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  • 2021-06-15 发布

河南省2020届高三5月适应性考试数学(理)试题 Word版含解析

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- 1 - 2020 年河南省高考数学适应性试卷(理科)(5 月份) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 2 iz i  ,则 z  ( ) A. 1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算,可求 1 2z i  ,再根据复数与共轭复数的关系,即可求出结果. 【详解】因为   2 22 1 2i iiz ii i     ,所以 1 2z i  . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念,属于基础题. 2.设集合  1 2A x x   ,   2 , 0,2xB y y x   ,则下列选项正确的是( ) A.  1,3A B  B.  1,4A B  C.  1,4A B   D.  0,1,2,3,4A B  【答案】C 【解析】 【分析】 先化简集合 ,A B ,结合选项进行判断. 【详解】因为    1 2 1 3A x x x x       ,     2 , 0,2 1 4xB y y x y y      , 所以  1,3A B  ,  1,4A B   . 故选:C 【点睛】本题主要考查集合的运算,把集合化为最简形式是求解的关键,侧重考查数学运算 的核心素养. 3.某科研型企业,每年都对应聘入围的大学生进行体检,其中一项重要指标就是身高与体重 比,其中每年入围大学生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)基本都具有线性相关关系, - 2 - 根据今年的一组样本数据  1,, 2, ,50i ix y i   ,用最小二乘法建立的回归方程为 ˆ 0.83 85.71y x  ,则下列结论中不正确的是( ) A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 ,x y C. 若某应聘大学生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.83kg D. 若某应聘大学生身高为 170cm,则可断定其体重必为 55.39kg 【答案】D 【解析】 【分析】 根据线性回归方程分析,x 的系数为正则正相关;线性回归方程必过样本中心点;利用线性回 归方程分析数据时只是估计值,与真实值存在误差. 【详解】由于线性回归方程中 x 的系数为 0.83,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正 确; 线性回归方程必过样本中心点 ,x y ,故 B 正确; 由线性回归方程中系数的意义知,x 每增加 1cm,其体重约增加 0.83kg,故 C 正确; 当某大学生的身高为 170cm 时,其体重估计值是 55.39kg,而不是具体值,故 D 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程,属于基础题. 4.“ 0m  ”是“直线 0x y m   与圆   2 21 1 2x y    相切”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析:若 0m  ,则圆   2 21 1 2x y    的圆心 (1,1) , 到直线 0x y  的距离为 2 ,等于半径,此时圆与直线相切,充分性成立; 若直线 0x y m   与圆   2 21 1 2x y    相切, - 3 - 则圆心到直线距离为 |1 1 | 2 2 m   ,解得 0m  或 4 , 所以必要性不成立. 故选:B. 考点:直线与圆的位置关系、充分必要条件. 5.已知向量  3,1a  ,  1,3b m  r ,若向量 a  ,b  的夹角为锐角,则实数 m 的取值范围 为( ) A.  1 3,  B.  1 3 3,  C.    1 3,1 3 3 1 3 3,    D.    1 3,1 3 3 1 3 3,    【答案】C 【解析】 【分析】 先由向量的夹角为锐角,由向量数量积,求出 1 3m   ,再由向量 a  , b  共线时,求出 1 3 3m   ,进而可求出结果. 【详解】因为  3,1a  ,  1,3b m  r , 所以  3 1 3a b m     ; 因为向量 a  ,b  的夹角为锐角,所以有  3 1 3 0m    ,解得 1 3m   . 又当向量 a  ,b  共线时,  3 3 1 0m   ,解得: 1 3 3m   , 所以实数 m 的取值范围为   1 3,1 3 3 1 3 3,    . 故选:C. 【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围,熟记向量数量积的坐标表示,以及向 量共线的坐标表示即可,属于常考题型. 6.设函数   sin 3 cosf x x x  ,  0,2x  ,若 0 1a  ,则方程  f x a 的所有根之 和为( ) A. 4 3  B. 2 C. 8 3  D. 7 3  【答案】D - 4 - 【解析】 【分析】 先进行化简函数  f x ,利用三角函数的对称性进行求解即可. 【详解】∵   2sin 3f x x      ,  0,2x  , ∴    2,2f x   ,又 0 1a  ,∴方程  f x a 有两根 1x , 2x ,由对称性得 1 2 33 3 2 2 x x                ,解得 1 2 7 3x x   . 