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  • 2021-06-15 发布

浙江省杭州高级中学2021届高三11月期中数学试卷(PDF版版含答案)

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1 杭高 2020 学年第一学期期中考试高三 (数学)试题卷 命题:高三数学备课组 审题: 吴连成 王希年 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规 定的地方。 3. 答题时,请按答题卡上“注意事项”的要求,在答题卡相应的位置上规范答题,在 本试题卷上答题一律无效。 4. 考试结束后,只需上交答题卡。 参考公式: 若事件 A , B 互斥,则 若事件 A , B 相互独立,则 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积, 表示 台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 }|{)},23ln(|{ 2 axxNxxyxM  ,若 NM  ,则实数 a 的取值范 围是 ( ) A. ),3[  B. ),3(  C. ]1,(  D. )1,(  2. 复数 iaaaa )6()32( 22  为纯虚数的一个必要不充分条件是 ( ) A. 1a B. 3a C. 32  aa 或 D. 2-1  aa 或 3. 已知等差数列 na 的公差 d 为正数, 1 1a  , )1()12 1 nnn atnaa ( , t 为常数, 则 na  ( ) A. 12 n B. 34 n C. 45 n D. n 2 4. 下列不可能是函数 )( )()( Zeexxf xx    的图象的是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知 zyx ,, 都是正数,且 xyzzyx 1 ,则 ))(( zyyx  的最小值 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知 ,x y 满足不等式 0 0 2 2 4 x y x y t x y         ,且目标函数 9 6z x y  最大值的变化范围 20,22 ,则 t 的取值范围 ( ) A. 2,4 B. 4,6 C. 5,8 D.  6,7 7. 已知函数     3,0 , cossin3)( xxaxxf 的最小值为 a ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 2,0 B.  2,2- C.  1- , D.  3- , 8. 将 3 个球(形状相同,编号不同)随机地投入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子,以 表示其中 至少有一个球的盒子的最小号码( 3 表示第 1 号,第 2 号盒子是空的,第 3 个盒子至少 1 个球),则 )12(),(  EE 分别等于 ( ) A. 8 25 16 25, B. 8 33 16 25, C. 32 3, D. 42 3, 9. 已知四棱锥 ABCDP  ,底面是边长为 2 的正方形, PAD 是以 AD 为斜 边的等腰直角三角形, PADAB 平面 ,点 E 是线段 PD 上的动点(不含端 点),若线段 AB 上存在点 F (不含端点),使得异面直线 PA 与 EF 成 030 的 角,则线段 PE 长的取值范围是 ( ) A.       2 20, B.       3 60, C.       22 2 , D.       23 6 , 3 10. 记集合      4,3,2,1,|10101010,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 4 4 3 3 2 21 iTaaaaaMT i 将 M 中的元素按从大到小排列,则第 2021 个数是 ( ) A. 432 10 8 10 7 10 9 10 7  B. 432 10 9 10 7 10 9 10 7  C. 432 10 3 10 7 10 5 10 5  D. 432 10 2 10 7 10 5 10 5  二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 11.在 5)2 yx ( 的展开式中,所有项系数的绝对值的和为 , 32 yx 的系数是 . 12. 已知函数 xxxf cossin2)(  ,则 )(xf 的最小正周期 , )(xf 的值域 . 13. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ,表面积为 . 14. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 的坐标为  2,1- ,且 0 ONOM ,动点 P 与 NM , 连线的斜 率之积为 2 1- ,则动点 P 的轨迹方程为 , PMN 面积的取值范围是 . 15. 如图,给三棱柱 DEFABC  的顶点染色,定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点, 规定相邻顶 点不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的染色方法有 . 16. 已知△ABC 的外心为 O , BACOACBOBCAO  43 ,则 Bcos 的取值范围 是 . 17.定义      bab baaba , , ,若 0, yx ,则              2 2 2 2 16 164 y xyx x yxy 的最小值 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知函数 .3cos3)32sin()23cos()( 2 xxxxf   (Ⅰ)若      ,2x ,求 )(xf 的递增区间和值域; (Ⅱ)若 2 3 5 4)( 0 xf ,求 )( 03 2sin x 4 19. 