浙江省杭州高级中学2021届高三11月期中数学试卷（PDF版版含答案） 7页

1 杭高 2020 学年第一学期期中考试高三 （数学）试题卷 命题：高三数学备课组 审题： 吴连成 王希年 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规 定的地方。 3. 答题时，请按答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在 本试题卷上答题一律无效。 4. 考试结束后，只需上交答题卡。 参考公式： 若事件 A ， B 互斥，则 若事件 A ， B 相互独立，则 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示 台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 }|{)},23ln(|{ 2 axxNxxyxM  ，若 NM  ，则实数 a 的取值范 围是 ( ) A. ),3[  B. ),3(  C. ]1,(  D. )1,(  2. 复数 iaaaa )6()32( 22  为纯虚数的一个必要不充分条件是 ( ) A. 1a B. 3a C. 32  aa 或 D. 2-1  aa 或 3. 已知等差数列 na 的公差 d 为正数， 1 1a  ， )1()12 1 nnn atnaa （ ， t 为常数， 则 na  ( ) A. 12 n B. 34 n C. 45 n D. n 2 4. 下列不可能是函数 )( )()( Zeexxf xx    的图象的是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知 zyx ,, 都是正数，且 xyzzyx 1 ，则 ))(( zyyx  的最小值 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知 ,x y 满足不等式 0 0 2 2 4 x y x y t x y         ,且目标函数 9 6z x y  最大值的变化范围 20,22 ,则 t 的取值范围 ( ) A. 2,4 B. 4,6 C. 5,8 D.  6,7 7. 已知函数     3,0 , cossin3)( xxaxxf 的最小值为 a ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. 2,0 B.  2,2- C.  1- ， D.  3- ， 8. 将 3 个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子，以 表示其中 至少有一个球的盒子的最小号码（ 3 表示第 1 号，第 2 号盒子是空的，第 3 个盒子至少 1 个球），则 )12(),(  EE 分别等于 ( ) A. 8 25 16 25， B. 8 33 16 25， C. 32 3， D. 42 3， 9. 已知四棱锥 ABCDP  ，底面是边长为 2 的正方形， PAD 是以 AD 为斜 边的等腰直角三角形， PADAB 平面 ，点 E 是线段 PD 上的动点（不含端 点），若线段 AB 上存在点 F （不含端点），使得异面直线 PA 与 EF 成 030 的 角，则线段 PE 长的取值范围是 ( ) A.       2 20， B.       3 60， C.       22 2 ， D.       23 6 ， 3 10. 记集合      4,3,2,1,|10101010,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 4 4 3 3 2 21 iTaaaaaMT i 将 M 中的元素按从大到小排列，则第 2021 个数是 ( ) A. 432 10 8 10 7 10 9 10 7  B. 432 10 9 10 7 10 9 10 7  C. 432 10 3 10 7 10 5 10 5  D. 432 10 2 10 7 10 5 10 5  二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.在 5)2 yx （ 的展开式中，所有项系数的绝对值的和为 ， 32 yx 的系数是 . 12. 已知函数 xxxf cossin2)(  ，则 )(xf 的最小正周期 ， )(xf 的值域 . 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 . 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为  2,1- ，且 0 ONOM ，动点 P 与 NM , 连线的斜 率之积为 2 1- ，则动点 P 的轨迹方程为 ， PMN 面积的取值范围是 . 15. 如图，给三棱柱 DEFABC  的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点， 规定相邻顶 点不得使用同一种颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的染色方法有 . 16. 已知△ABC 的外心为 O ， BACOACBOBCAO  43 ，则 Bcos 的取值范围 是 . 17.定义      bab baaba , , ，若 0, yx ，则              2 2 2 2 16 164 y xyx x yxy 的最小值 . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知函数 .3cos3)32sin()23cos()( 2 xxxxf   （Ⅰ）若      ,2x ，求 )(xf 的递增区间和值域； （Ⅱ）若 2 3 5 4)( 0 xf ，求 ）（ 03 2sin x 4 19. 