB ,平面 ABF 平面 BCEF .
(1)证明: AB CE^ ;
(2)求二面角 A DF C 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 5 33
33
.
【解析】
【分析】
(1)取 BC 中点 M,连接CF ,MF ,先由题中条件,得到CF BF ,再由面面垂直的性质,
以及线面垂直的判定定理,证明 AB 平面 BCEF ,进而可得出 AB CE^ ;
(2)先由题意建立空间直角坐标系,分别求出平面 ADF 和平面 DFC 的法向量,根据向量
夹角公式,求出法向量夹角的余弦值,进而可得出结果.
【详解】(1)证明:取 BC 中点 M,连接 CF , MF ,
因为四边形 BCEF 为等腰梯形, 2BC , 1BF EF CE AD ,
所以 //CM EF , 1CM EF ,所以四边形 EFMC 为平行四边形,
所以 EC MF ,三角形 BMF 为等边三角形,
所以 60CBF , 30BCF , 90BFC ,即 CF BF ,
又因为CF 平面 BCEF ,平面 ABF 平面 BCEF ,平面 ABF 平面 BCEF BF ,
所以CF 平面 ABF ,
因为 AB Ì平面 ABF ,所以CF AB ,
又因为 AB BC , BC CF C , BC 平面 BCEF ,CF 平面 BCEF ,
所以 AB 平面 BCEF ,
又因为CE 平面 BCEF ,所以 AB CE^ .
- 19 -
(2)据(1)可建立如图所示的空间直角坐标系,
所以可求得 0,0, 2A , 0,1, 2D , 3 1, ,0
2 2
F
, 0,2,0C .
则 3 1, , 22 2DF
, 0,1,0AD
uuur
, 0,1, 2DC
.
设向量 1 1 1, ,a x y z 为平面 ADF 的一个法向量,
则 0
0
a DF
a AD
,即 1 1 1
1
3 1 2 02 2
0
x y z
y
,
所以令 2z ,则 4 3 ,0, 23a
;
设向量 2 2 2, ,b x y z 为平面 DFC 的法向量,则 0
0
b DF
b DC
,
即 2 2 2
2 2
3 1 2 02 2
2 0
x y z
y z
,
- 20 -
令 2z ,则 2 3,2, 2b ,
所以
5 33cos , 33
a ba b
a b
,
又二面角 A DF C 的平面角为钝角,
所以二面角 A DF C 的余弦值为 5 33
33
.
【点睛】本题主要考查证明线线垂直,以及求二面角的余弦值,熟记线面、面面垂直的性质
定理,灵活运用空间向量的方法求二面角即可,属于常考题型.
20.已知圆 2 2: 3 16C x y ,点 3,0G ,P 是圆 C 上一动点,若线段 PG 的垂直平
分线和CP 相交于点 M.
(1)求点 M 的轨迹方程 E.
(2)已知直线 : 0l y kx m m 交曲线 E 于 A,B 两点.
①若射线 BO 交椭圆
2 2
116 4
x y 于点 Q,求 ABQ△ 面积的最大值;
②若 OA OB ,OD 垂直 AB 于点 D,求点 D 的轨迹方程.
【答案】(1)
2
2 14
x y ;(2)① ABQ 面积的最大值为 3;② 2 2 4 2 5
5 5x y x
.
【解析】
【分析】
(1)根据题意,化简得 4GM MC PM MC GC ,再结合椭圆的定义即可取得
点 M 的轨迹方程;
(2)①当 BO 所在直线斜率存在时,设 BO 的方程为 y nx ,得到 Q 到直线 l 的距离是点 O
到直线l 距离的 3 倍,联立方程组 2
2 14
y kx m
x y
,利用根与系数的关系和弦长公式,以及点到
直线的距离公式,求得 OABS 的表示,利用基本不等式,求得 OABS 面积的最大值;当 BO 所
在直线斜率不存在时,设l 的方程为 1y kx ,联立方程组,结合面积公式和基本不等式,
求得 OABS 的最大值,即可得到结论;②由①和 OA OB ,化简得到 2 24 1 5k m ,进而
- 21 -
得到 2 5
5OD ,结合圆的定义,即可求解.