答案:D 【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质,考查数形结合的能力,属于基础 题. 7.若对任意正数 x ,不等式 2 2 2 1 4 a x x  恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.  0, B. 1 ,4     C. 1 ,4    D. 1 ,2    【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得出 2 2 22 1 44 xa x x x     ,利用基本不等式求得 2 4x x  的最大值,可得出关于 a 的 不等式,由此可解得实数 a 的取值范围. 【详解】依题意得当 0x  时, 2 2 22 1 44 xa x x x     恒成立, - 5 - 又因为 4 42 4x xx x     ,当且仅当 2x  时取等号,所以 2 4x x  的最大值为 1 2 , 所以 12 1 2a   ,解得 1 4a   ,因此,实数 a 的取值范围为 1 ,4     . 故选:B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数,考查计算能力,属于基础题. 8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识,每天都派出多名学生参加与交通相关的各 类活动.现有包括甲、乙两人在内的 6 名中学生,自愿参加交通志愿者的服务工作这 6 名中学 生中 2 人被分配到学校附近路口执勤,2 人被分配到医院附近路口执勤,2 人被分配到中心市 场附近路口执勤,如果分配去向是随机的,则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 【答案】A 【解析】 【分析】 结合排列、组合求得把 6 名同学平均分配到三个不同的路口分配种数,再求得甲、乙两人被 分配到同一路口种数,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解. 【详解】由题意,把 6 名同学平均分配到三个不同的路口,共有 2 2 2 36 4 2 33 3 90C C C AA  种分配方案, 其中甲、乙两人被分配到同一路口有 1 2 3 4 18C C  种可能, 所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为 18 1 90 5  . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列组合的应用,着重考查分析问 题和解答问题的能力,属于中档试题. 9.已知函数    22ln 3 3f x x x   ,其中 x 表示不大于 x 的最大整数(如 1.6 1 ,  2.1 3   ),则函数  f x 的零点个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 - 6 - 【分析】 构造函数   22lng x x 与    3 3h x x  ,作出图象,结合图象得出两函数的交点个数,即 可求解. 【详解】设函数   22lng x x ,    3 3h x x  , 则    2 22ln( ) 2lng x x x g x     ,所以函数  g x 为定义域上的为偶函数, 作出函数   22lng x x 与    3 3h x x  的图象,如图所示, 当 1 0x   时,   6h x   ,结合图象,两函数有 1 个交点,即 1 个零点; 当 0 1x  时,   3h x   ,结合图象,两函数有 1 个交点,即 1 个零点; 当 1x  时,     0g x h x  ,两函数有 1 个交点,即 1 个零点; 当 2 3x  时,   3h x  ,  4ln 2 4ln3g x  ,此时两函数有 1 个交点,即 1 个零点,综 上可得函数    22ln 3 3f x x x   共 4 个零点. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定,以及函数的图象的应用,其中解答中构造 新函数,作出函数的图象,结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键,着重考 查构造思想,以及数形结合思想的应用,属于中档试题. 10.已知过双曲线 2 2 : 18 4 x yC   的左焦点 F 的直线 l 与双曲线左支交于点 A , B ,过原点与 弦 AB 中点 D 的直线交直线 4 3 3x   于点 E ,若 AEF 为等腰直角三角形,则直线 l 的方 程可以为( ) - 7 - A.  3 2 2 2 3 0x y    B.  3 2 2 2 3 0x y    C.  3 2 2 2 3 0x y    D.  3 2 2 2 3 0x y    【答案】A 【解析】 【分析】 先由题意,得  2 3,0F  ,设  : 2 3 2l x my m    ,  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,将直 线 l 的 方 程 代 入 双 曲 线 C 的 方 程 , 消 去 x , 根 据 韦 达 定 理 , 以 及 题 中 条 件 , 得 到 2 2 4 3 2 3,2 2 mD m m        ,求得直线 OD 的方程为 2 my x ,求出 4 3 2 3,3 3E m       ,推出 EF l ,得到 EF AF ,根据题意,求出  3 2 2m    ,即可得出结果. 