高考理科数学复习练习作业62 7页

题组层级快练(六十二)‎ ‎1．已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0，1)　　　　　　　　　 B．(0，5)‎ C．[1，5)∪(5，＋∞) D．[1，5)‎ 答案　C 解析　直线y＝kx＋1过定点(0，1)，只要(0，1)不在椭圆＋＝1外部即可．‎ 从而m≥1.又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1，5)∪(5，＋∞)．‎ ‎2．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36.∴4a＝36，a＝9.‎ 由已知＝5，即＝5.‎ 又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.‎ ‎3．(2017·长沙一中月考)已知点F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝60°，且|PF1|＝2|PF2|，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，由∠F1PF2＝60°，|PF1|＝2|PF2|，‎ 可得∠PF2F1＝90°，∴e＝＝＝ ‎＝＝，故选C.‎ ‎4．(2017·安徽安庆六校联考)已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　kAB＝－，kOP＝，由kAB·kOP＝－，得×(－)＝－.∴＝.‎ ‎∴e＝＝＝.‎ ‎5．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 答案　D 解析　设椭圆＋＝1上的点P(4cosθ，2sinθ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝.‎ ‎6．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1(a>0)的左焦点为F(－c，0)．若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)‎ A．3 B．5‎ C．2 D．4‎ 答案　C 解析　圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.‎ ‎7．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，若原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．‎ 答案　 解析　由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.‎ 则MN的中点P的坐标为(，)．∴kOP＝＝.‎ ‎8．(2013·福建)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ 答案　－1‎ 解析　由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，‎ 由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.‎ 故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a.即e＝＝－1.‎ ‎9．已知椭圆＋＝1(0b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)k＝±1‎ 解析　(1)∵a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝.椭圆C：＋＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由消y，‎ 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.‎ ‎∵直线y＝k(x－1)恒过椭圆内一点(1，0)，∴Δ>0恒成立．‎ 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2|＝＝＝.‎ 即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.‎ ‎12．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，‎ 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|.即＝|x2－x1|.‎ 则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎ ‎13．(2017·广东六校联盟二联)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．‎ ‎(1)若△AF1F2的周长为4＋6，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若|k|>，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)，所以120，即－b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)在(　　)‎ A．圆x2＋y2＝2内 B．圆x2＋y2＝2上 C．圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能 答案　A 解析　由已知得e＝＝，c＝，x1＋x2＝－，x1x2＝－，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．‎ ‎2．已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点是F1(0，－1)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求S△ABF2的取值范围．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)(0，]‎ 解析　(1)由条件可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有c＝1，e＝，∴b＝＝，‎ ‎∴所求椭圆的方程是＋＝1.‎ ‎(2)由条件设直线AB的方程为y＋1＝kx.‎ 将y＝kx－1代入椭圆方程，得(2k2＋3)x2－4kx－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16k2＋16(2k2＋3)＝48(k2＋1)>0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝.‎ S△ABF2＝|F1F2||x1－x2|＝|x1－x2|.‎ ‎(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋＝.‎ 令t＝k2＋1，则t≥1，设g(t)＝＝4t＋＋4.‎ ‎∵g′(t)＝4－＝，‎ 当t≥1时，g′(t)≥0，∴g(t)在[1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(t)≥g(1)＝9，∴0<≤＝，∴0