高考数学专题复习练习：考点规范练33 6页

考点规范练33　基本不等式及其应用 ‎　考点规范练A册第24页　 ‎ 基础巩固 ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎>lg x(x>0)‎ B.sin x+‎1‎sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.‎1‎x‎2‎‎+1‎>1(x∈R)‎ 答案C 解析因为x>0,所以x2+‎1‎‎4‎≥2·x·‎1‎‎2‎=x,‎ 所以lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎≥lg x(x>0),故选项A不正确;‎ 当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;‎ 由基本不等式可知选项C正确;‎ 当x=0时,有‎1‎x‎2‎‎+1‎=1,故选项D不正确.‎ ‎2.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎ab‎≤‎‎1‎‎4‎ B.‎1‎a‎+‎‎1‎b≤1‎ C.ab≥2 D.a2+b2≥8‎ 答案D 解析因为a>0,b>0,所以4=a+b≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),即ab≤2,ab≤4,‎1‎ab‎≥‎‎1‎‎4‎,选项A,C不成立;‎1‎a‎+‎1‎b=a+bab=‎‎4‎ab≥1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.‎ ‎3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+‎1‎a,n=a+‎1‎b,则m+n的最小值是(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案B 解析由题意知ab=1,则m=b+‎1‎a=2b,n=a+‎1‎b=2a,‎ 故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).‎ ‎4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a‎‎2ab‎2b=a,‎ ‎∴‎2‎a+b‎<‎‎1‎ab,即‎2aba+b‎<‎ab,‎ ‎∴a0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.‎ ‎6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　)‎ A.80元 B.120元 C.160元 D.240元〚导学号74920287〛‎ 答案C 解析设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.‎ ‎7.若两个正实数x,y满足‎2‎x‎+‎‎1‎y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)‎ C.(-2,4) D.(-4,2)〚导学号74920288〛‎ 答案D 解析因为x>0,y>0,‎2‎x‎+‎‎1‎y=1,‎ 所以x+2y=(x+2y)‎2‎x‎+‎‎1‎y=2+‎4yx‎+‎xy+2≥8,‎ 当且仅当‎4yx‎=‎xy,即x=2y时等号成立.‎ 由x+2y>m2+2m恒成立,‎ 可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=2‎3‎,则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最大值为(　　)‎ A.2 B.‎3‎‎2‎ C.1 D.‎1‎‎2‎〚导学号74920289〛‎ 答案C 解析由ax=by=3,‎1‎x‎+‎1‎y=‎1‎loga3‎+‎1‎logb3‎=lga+lgblg3‎=‎lg(ab)‎lg3‎.‎ 又a>1,b>1,所以ab≤a+b‎2‎‎2‎=3,‎ 所以lg(ab)≤lg 3,从而‎1‎x‎+‎1‎y≤‎lg3‎lg3‎=1,当且仅当a=b=‎3‎时等号成立.‎ ‎9.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. ‎ 答案‎2‎‎6‎‎3‎ 解析∵x>1,∴logx9+log27x=‎2lg3‎lgx‎+‎lgx‎3lg3‎≥2‎2‎‎3‎‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎,当且仅当x=‎3‎‎6‎时等号成立.‎ ‎∴logx9+log27x的最小值为‎2‎‎6‎‎3‎.‎ ‎10.(2016山东滨州二模)已知正实数m,n满足m+n=1,当‎1‎m‎+‎‎16‎n取得最小值时,曲线y=xα过点Pm‎5‎‎,‎n‎4‎,则α的值为　　　　　.〚导学号74920290〛 ‎ 答案‎1‎‎2‎ 解析∵正实数m,n满足m+n=1,‎ ‎∴‎1‎m‎+‎‎16‎n=(m+n)‎‎1‎m‎+‎‎16‎n ‎=17+nm‎+‎‎16mn≥17+2nm‎·‎‎16mn=25,‎ 当且仅当n=4m=‎4‎‎5‎时,‎1‎m‎+‎‎16‎n取得最小值25.‎ ‎∵曲线y=xα过点Pm‎5‎‎,‎n‎4‎,即P‎1‎‎25‎‎,‎‎1‎‎5‎,‎ ‎∴可得‎1‎‎5‎‎=‎‎1‎‎25‎α,解得α=‎1‎‎2‎.