已知三棱锥 BCDA , ABD 和 BCD 是边长为 2 的等边三角形,平面 DAB  平面 BCD (Ⅰ)求证: BDAC  (Ⅱ)设G 为 DB 中点,H 为 ACD 内的动点(含边界),且GH ∥ CAB平面 , 求直线GH 与平面 ACD 所成角的正弦值的取值范围. 20. 数列 na 满足 12)1(1  naa n n n , *Nn 且 aa 1 ( a 为常数) (Ⅰ)(i)当 n 为偶数时,求 nn aa 4 的值, (ii) 求 na 的通项公式 (Ⅱ)设 nS 是数列 na 的和,求证: 4 1111 484  nSSS  21. 已知抛物线 xyC 2: 2  ,   )( 0 0,2- , )0,2( 22 aaNaM ,过点 M 垂 直 于 x 轴 的 垂 线 与 抛 物 线 C 交 于 B,C , 点 D , E 满 足 )10 ,   (NBNDCNCE (Ⅰ)求证:直线 DE 与抛物线有且仅有一个公共点; (Ⅱ)设直线 DE 与此抛物线的公共点 Q ,记 BCQ 与 DEN 的面 积分别为 21 SS , ,求 2 1 S S 的值. 22. 已知函数 2)1(ln)(  xxaxf )0,0  xa( (Ⅰ)求函数 )(xf 的单调区间; (Ⅱ)对于任意   ,1x 均有 0)( 2  a xxf 恒成立,求 a 的取值范围. 1 杭高 2020 学年第一学期期中考试答案 一、选择题: 1-5 CDABB 6-10 BDBBB 二、填空题: 11 . 243 40 12.   2,1- 13. ,3 11 3924  14. )1(19 2 9 22  xyx ,       2 290, 15 . 264 16.       13 2 , 17. 4 9 三、解答题: 18 . 2 3)33 2sin()(  xxf (1)     4,2  ,        2 310, (2) 10 334  19 .(1)证明:取 BD 中点G ,连接 CGAG, .  ABD 和 BCD 是等边三角形,        GCGAG BDCG BDAG BDAC ACGAC ACGBD       面 面 (2) 解法一:取 AD 中点 E , CD 中点 F ,连接 EFGFGE ,, ,则 ABCGEF 面面 // ,所 以 H 在线段 EF 上运动,       5 62,5 15sin . 解法二:以G 为原点,以 GC 所在直线为 x 轴,以 GD 所所在直线为 y 轴建立空间直角坐 标系.则 (0,0,0)G , (0, 1,0)B  , (1,0,0)C , (0,1,0)D , (0,0, 3)A 取 AD 中点 E ,CD 中点 F ,连接 GE , GF , EF ,则 EFG平面 ∥ CAB平面 ,所以 H 在线段 EF 上运动,设 (0 1)EH EF     ,         2 3 2 3,2 1,2 3GH , 平面的一个法向量  1,3,1n ,         5 62,5 15 12 3 2 35 3sin 2   nGH nGH 20 .(1)(i)当 n 为偶数时, 12,12 121   naanaa nnnn , 2 两式相加有 naa nn 42  ① 8424   naa nn ② ②-① 84  nn aa (ii)当 n 为奇数时 212,12 2121   nnnnnn aanaanaa 又 aaaaaaaa  7,2,1, 4321 于是有              )4( 12 )14( 2 )24( 32 34 knan kna knan kna an (2) 6164142434   naaaa nnnn nnS n 28 2 4        12 1 12 1 4 1 )14(2 1 )4(2 11 22 4 nnnnnS n 4 1)12 114 1111 484  nSSS n ( 21. (1)易知 )2,2(),2,2( 22 aaCaaB  ,设 ),( yxD 由 NBND  可得 )2,4()2,2( 222 aaayax   ,故有 )2,)24(( 2 aaD   . 同理 ))1(2,)4-2(( 2  aaE 。 于是直线 DE 的方程是 ))24(()24( 12 2axaay   即 22 )288()24( aayx   ①与抛物线方程联立,得到 0))12(2( 2  ay ,此 方程有两个相等的根: )12(2  ay 代入①,得 22 )12(2  ax 。 故直线 DE 与抛物线有且仅有一个公共点 ))12(2,)12(2( 22   aaQ (2) )(16||2 1 23 1    ahBCSS BCQ 设直线 DE 与 x 轴交于 )0),(8( 22  aG , 于是 )(82)(82 1||||2 1 2322 2    aaayyNGSS EDDEN 故有 2 2 1  S S . 3 22. (1) x axxxx axf  22)1(2)( 2 时0a , )(xf 的单调增区间是  ,0 ; 时0a , )(xf 的单调减区间是        2 2110 a, ,单调增区间是        , 2 211 a . (3) 由 01)1(  af 可得 4 10  a . 当 4 10  a 时, 0)( 2  a xxf 恒成立,等价于 0ln)1( 2 2 2  xa x a x 令 41  tat ,则 ,设 xtxtxtg ln)1()( 222  ,对称轴 2)11(2 1 2 )1( 2 2 2  xx xt 故有   xxxgtg ln)1(4164)( 22  . 记 xxxxh ln)1(416)( 22  , 0182418241)1(832)(  xxxxxxh , 所以 )(xh 在 ,1 单调递增,且 0)1( h .故有 0)( xh ,于是 0)( tg 恒成立. 由此 4 10  a