高考数学专题复习练习第七章 第六节 空间角 9页

第七章 第六节 空间角 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点　‎ 容易题(题号)‎ 中等题(题号)‎ 稍难题(题号)‎ ‎ 求异面直线的所成的角 ‎6‎ ‎7、10‎ 求直线与平面所成的角 ‎1、4、5‎ ‎3‎ 求平面和平面所成的角 ‎2‎ ‎8、9‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 (　　)‎ A．75°　　　　　　　　B．60°‎ C．45° D．30°‎ 解析：如图所示，∠PBO即为所求，‎ 又cos∠PBO＝＝＝，‎ ‎∴∠PBO＝45°.‎ 答案：C ‎2．若二面角α－l－β的大小为，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m所成角的取 值范围是 (　　)‎ A．(0，) B．[，]‎ C．[，] D．[，]‎ 解析：由二面角α－l－β的大小为，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为，于 是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为，而最大值为.‎ 答案：C ‎3．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：‎ ‎①AC⊥BD；②△ADC是正三角形；③AB与CD成60°角；④AB与平面BCD成60°‎ 角．‎ 则其中正确结论的个数是 (　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由BD⊥OC，BD⊥OA，得BD⊥平面AOC，故 BD⊥AC，①正确；cosADC＝cos45°·cos45°＝，∠ADC＝‎ ‎60°，AD＝DC，△ADC是正三角形，②正确；AB与CD成 ‎60°角，③正确；AB与平面BCD成角∠ABO＝45°，④错误．‎ 答案：C ‎4．如图，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝‎ ‎1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：连结A‎1C1，交B1D1于O，依题意得，‎ A‎1C1⊥B1D1，BB1⊥A‎1C1，‎ 又B1D1∩BB1＝B1，‎ ‎∴A‎1C1⊥平面BB1D1D.‎ 连结BO，则∠C1BO为所求角，‎ 又OC1＝，BC1＝，‎ ‎∴sin∠C1BO＝＝＝，选D.‎ 答案：D ‎5．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD ‎＝120°，则AD与平面BCD所成的角的大小为 (　　)‎ A．30°　　　　　　　　　B．45°‎ C．60° D．75°‎ 解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O，连结OD，则OD即为AD在平面BCD上 的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．‎ ‎∵AO＝OD＝a，∴∠ADO＝45°.‎ 答案：B ‎6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD 所成的角的余弦值为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：如右图连结AC、BD交点为O，连结EO，则OE∥SD.设 正四棱锥侧棱长与底面边长为a则在△AOE中 AO＝a，OE＝a，AE＝a，‎ ‎∴cos∠AEO＝＝.‎ 即AE与SD所成的角的余弦值为.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为BC中点，则直线D‎1M 与平面ABCD所成角的正切值为________，异面直线CD与D‎1M 所成角的余弦值为________．‎ 解析：设正方体的棱长为a，连结DM，则DM为直线D‎1M在平面ABCD内的射影，‎ ‎∴∠D1MD为直线D‎1M与平面ABCD所成的角，‎ ‎∵D1D＝a，DM＝a，∴tan∠D1MD＝.‎ ‎∵CD∥C1D1，∴异面直线CD与D‎1M所成的角为∠C1D‎1M，连结C‎1M，‎ ‎∵C1D1＝a，D‎1M＝a，∴cos∠C1D‎1M＝，‎ ‎∴异面直线CD与D‎1M所成角的余弦值为.‎ 答案：　 ‎8．如图所示的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，过顶点B、D、C1‎ 作截面，则二面角B－DC1－C的余弦值为________．‎ 解析：取C1D的中点O，连结BO、CO，则BO⊥C1D，‎ CO⊥C1D，‎ ‎∴∠BOC是二面角B－DC1－C的平面角．