【详解】(1)由圆 2 2: 3 16C x y ,可得圆心 ( 3,0)C ,半径 4r ,
因为 2 3 4GC ,所以点 G 在圆 C 内,
又由点 M 在线段 PG 的垂直平分线上,所以 GM PM ,
所以 4GM MC PM MC GC ,
由椭圆的定义知,点 M 的轨迹是以 G,C 为焦点的椭圆,
其中 2a , 3c , 2 4 3 1b ,
所以点 M 的轨迹方程为
2
2 14
x y .
(2)①当 BO 所在直线斜率存在时,设 BO 所在直线方程为 y nx ,
由 2
2 14
y nx
x y
,可得 2
2
4
1 4Bx n
,同理 2
2
16
1 4Qx n
, 2
1
Q
B
x
x
,所以 2OQ
OB
,
即 Q 到直线l 的距离是点 O 到直线l 距离的 3 倍,
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,
联立 2
2 14
y kx m
x y
,可得 2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m .
由 得 2 24 1 0k m ,且 1 2 2
8
4 1
kmx x k
, 2
1 2 2
4 1
4 1
m
x x k
,
则
2 2 2
22
1 2 1 2 2
4 1 4 11 4 4 1
k k mAB k x x x x k
,
又由 O 到直线 l 的距离
21
md
k
,
∴
2 2
2 2 2 2 22 2
2 2 2
14 1 4 1 4 12 2 1 2 14 1 4 1 4 1 2OAB
m m
m k m k km mS k k k
△
.
- 22 -
当且仅当
2 2
2 214 1 4 1
m m
k k
,即 2 22 4 1m k 时等号成立.
故 ABQ△ 面积的最大值为 3 3OABS △ .
当 BO 所在直线斜率不存在时,
假设 0,1B ,则 0, 2Q ,l 的方程为 1y kx (其中 0k ).
联立 2
2
1
14
y kx
x y
,得 2 24 1 8 0k x kx ,则 2
8
4 1A
kx k
.
∴ 2
1 12 12 12 312 4 1 2 24
ABQ A
kS BQ x k k k
△ ,
综上可得, ABQ 面积的最大值为 3.
②由①知 1 2 2
8
4 1
kmx x k
, 2
1 2 2
4 1
4 1
m
x x k
,
又因为OA OB ,所以 0OA OB ,即 1 2 1 2 0x x y y ,
即 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( ) 0x x kx m kx m k x x km x x m ,
代入解得 2 24 1 5k m ,
又
2
| | 2 5
51
mOD
k
,
所以点 D 的轨迹是以 O 为圆心,半径为 2 5
5
的圆(去掉 x 轴上的两个点),
故点 D 的轨迹方程为 2 2 4 2 5
5 5x y x
.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,
解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,
此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、
运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21.已知函数 xf x xe x R .
(1)判断函数 f x 的单调性;
- 23 -
(2)若方程 22 3 1 0f x a a 有两个不同的根,求实数 a 的取值范围;
(3)如果 1 2x x ,且 1 2f x f x ,求证: 1 2ln ln 2x x .
【答案】(1)在 ,1 上单调递增,在 1, 上单调递减.;(2) 1 ,12
;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先求解导数 f x ,通过求解不等式,判断函数单调性;
(2)利用单调性求解函数的值域,结合图象变化趋势可得 2 12 3 1 0,a a e
,然后求解
不等式可得结果;
(3)构造函数 1 1F x f x f x ,判断单调性得出 1 1f x f x ,结合函
数 f x 的单调性可得 1 2 2x x ,从而可证结论.
【详解】(1)因为 xf x xe ,所以 1 xf x x e ,令 0f x 可得 1x ;令 0f x
可得 1x ;所以函数 xf x xe 在 ,1 上单调递增,在 1, 上单调递减.