【详解】由 2 2 : 18 4 x yC   得其左焦点为  2 3,0F  , 则由题意可设  : 2 3 2l x my m    ,代入双曲线C 的方程,消去 x , 整理得 2 22 4 3 4 0m y my    . 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,由根与系数的关系,得 1 2 2 4 3 2 my y m    , ∴ 1 2 2 2 3 2 2 y y m m    ,  1 21 2 2 4 32 32 2 2 m y yx x m      ,即 2 2 4 3 2 3,2 2 mD m m        ∴直线 OD 的方程为 2 my x . 令 4 3 3x   ,得 2 3 3y m  ,即 4 3 2 3,3 3E m       , ∴直线 EF 的斜率为 2 3 03 4 3 2 33 m m        ,∴ EF l , 则必有 EF AF ,即    22 2 2 2 1 1 1 4 4 2 3 13 3m x y m y      , - 8 - 解得 1 2 3 3y   . 又 2 2 1 1 18 4 x y  ,∴ 1 4 6 3x   ,∴  3 2 2m    , 从而直线 l 的方程为  3 2 2 2 3 0x y    或  3 2 2 2 3 0x y    . 故选:A. 【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程,熟记直线与双曲线的位置关系,以及双曲线 的简单性质即可,属于常考题型. 11.设 nS , nT 分别为等差数列 na , nb 的前 n 项和,且 3 2 4 5 n n S n T n   .设点 A 是直线 BC 外 一点,点 P 是直线 BC 上一点,且 1 4 3 a aAP AB ACb       ,则实数  的取值为( ) A. 28 25 B. 3 25  C. 3 28 D. 18 25  【答案】B 【解析】 【分析】 由 3 2 4 5 n n S n T n   ,结合数列的 na 与 nS 的关系,分别求得 na , nb 的通项公式,进而得到 1 4 3 a a b  的值,再结合向量的共线定理,即可求解. 【详解】由题意, nS , nT 分别为等差数列 na , nb 的前 n 项和,且 3 2 4 5 n n S n T n   , 不妨取 23 2nS n n  , 24 5nT n n  , 当 1n  时, 1 1 5a S  , 当 2n  时, 1 6 1n n na S S n    , 验证得当 1n  时上式成立,综上数列 na 的通项公式为 6 1na n  , 同理可得,数列 nb 的通项公式为 8 1nb n  , - 9 - 则 1 4 3 28 25 a a b   , 又由点 P 在直线 BC 上,设 BP kBC  ,    1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC                   28 25 AB AC    , 即 281 25k  , 3 25k    . 故选:B. 【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前 n 项和公式的应用,以及向量共线定理的应用, 其中解答中熟记数列中 na 与 nS 的关系,求得数列的通项公式,以及共线向量的定理是解答的 关键,着重考查推理与运算能力. 12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验 公式为: 21 2 1 2S   弦 矢+ 矢 .弧田(如图 1 阴影部分)由圆弧和其所对弦围成,弦”指圆 弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2) 近似体积公式: 1 2V   圆面积 矢 31 2   矢 .球缺是指一个球被平面截下的一部分,厦门嘉庚 体育馆近似球缺结构(如图 3),若该体育馆占地面积约为 18000 2m ,建筑容积约为 340000 3m , 估计体育馆建筑高度(单位: m )所在区间为( ) 参考数据: 332 18000 32 608768   , 334 18000 34 651304   , 336 18000 36 694656   , 338 18000 38 738872   , 340 18000 40 784000   . A.  32,34 B.  34,36 C.  36,38 D.  38,40 【答案】B 【解析】 - 10 - 分析:根据所给近似体积公式分别计算 32,32,36,38,40h  时的体积近似值. 详解:设体育馆建筑高度为 ( )h m ,则 31 1180002 2V h h   , 若 32h  ,则 304383V  ;若 34h  ,则 325652V  ,若 36h  ,则 347328V  , 325652 340000 347328  ,∴34 36h  , 故选 B. 点睛:本题通过数学文化引入球缺体积近似公式,即吸引了学生的眼球,又培养了学生的兴 趣,同时培养了学生的爱国情怀,是一道好题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 x,y 满足线性约束条件 6 0 4 4 0 0 x y x y y          ,则 2z x y  的最大值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】 由线性约束条件,作出可行域, z 的几何意义为直线的截距,移动直线可得经过 A 点, z 取 最大值. 