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  • 2021-06-15 发布

高考数学专题复习练习第八章 第八节 抛物线

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第八章 第八节 抛物线 课下练兵场 命 题 报 告 ‎    难度及题号 知识点 ‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 抛物线的标准方程及几何性质 ‎1、3‎ ‎4、10‎ 抛物线的定义应用 ‎2‎ ‎5[文]‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎9‎ ‎6[理]、‎ ‎7、11‎ ‎8、12‎ 一、选择题 ‎1.抛物线y=4x2的准线方程为 (  )‎ A.y=-       B.y= C.y= D.y=- 解析:由x2=y,∴p=.‎ 准线方程为y=-.‎ 答案:D ‎2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为 (  )‎ A.4 B.-‎2 C.4或-4 D.12或-2‎ 解析:设标准方程为x2=-2py(p>0),‎ 由定义知P到准线距离为4,‎ 故+2=4,∴p=4,‎ ‎∴方程为x2=-8y,代入P点坐标得m=±4.‎ 答案:C ‎3.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是 (  )‎ A.y=12x2 B.y=-36x2‎ C.y=12x2或y=-36x2 D.y=x2或y=-x2‎ 解析:分两类a>0,a<0可得 y=x2,y=-x2.‎ 答案:D ‎4.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是 (  )‎ A.y2=12x B.y2=8x C.y2=6x D.y2=4x 解析:如图,分别过点A、B作抛物线准线的垂线,垂足分别为M、N,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=|AB|=8,又四边形AMNB为直角梯形,故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4,而抛物线的准线的方程为x=-,所以有4=2+⇒p=4.‎ 答案:B ‎5.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则AF的长为 (  )‎ A.2 B.‎4 C.6 D.8‎ 解析:过点A作抛物线的准线x=-1的垂线,垂足为B,由抛物线定义,有|AB|=|AF|,易知AB平行于x轴,∠AFx=,∠BAF=,三角形ABF是等边三角形,过F作FC垂直于AB于点C,则|CA|=|BC|=p=2,故|AF|=|AB|=4.‎ 答案:B ‎6.[理]已知A、B是抛物线y2=4x上两点,且·=0,则原点O到直线AB的最大距离为 (  )‎ A.2 B .‎3 C.4 D.8‎ 解析:设直线AB的方程为x=my+b,代入抛物线方程可得y2-4my-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由·=x1x2+y1y2=(my1+b)(my2+b)+y1y2=(m2+1)y1y2+mb(y1+y2)+b2=(m2+1)(-4b)+‎4m2‎b+b2=b2-4b=0,解之得b=4或b=0(舍去),即直线AB的方程为x=my+4, 原点到直线AB的距离为d=,当m=0时,‎ d最大值=4.‎ 答案:C ‎[文]如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||等于 (  )‎ A.6 B.‎4 C.3 D.2‎ 解析:由F(1,0)且++=0知F为△ABC的重心,‎ ‎∴设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),‎ ‎∴x1+x2+x3=3.‎ 又||+||+||=x1+x2+x3+p=3+3=6.‎ 答案:A 二、填空题 ‎7.(2010·洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2=4x交于A、B两点,则+=________.‎ 解析:设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,‎ ‎∴+=+ ‎==1.‎ 答案:1‎ ‎8.对于抛物线y2=2x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是________.‎ 解析:设抛物线y2=2x上任意一点Q(,y),点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,若a≤0,显然适合;若a>0,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,即a2≤(a-)2+y2,即a≤+1,此时00)且=-3,‎ ‎∴p=6,‎ ‎∴方程为y2=-12x.‎ ‎(2)由于P(2,-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴,可设方程为y2=mx或x2=ny.‎ 代入P点坐标求得m=8,n=-1,‎ ‎∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.‎ ‎(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2=2px(p≠0),A(m,-3),‎ 由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.‎ 又(-3)2=2pm,‎ ‎∴p=±1或p=±9,‎ 故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.‎ ‎11.(2010·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;‎ ‎(2)如果·=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.‎ 解:(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),‎ 设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x,‎ 消去x得y2-4ty-4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4t,y1y2=-4,‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2‎ ‎=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2‎ ‎=-4t2+4t2+1-4=-3.‎ ‎(2)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得 y2-4ty-4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4t,y1y2=-4b,‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2‎ ‎=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2‎ ‎=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.‎ 令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,‎ ‎∴直线l过定点(2,0).‎ ‎12.已知A、B两点在抛物线C:x2=4y上,点M(0,4)满足=λ.‎ ‎(1)求证:⊥;‎ ‎(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.‎ ‎①求证:点N在一条定直线上;‎ ‎②设4≤λ≤9,求直线MN在x轴上截距的取值范围.‎ 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=kx+4与x2=4y联立得x2-4kx-16=0,‎ Δ=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0,‎ x1+x2=4k,x1x2=-16,‎ ‎(1)证明:·‎ ‎=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)‎ ‎=(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16‎ ‎=(1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0,‎ ‎∴⊥.‎ ‎ (2)①证明:过点A的切线:‎ y=x1(x-x1)+y1=x1x-x, ①‎ 过点B的切线:y=x2x-x, ②‎ 联立①②得点N(,-4),‎ 所以点N在定直线y=-4上.‎ ‎②∵=λ,∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2),‎ 联立 可得k2===λ+-2,4≤λ≤9,‎ ‎∴≤k2≤.‎ 直线MN:y=x+4在x轴的截距为k,‎ ‎∴直线MN在x轴上截距的取值范围是 ‎[-,-]∪[,].‎