‎ 设正方体的棱长为1，则CO＝，‎ ‎∵△BDC1为正三角形，‎ ‎∴OB＝，且BC＝1，‎ ‎∴cos∠BOC＝ ‎＝.‎ 答案： ‎9．已知∠AOB＝90°，过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、‎ ‎60°角，则以OC为棱的二面角A－OC－B的余弦值等于________．‎ 解析：在OC上取一点D，使OD＝1，过D分别作DE⊥OC交OA于E，DF⊥OC交OB于F，∠EDF即为二面角A－OC－B的平面角．又DE＝1，OE＝，DF＝，OF＝2，Rt△EOF中，EF2＝6，∴在△DEF中，由余弦定理得cosEDF＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎10．矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD⊥‎ 平面ABEF，如图所示，FD＝2，AD＝1，EF＝.‎ ‎(1)证明AE⊥平面FCB；‎ ‎(2)求异面直线BD与AE所成角的余弦值．‎ 解：证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且四边形ABCD与ABEF是矩形，‎ ‎∴AD⊥平面ABEF.‎ ‎∴AD⊥AE.‎ ‎∵BC∥AD，∴BC⊥AE.‎ 又FD＝2，AD＝1，‎ ‎∴AF＝EF＝.‎ ‎∴四边形ABEF为正方形．‎ ‎∴AE⊥FB.‎ 又BF∩BC＝B，BF⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ ‎∴AE⊥平面BCF.‎ ‎(2)设BF∩AE＝O，取FD的中点H，连结OH，AH，在△FDB中，OH∥BD，‎ ‎∴∠HOA即为异面直线BD与AE所成的角(或补角)．‎ 在△AOH中，OH＝1，AH＝，AO＝，‎ ‎∴cos∠HOA＝.‎ ‎∴异面直线BD与AE所成的角的余弦值为.‎ ‎11．如图，在正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝，AB＝1，E是 DD1的中点．‎ ‎(1)求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；‎ ‎(2)求证：B1D⊥AE；‎ ‎(3)求二面角C－AE－D的大小．‎ 解：(1)连结A1D.‎ ‎∵ABCD－A1B‎1C1D1是正四棱柱，‎ ‎∴A1B1⊥平面A1ADD1，‎ ‎∴A1D是B1D在平面A1ADD1内的射影，‎ ‎∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角．‎ 在Rt△B‎1A1D中，tan∠A1DB1＝＝，‎ ‎∴∠A1DB1＝30°，‎ 即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°.‎ ‎(2)在Rt△A1AD和Rt△ADE中，‎ ‎∵＝＝，∴△A1AD∽△ADE，‎ ‎∴∠A1DA＝∠AED，‎ ‎∴∠A1DA＋∠EAD＝∠AED＋∠EAD＝90°，‎ ‎∴A1D⊥AE.‎ 由(1)知，A1D是B1D在平面A1ADD1内的射影，‎ 根据三垂线定理得，B1D⊥AE.‎ ‎(3)设A1D∩AE＝F，连结CF.‎ ‎∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，‎ 根据三垂线定理得，AE⊥CF，‎ ‎∴∠DFC是二面角C－AE－D的平面角．‎ 在Rt△ADE中，由AD·DE＝AE·DF⇒DF＝＝.‎ 在Rt△FDC中，tan∠DFC＝＝，‎ ‎∴∠DFC＝60°，‎ 即二面角C－AE－D的大小是60°.‎ ‎12．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA ‎＝SB＝.‎ ‎(1)证明：SA⊥BC；‎ ‎(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．‎ 解：(1)证明：如右图，作SO⊥BC，垂足为O，连结AO.‎ 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.‎ 因为SA＝SB，所以AO＝BO.‎ 又∠ABC＝45°，‎ 故△AOB为等腰直角三角形，且AO⊥BO.‎ 由三垂线定理，得SA⊥BC.‎ ‎(2)由(1)知SA⊥BC，‎ 依题设AD∥BC，故SA⊥AD，‎ 由AD＝BC＝2，SA＝，AO＝，‎ 得SO＝1，SD＝.‎ ‎△SAB的面积 S1＝AB·＝.‎ 连结DB，得△ABD的面积 S2＝AB·AD·sin135°＝2.‎ 设D到平面SAB的距离为h，‎ 由VD－SAB＝VS－ABD，‎ 得h·S1＝SO·S2，‎ 解得h＝.‎ 设SD与平面SAB所成角为α，‎ 则sinα＝＝＝.‎ 所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.‎