【详解】由线性约束条件,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, 2 2z x y y x z      , z 的几何意义为直线的截距, - 11 - 作直线 2y x  ,平移该直线,当直线经过点  6,0A 时, 2z x y  取得最大值,即 max z 2 6 0 12    . 故答案为:12 【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题,考查了数学运算能力和数形结合能力, 属于基础题目. 14.过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m , n 的两段 m n ,请写出 一个 m , n 满足的等量关系式______. 【答案】  4mn m n  【解析】 【分析】 先由题意,设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,直线 AB 的方程为: 4y kx  ,联立直线与抛物线方 程 , 根 据 韦 达 定 理 , 得 到 2 1 2 16 8y y k   , 再 由 题 意 , 得 到 1 2 8y y m n    , 1 2 1 2 1 2 y y m nk x x x x - -= =- - ,求得 ( ) ( ) 2 2 16 m nk m n -= + ,从而得到  2 8 8m n m nm n      ,求解, 即可得出结果. 【详解】由题意,  0,4F , 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,直线 AB 的方程为: 4y kx  , 由 2 4 16 y kx x y     消去 y ,得到 2 16 64 0x kx   ,所以 1 2 1 2 16 64 x x k x x      , 所以   2 1 2 1 2 8 16 8y y k x x k      , 又过抛物线 2 16x y 的焦点 F 的直线 AB 被 F 分成长度为 m , n 的两段 m n , 所以 1 4y m  , 2 4y n  , 1 2 8y y m n    , 所以 1 2 1 2 1 2 y y m nk x x x x - -= =- - , 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 2 16 128 16 m n m n m n m nk x x x x y y m nx x - - - -= = = =+ - + + +- , - 12 - 所以  2 2 1 2 16 8 8 8m ny y k m nm n         , 即     2 2 16m n m n m n     ,整理得:  4mn m n  . 故答案为:  4mn m n  . 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用,熟记抛物线的焦点弦长公式,以及抛物线 的简单性质即可,属于常考题型. 15.习近平同志提出:乡村振兴,人才是关键.要积极培养本土人才,鼓励外出能人返乡创 业.2020 年 1 月 8 日,人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返 乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出,要贯彻落实党中央、国务院的决策部署,进一步推 动返乡入乡创业,以创新带动创业,以创业带动就业,促进农村一、二、三产业融合发展, 实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术 培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列 na (单 位:万元),每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金 1a (万元)的 3 倍,已知 2 2 1 2 200a a  ,则该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为_______万元. 【答案】200 【解析】 【分析】 设等差数列  na 的公差为 d,且满足 2 2 1 2 200a a  .则该镇政府帮扶 5 年累计总投入:  1 1 1 2 5 45 5 3 102a d a a a      ,再利用基本不等式求最值即可. 【详解】设等差数列 na 的公差为 d,且满足 2 2 1 2 200a a  .则该镇政府帮扶 5 年累计总投 入:      2 2 1 1 1 1 2 1 2 5 45 5 3 10 2 10 10 2 10 2 200 2002a d a a d a a a a              ,当且仅当 1 2 10a a  时等号成立. 故该镇政府帮扶 5 年累计总投入的最大值为 200 万元. 故答案为:200 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和公式在实际问题中的应用,也考查了基本不等式求最值 - 13 - 的应用,属于基础题. 16.函数   22 22lnxf x x e x ax   ,若 0a  ,则  f x 在 1,2 的最小值为_______;当 0x  时,   1f x  恒成立,则 a 的取值范围是_____. 【答案】 (1). e (2).  ,1 【解析】 【分析】 将 0a  代入,求出函数的导数得出   0f x  恒成立,得到单调性进而得最小值;结合性 1xe x  可得   21 1 1a x   ,进而可得结果. 【详解】当 0a  时,∵   22 2lnxf x x e x  ,∴   2 22 22 2x xf x xe x x e x      . 