(2)由(1)可得函数 xf x xe 在 1x 处取得最大值,
max
11f x f e
,
所以函数 xf x xe 的值域为 1, e
,且 x 时, 0f x ;
因为方程 22 3 1 0f x a a 有两个不同的根,
所以 2 12 3 1 0,a a e
,即 22 3 1 0a a , 2 12 3 1a a e
,解得 1 12 a .
即实数 a 的取值范围为 1 ,12
.
(3)证明:由 1 2f x f x , 1 2x x ,不妨设 1 2x x ,
构造函数 1 1F x f x f x , 0,1x ,
则 2
11 1 1 0x
x
xF x f x f x ee ,
- 24 -
所以 F x 在 0,1x 上单调递增, 0 0F x F ,
也即 1 1f x f x 对 0,1x 恒成立.
由 1 20 1x x ,则 11 0,1x ,
所以 1 1 1 1 21 1 2 1 1f x f x f x f x f x ,.
即 1 22f x f x ,又因为 12 x , 2 1,x ,且 f x 在 1, 上单调递减,所以
1 22 x x ,
即证 1 2 2x x .
即 1 2ln ln 2x x .
【点睛】本题主要考查导数的应用,利用导数的符号可以判定单调性,利用导数可以研究函
数图象的变化趋势,侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第
一题计分.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
2cos
3 sin
x
y
( 为参数),直线l 的参
数方程为 1 cos
sin
x t a
y t
(t 为参数).
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程;
(2)已知点 1,0P ,直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,若 12
5PA PB ,求直线l 的一般方
程.
【 答 案 】( 1 )
2 2
14 3
x y ; 1x 或 tan 1y x ;( 2 ) 3 3 0x y 或
3 3 0x y .
【解析】
【分析】
(1)由曲线 C 和直线 l 的参数方程,消去参数,即可求得曲线 C 和直线 l 的一般方程;
- 25 -
(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,结合直线参数方程中参数的几何意义,即可求
解.
【详解】(1)由题意,曲线 C 的参数方程为
2cos
3 sin
x
y
( 为参数),
即
cos2
sin
3
x
y
( 为参数),平方相加,可得曲线 C 的一般方程为
2 2
14 3
x y ,
由直线l 的参数方程为 1 cos
sin
x t a
y t
( t 为参数)
当 cos 0 时, l 的直角坐标方程为 tan 1y x .
当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 1x .
(2)将 l 的参数方程 1 cos
sin
x t a
y t
(t 为参数)代入
2 2
14 3
x y ,
整理得 2 2 24sin 3cos 6cos 9 0t t ,
设 A,B 对应的参数为 1t , 2t ,则 1 2 2 2
9
4sin 3cost t
,
∴ 2 2
9 12
4sin 3cos 5PA PB
,解得 2tan 3 ,即 tan 3 或 tan 3 ,
所以直线 l 的方程为 3 3 0x y 或 3 3 0x y .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,以及直线的参数方程的几何意义的应
用,其中解答中熟记直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查推理与运算
能力.
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 2f x x x m .
(1)若 1m ,求不等式 3f x x 的解集;
(2)若关于 x 的不等式 1f x 恒成立,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 1x x ;(2) , 3 1, .
【解析】
- 26 -
【分析】
(1)求出函数的两个零点,再利用零点分段法解不等式,即可得到答案;
(2)利用绝对值不等式,将 1f x 恒成立等价于 2 1m 恒成立,再解绝对值不等式,
即可得到答案;
【详解】解:(1)当 1m 时,
1 2 , 1
3, 1 2
2 1, 2
x x
f x x
x x
.
当 1x 时,由 3f x x ,得5 1x ,解得 1
5x ,所以 1x ;
当 1 2x 时,由 3f x x ,得3 3x ,解得 1x ,所以 1 1x ;
当 2x 时, 3f x x ,解得 1x ,所以无解.
综上 3f x x 的解集为 1x x
(2) 2 2 2x x m x x m m ,当且仅当 2 0x x m 时等号成立,
故 1f x 恒成立等价于 2 1m 恒成立,
由 2 1m ,可得 3m 或 1m ,
所以 m 的取值范围是 , 3 1, .
【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数,考查分类讨论思想,
考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意讨论的完整性.
- 27 -
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