已知三棱锥 BCDA ， ABD 和 BCD 是边长为 2 的等边三角形，平面 DAB  平面 BCD （Ⅰ）求证： BDAC  （Ⅱ）设G 为 DB 中点，H 为 ACD 内的动点（含边界），且GH ∥ CAB平面 ， 求直线GH 与平面 ACD 所成角的正弦值的取值范围. 20. 数列 na 满足 12)1(1  naa n n n ， *Nn 且 aa 1 （ a 为常数） （Ⅰ）（i）当 n 为偶数时，求 nn aa 4 的值， (ii) 求 na 的通项公式 （Ⅱ）设 nS 是数列 na 的和，求证： 4 1111 484  nSSS  21. 已知抛物线 xyC 2: 2  ，   ）（ 0 0,2- , )0,2( 22 aaNaM ，过点 M 垂 直 于 x 轴 的 垂 线 与 抛 物 线 C 交 于 B,C ， 点 D ， E 满 足 )10 ,   （NBNDCNCE （Ⅰ）求证：直线 DE 与抛物线有且仅有一个公共点; （Ⅱ）设直线 DE 与此抛物线的公共点 Q ，记 BCQ 与 DEN 的面 积分别为 21 SS ， ,求 2 1 S S 的值. 22. 已知函数 2)1(ln)(  xxaxf )0,0  xa（ （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅱ）对于任意   ,1x 均有 0)( 2  a xxf 恒成立，求 a 的取值范围. 1 杭高 2020 学年第一学期期中考试答案 一、选择题： 1-5 CDABB 6-10 BDBBB 二、填空题： 11 . 243 40 12.   2,1- 13. ,3 11 3924  14. )1(19 2 9 22  xyx ,       2 290， 15 . 264 16.       13 2 ， 17. 4 9 三、解答题： 18 . 2 3)33 2sin()(  xxf （1）     4,2  ，        2 310， （2） 10 334  19 .(1)证明：取 BD 中点G ，连接 CGAG, .  ABD 和 BCD 是等边三角形,        GCGAG BDCG BDAG BDAC ACGAC ACGBD       面 面 (2) 解法一：取 AD 中点 E ， CD 中点 F ，连接 EFGFGE ,, ，则 ABCGEF 面面 // ，所 以 H 在线段 EF 上运动,       5 62,5 15sin . 解法二：以G 为原点，以 GC 所在直线为 x 轴，以 GD 所所在直线为 y 轴建立空间直角坐 标系.则 (0,0,0)G ， (0, 1,0)B  ， (1,0,0)C ， (0,1,0)D ， (0,0, 3)A 取 AD 中点 E ，CD 中点 F ，连接 GE ， GF ， EF ，则 EFG平面 ∥ CAB平面 ，所以 H 在线段 EF 上运动，设 (0 1)EH EF     ，         2 3 2 3,2 1,2 3GH , 平面的一个法向量  1,3,1n ,         5 62,5 15 12 3 2 35 3sin 2   nGH nGH 20 .（1）（i）当 n 为偶数时, 12,12 121   naanaa nnnn , 2 两式相加有 naa nn 42  ① 8424   naa nn ② ②-① 84  nn aa （ii）当 n 为奇数时 212,12 2121   nnnnnn aanaanaa 又 aaaaaaaa  7,2,1, 4321 于是有              )4( 12 )14( 2 )24( 32 34 knan kna knan kna an （2） 6164142434   naaaa nnnn nnS n 28 2 4        12 1 12 1 4 1 )14(2 1 )4(2 11 22 4 nnnnnS n 4 1)12 114 1111 484  nSSS n （ 21. （1）易知 )2,2(),2,2( 22 aaCaaB  ，设 ),( yxD 由 NBND  可得 )2,4()2,2( 222 aaayax   ，故有 )2,)24(( 2 aaD   . 同理 ))1(2,)4-2(( 2  aaE 。 于是直线 DE 的方程是 ))24(()24( 12 2axaay   即 22 )288()24( aayx   ①与抛物线方程联立，得到 0))12(2( 2  ay ，此 方程有两个相等的根： )12(2  ay 代入①，得 22 )12(2  ax 。 故直线 DE 与抛物线有且仅有一个公共点 ))12(2,)12(2( 22   aaQ （2） )(16||2 1 23 1    ahBCSS BCQ 设直线 DE 与 x 轴交于 )0),(8( 22  aG ， 于是 )(82)(82 1||||2 1 2322 2    aaayyNGSS EDDEN 故有 2 2 1  S S . 3 22. (1) x axxxx axf  22)1(2)( 2 时0a , )(xf 的单调增区间是  ，0 ； 时0a , )(xf 的单调减区间是        2 2110 a， ，单调增区间是        ， 2 211 a . (3) 由 01)1(  af 可得 4 10  a . 当 4 10  a 时， 0)( 2  a xxf 恒成立,等价于 0ln)1( 2 2 2  xa x a x 令 41  tat ，则 ，设 xtxtxtg ln)1()( 222  ，对称轴 2)11(2 1 2 )1( 2 2 2  xx xt 故有   xxxgtg ln)1(4164)( 22  . 记 xxxxh ln)1(416)( 22  ， 0182418241)1(832)(  xxxxxxh , 所以 )(xh 在 ，1 单调递增，且 0)1( h .故有 0)( xh ，于是 0)( tg 恒成立. 由此 4 10  a