当 1x  时,   0f x  恒成立, ∴  f x 在 1,2 上单调递增. ∴  f x 在 1,2 上最小值为  1f e . 又 0x  时,   1f x  恒成立,令   1xg x e x   ,    1 0 0xg x e g     , 所以  g x 在 0,  递增,    0 0g x g  所以 1xe x  ∴   2 22 2 2ln 22ln 2lnx x xf x x e x ax e x ax       2 2 22ln 1 2ln 1 1 1x x x ax a x         恒成立, ∴ 1a  . 故答案为 e ; ,1 . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值,利用导数解决不等式恒成立问 题,属于难题. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) 17.在平面中,四边形 ABCD 满足 AB AD , 4AB  , 2 5AC  , 2BCD BCA   , ABC 的面积为 4 . (1)求 BC 的长; - 14 - (2)求 ACD△ 的面积. 【答案】(1) 2BC  ;(2)10 . 【解析】 【分析】 (1)由 ABC 的面积求得sin BAC 的值,进而求得 cos BAC ,然后在 ABC 中利用余 弦定理可求得 BC 的长; (2)利用勾股定理得出 AB BC ,进而推导出 DCA BCA CAD     ,可得出 AD CD ,过顶点 D 作 AC 的垂线,垂足为 E ,在 Rt ADE△ 中,利用正弦定理可求得 DE 的长,然后利用三角形的面积公式可求得 ACD△ 的面积. 【详解】(1)由已知 1 1sin 4 2 5 sin 42 2ABCS AB AC BAC BAC         △ ,可得 5sin 5BAC  , 又 AB AD ,所以 0, 2BAC      ,所以 2 2 5cos 1 sin 5BAC BAC     . 在 ABC 中,由余弦定理 2 2 2 2 cos 4BC AB AC AB AC BAC       , 2BC  ; (2)由(1)可得: 2 2 2AC AB BC  ,所以 AB BC ,故 2BAC BCA     . 由 AB AD ,得 2BAC CAD     ,所以   BCA CAD ,. 又 2BCD BCA   ,所以 DCA BCA CAD     , 所以 ACD△ 为等腰三角形,即 AD CD . 在 ACD△ 中,过顶点 D 作 AC 的垂线,垂足为 E ,且 2ADE CAD     , ADE BAC   , sin sin cos2CAD ADE ADE         , - 15 - 在 Rt ADE△ 中,由正弦定理 sin sin DE AE CAD ADE   ,可得 sin cos 2 5sin sin AE CAD AE ADEDE ADE ADE      , 所以 1 1 2 5 2 5 102 2ACDS AC DE     △ . 【点睛】本题考查三角形中的几何计算,考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公 式解三角形,考查计算能力,属于中等题. 18.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作 名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等,非物质文化遗产 蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素,是 全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国,有 39 个项目入选,总数位居世界第一.现已 知某地市是非物质文化遗产项目大户,有 7 项人选,每年都有大批的游客前来参观学习,同 时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对 2019 年春节期间的 90 位游客购买情况进行 统计,得到如下人数分布表: 购买金额 (元)  0,15  15,30  30,45  45,60  60,75  75,90 购买人数 10 15 20 15 20 10 (1)根据以上数据完成 2×2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为 购买金额是否少于 60 元与年龄有关. 不少于 60 元 少于 60 元 总计 - 16 - 年龄大于 50 40 龄小于 50 18 总计 (2)为吸引游客,超市推出一种优惠方案,举行购买特产,抽奖赢取非物质文化遗产体验及 返现的活动,凡是购买金额不少于 60 元可抽奖三次,每次中奖概率为 P(每次抽奖互不影响, 且 P 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率),每中奖一次体验 1 次,同时减免 5 元;每中奖两次体验 2 次,减免 10 元,每中奖三次体验 2 次,减免 15 元,若游客甲计划购 买 80 元的土特产,请列出实际付款数 X(元)的分布列并求其数学期望. 附参考公式和数据:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      , n a b c d    .  2 0P K k 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析,能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与年龄有关;(2)分布列见解析,75. 