‎ ‎11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q‎2‎%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　.〚导学号74920291〛 ‎ 答案乙 解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a‎1+p+q‎2‎%‎‎2‎.‎ 由于(1+p%)(1+q%)<‎‎(1+p%)+(1+q%)‎‎2‎‎2‎ ‎=‎1+p+q‎2‎%‎‎2‎,‎ 故提价多的是方案乙.‎ ‎12.设a,b均为正实数,求证:‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎+ab≥2‎2‎.‎ 证明因为a,b均为正实数,‎ 所以‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎≥2‎1‎a‎2‎‎·‎‎1‎b‎2‎‎=‎‎2‎ab,‎ 当且仅当‎1‎a‎2‎‎=‎‎1‎b‎2‎,即a=b时,等号成立,‎ 又因为‎2‎ab+ab≥2‎2‎ab‎·ab=2‎2‎,‎ 当且仅当‎2‎ab=ab时,等号成立,‎ 所以‎1‎a‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎+ab≥‎2‎ab+ab≥2‎2‎,‎ 当且仅当‎1‎a‎2‎‎=‎1‎b‎2‎,‎‎2‎ab‎=ab,‎即a=b=‎4‎‎2‎时,等号成立.‎ 能力提升 ‎13.(2016江西师大附中期末)不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.a≤2‎2‎ B.a≥2‎2‎ C.a≤‎11‎‎3‎ D.a≤‎9‎‎2‎〚导学号74920292〛‎ 答案A 解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,‎ 所以2xy‎2‎-axy+1≥0.‎ 令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0.‎ 由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈‎1‎‎3‎‎,2‎,‎ 即2t2-at+1≥0在t∈‎1‎‎3‎‎,2‎时恒成立.‎ 由2t2-at+1≥0可得a≤‎2t‎2‎+1‎t,即a≤2t+‎1‎t.‎ 又2t+‎1‎t≥2‎2t·‎‎1‎t=2‎2‎.‎ 当且仅当2t=‎1‎t,即t=‎2‎‎2‎时等号成立,所以2t+‎1‎t取得最小值2‎2‎,所以有a≤2‎2‎,故选A.‎ ‎14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a‎2‎x对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4〚导学号74920293〛‎ 答案D 解析令f(y)=|y+4|-|y|,‎ 则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.‎ ‎∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a‎2‎x对任意实数x,y都成立,‎ ‎∴2x+a‎2‎x≥f(y)max=4,‎ ‎∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;‎ 令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,‎ ‎∴实数a的最小值为4.‎ ‎15.(2016山东临沂一模)已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,则‎4‎x+3y‎+‎‎1‎x-y的最小值是　　　　　.〚导学号74920294〛 ‎ 答案‎9‎‎2‎ 解析∵x>y>0,x+y=1,‎ ‎∴‎‎4‎x+3y‎+‎1‎x-y=‎2(x+3y+x-y)‎x+3y+‎x+3y+x-y‎2(x-y)‎ ‎=2+2‎x-yx+3y‎+‎1‎‎2‎+‎x+3y‎2(x-y)‎ ‎=2x-yx+3y‎+x+3y‎2(x-y)‎+‎‎5‎‎2‎≥2+‎5‎‎2‎‎=‎‎9‎‎2‎,‎ 当且仅当2x-yx+3y=x+3y‎2(x-y)‎,即x=‎5‎‎6‎,y=‎1‎‎6‎时等号成立‎.‎ ‎16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=‎1‎‎3‎x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+‎10 000‎x-1 450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.‎ ‎(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;‎ ‎(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?‎ 解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,‎ 依题意得:当0