【解析】 【分析】 (1)根据题中数据可得 2 2 列联表,再利用 2K 计算公式得出,即可判断出结论. (2) X 可能取值为 65,70,75,80,且 10 20 1 90 3P   .利用二项分布列的计算公式即可 得出 X 的分布列及其数学期望. 【详解】解:(1)2×2 列联表如下: 不少于 60 元 少于 60 元 总计 - 17 - 年龄大于 50 12 40 52 龄小于 50 18 20 38 总计 30 60 90  2 2 90 12 20 40 18 1440 5 3.84130 60 52 38 247K          ,. 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的情况下认为购买金额是否少于 60 元与年龄有关. (2)X 的可能取值为 65,70,75,80,且 10 20 1 90 3P   .   3 3 3 1 165 3 27P X C       ,   2 2 3 1 2 270 3 3 9P X C             ,.   2 1 3 1 2 475 C 3 3 9P X          ,   3 0 3 2 880 3 27P X C       . X 的分布列为 X 65 70 75 80 P 1 27 2 9 4 9 8 27 所以   1 2 865 70 75 80 7527 9 9 27 4E X          . 【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望,考查运算求解能力和 应用意识,属于中档题. 19.如图,已知五面体  ABCDEF 中,四边形 BCEF 为等腰梯形, //BC AD , AB BC ,且 - 18 - 2BC  , 1BF EF CE AD    , 2AB  ,平面 ABF  平面 BCEF . (1)证明: AB CE^ ; (2)求二面角 A DF C  的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 5 33 33 . 【解析】 【分析】 (1)取 BC 中点 M,连接CF ,MF ,先由题中条件,得到CF BF ,再由面面垂直的性质, 以及线面垂直的判定定理,证明 AB  平面 BCEF ,进而可得出 AB CE^ ; (2)先由题意建立空间直角坐标系,分别求出平面 ADF 和平面 DFC 的法向量,根据向量 夹角公式,求出法向量夹角的余弦值,进而可得出结果. 【详解】(1)证明:取 BC 中点 M,连接 CF , MF , 因为四边形 BCEF 为等腰梯形, 2BC  , 1BF EF CE AD    , 所以 //CM EF , 1CM EF  ,所以四边形 EFMC 为平行四边形, 所以 EC MF ,三角形 BMF 为等边三角形, 所以 60CBF  , 30BCF   , 90BFC  ,即 CF BF , 又因为CF  平面 BCEF ,平面 ABF  平面 BCEF ,平面 ABF  平面 BCEF BF , 所以CF  平面 ABF , 因为 AB Ì平面 ABF ,所以CF AB , 又因为 AB BC , BC CF C , BC 平面 BCEF ,CF  平面 BCEF , 所以 AB  平面 BCEF , 又因为CE  平面 BCEF ,所以 AB CE^ . - 19 - (2)据(1)可建立如图所示的空间直角坐标系, 所以可求得  0,0, 2A ,  0,1, 2D , 3 1, ,0 2 2 F       ,  0,2,0C . 则 3 1, , 22 2DF         ,  0,1,0AD  uuur ,  0,1, 2DC   . 设向量  1 1 1, ,a x y z 为平面 ADF 的一个法向量, 则 0 0 a DF a AD         ,即 1 1 1 1 3 1 2 02 2 0 x y z y       , 所以令 2z  ,则 4 3 ,0, 23a        ; 设向量  2 2 2, ,b x y z 为平面 DFC 的法向量,则 0 0 b DF b DC         , 即 2 2 2 2 2 3 1 2 02 2 2 0 x y z y z        , - 20 - 令 2z  ,则  2 3,2, 2b  , 所以 5 33cos , 33 a ba b a b         , 又二面角 A DF C  的平面角为钝角, 所以二面角 A DF C  的余弦值为 5 33 33  . 【点睛】本题主要考查证明线线垂直,以及求二面角的余弦值,熟记线面、面面垂直的性质 定理,灵活运用空间向量的方法求二面角即可,属于常考题型. 20.已知圆  2 2: 3 16C x y   ,点  3,0G  ,P 是圆 C 上一动点,若线段 PG 的垂直平 分线和CP 相交于点 M. (1)求点 M 的轨迹方程 E. (2)已知直线  : 0l y kx m m   交曲线 E 于 A,B 两点. ①若射线 BO 交椭圆 2 2 116 4 x y  于点 Q,求 ABQ△ 面积的最大值; ②若 OA OB ,OD 垂直 AB 于点 D,求点 D 的轨迹方程. 【答案】(1) 2 2 14 x y  ;(2)① ABQ 面积的最大值为 3;② 2 2 4 2 5 5 5x y x         . 【解析】 【分析】 (1)根据题意,化简得 4GM MC PM MC GC     ,再结合椭圆的定义即可取得 点 M 的轨迹方程; (2)①当 BO 所在直线斜率存在时,设 BO 的方程为 y nx ,得到 Q 到直线 l 的距离是点 O 到直线l 距离的 3 倍,联立方程组 2 2 14 y kx m x y     ,利用根与系数的关系和弦长公式,以及点到 直线的距离公式,求得 OABS 的表示,利用基本不等式,求得 OABS 面积的最大值;当 BO 所 在直线斜率不存在时,设l 的方程为 1y kx  ,联立方程组,结合面积公式和基本不等式, 求得 OABS 的最大值,即可得到结论;②由①和 OA OB ,化简得到  2 24 1 5k m  ,进而 - 21 - 得到 2 5 5OD  ,结合圆的定义,即可求解. 【详解】(1)由圆  2 2: 3 16C x y   ,可得圆心 ( 3,0)C ,半径 4r  , 因为 2 3 4GC   ,所以点 G 在圆 C 内, 又由点 M 在线段 PG 的垂直平分线上,所以 GM PM , 所以 4GM MC PM MC GC     , 由椭圆的定义知,点 M 的轨迹是以 G,C 为焦点的椭圆, 其中 2a  , 3c  , 2 4 3 1b    , 所以点 M 的轨迹方程为 2 2 14 x y  . (2)①当 BO 所在直线斜率存在时,设 BO 所在直线方程为 y nx , 由 2 2 14 y nx x y    ,可得 2 2 4 1 4Bx n   ,同理 2 2 16 1 4Qx n   , 2 1 Q B x x  ,所以 2OQ OB  , 即 Q 到直线l 的距离是点 O 到直线l 距离的 3 倍, 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y , 联立 2 2 14 y kx m x y     ,可得   2 2 24 1 8 4 1 0k x kmx m     . 由   得 2 24 1 0k m   ,且 1 2 2 8 4 1 kmx x k     ,  2 1 2 2 4 1 4 1 m x x k    , 则   2 2 2 22 1 2 1 2 2 4 1 4 11 4 4 1 k k mAB k x x x x k         , 又由 O 到直线 l 的距离 21 md k   , ∴   2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 14 1 4 1 4 12 2 1 2 14 1 4 1 4 1 2OAB m m m k m k km mS k k k                    △ . - 22 - 当且仅当 2 2 2 214 1 4 1 m m k k    ,即 2 22 4 1m k  时等号成立. 故 ABQ△ 面积的最大值为 3 3OABS △ . 当 BO 所在直线斜率不存在时, 假设  0,1B ,则  0, 2Q  ,l 的方程为 1y kx  (其中 0k  ). 联立 2 2 1 14 y kx x y     ,得  2 24 1 8 0k x kx   ,则 2 8 4 1A kx k   . ∴ 2 1 12 12 12 312 4 1 2 24 ABQ A kS BQ x k k k        △ , 综上可得, ABQ 面积的最大值为 3. ②由①知 1 2 2 8 4 1 kmx x k     ,  2 1 2 2 4 1 4 1 m x x k    , 又因为OA OB ,所以 0OA OB   ,即 1 2 1 2 0x x y y  , 即    2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( ) 0x x kx m kx m k x x km x x m         , 代入解得  2 24 1 5k m  , 又 2 | | 2 5 51 mOD k    , 所以点 D 的轨迹是以 O 为圆心,半径为 2 5 5 的圆(去掉 x 轴上的两个点), 故点 D 的轨迹方程为 2 2 4 2 5 5 5x y x         . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用, 解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解, 此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、 运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数    xf x xe x R  . (1)判断函数  f x 的单调性; - 23 - (2)若方程   22 3 1 0f x a a    有两个不同的根,求实数 a 的取值范围; (3)如果 1 2x x ,且    1 2f x f x ,求证:  1 2ln ln 2x x  . 【答案】(1)在 ,1 上单调递增,在  1, 上单调递减.;(2) 1 ,12      ;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)先求解导数  f x ,通过求解不等式,判断函数单调性; (2)利用单调性求解函数的值域,结合图象变化趋势可得 2 12 3 1 0,a a e        ,然后求解 不等式可得结果; (3)构造函数      1 1F x f x f x    ,判断单调性得出    1 1f x f x   ,结合函 数  f x 的单调性可得 1 2 2x x  ,从而可证结论. 【详解】(1)因为   xf x xe ,所以    1 xf x x e   ,令   0f x  可得 1x  ;令   0f x  可得 1x  ;所以函数   xf x xe 在 ,1 上单调递增,在 1, 上单调递减. (2)由(1)可得函数   xf x xe 在 1x  处取得最大值,    max 11f x f e   , 所以函数   xf x xe 的值域为 1, e     ,且 x   时,   0f x  ; 因为方程   22 3 1 0f x a a    有两个不同的根, 所以 2 12 3 1 0,a a e        ,即 22 3 1 0a a    , 2 12 3 1a a e     ,解得 1 12 a  . 即实数 a 的取值范围为 1 ,12      . (3)证明:由    1 2f x f x , 1 2x x ,不妨设 1 2x x , 构造函数      1 1F x f x f x    ,  0,1x , 则        2 11 1 1 0x x xF x f x f x ee          , - 24 - 所以  F x 在  0,1x 上单调递增,    0 0F x F  , 也即    1 1f x f x   对  0,1x 恒成立. 由 1 20 1x x   ,则  11 0,1x  , 所以            1 1 1 1 21 1 2 1 1f x f x f x f x f x         ,. 即    1 22f x f x  ,又因为 12 x ,  2 1,x   ,且  f x 在  1, 上单调递减,所以 1 22 x x  , 即证 1 2 2x x  . 即  1 2ln ln 2x x  . 【点睛】本题主要考查导数的应用,利用导数的符号可以判定单调性,利用导数可以研究函 数图象的变化趋势,侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第 一题计分. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2cos 3 sin x y     ( 为参数),直线l 的参 数方程为 1 cos sin x t a y t      (t 为参数). (1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程; (2)已知点  1,0P ,直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,若 12 5PA PB  ,求直线l 的一般方 程. 【 答 案 】( 1 ) 2 2 14 3 x y  ; 1x  或  tan 1y x   ;( 2 ) 3 3 0x y   或 3 3 0x y   . 【解析】 【分析】 (1)由曲线 C 和直线 l 的参数方程,消去参数,即可求得曲线 C 和直线 l 的一般方程; - 25 - (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,结合直线参数方程中参数的几何意义,即可求 解. 【详解】(1)由题意,曲线 C 的参数方程为 2cos 3 sin x y     ( 为参数), 即 cos2 sin 3 x y       ( 为参数),平方相加,可得曲线 C 的一般方程为 2 2 14 3 x y  , 由直线l 的参数方程为 1 cos sin x t a y t      ( t 为参数) 当 cos 0  时, l 的直角坐标方程为  tan 1y x   . 当 cos 0  时,l 的直角坐标方程为 1x  . (2)将 l 的参数方程 1 cos sin x t a y t      (t 为参数)代入 2 2 14 3 x y  , 整理得 2 2 24sin 3cos 6cos 9 0t t       , 设 A,B 对应的参数为 1t , 2t ,则 1 2 2 2 9 4sin 3cost t      , ∴ 2 2 9 12 4sin 3cos 5PA PB     ,解得 2tan 3  ,即 tan 3  或 tan 3   , 所以直线 l 的方程为 3 3 0x y   或 3 3 0x y   . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化,以及直线的参数方程的几何意义的应 用,其中解答中熟记直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查推理与运算 能力. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数   2f x x x m    . (1)若 1m  ,求不等式   3f x x 的解集; (2)若关于 x 的不等式   1f x  恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 1x x  ;(2)   , 3 1,    . 【解析】 - 26 - 【分析】 (1)求出函数的两个零点,再利用零点分段法解不等式,即可得到答案; (2)利用绝对值不等式,将   1f x  恒成立等价于 2 1m  恒成立,再解绝对值不等式, 即可得到答案; 【详解】解:(1)当 1m  时,   1 2 , 1 3, 1 2 2 1, 2 x x f x x x x           . 当 1x   时,由   3f x x ,得5 1x  ,解得 1 5x  ,所以 1x   ; 当 1 2x   时,由   3f x x ,得3 3x  ,解得 1x  ,所以 1 1x   ; 当 2x  时,   3f x x ,解得 1x   ,所以无解. 综上   3f x x 的解集为 1x x  (2)  2 2 2x x m x x m m        ,当且仅当  2 0x x m   时等号成立, 故   1f x  恒成立等价于 2 1m  恒成立, 由 2 1m  ,可得 3m   或 1m   , 所以 m 的取值范围是   , 3 1,    . 【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数,考查分类讨论思想, 考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意讨论的完整性. - 27 -