高二数学人教选修1-2同步练习：第2章推理与证明章末检测word版含解析 6页

章末检测 一、选择题 1． 由 1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到 1＋3＋…＋(2n－1)＝n2 用的 是 ( ) A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．特殊推理 2． 在△ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前提为( ) A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF 为中位线 D．EF∥BC 3． 用反证法证明命题“ 2＋ 3是无理数”时，假设正确的是 ( ) A．假设 2是有理数 B．假设 3是有理数 C．假设 2或 3是有理数 D．假设 2＋ 3是有理数 4． 已知 f(x＋1)＝ 2fx fx＋2 ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想 f(x)的表达式为 ( ) A. 4 2x＋2 B. 2 x＋1 C. 1 x＋1 D. 2 2x＋1 5． 已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．根据“三段论” 推理出一个结论，则这个结论是 ( ) A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等 C．正方形是矩形 D．其他 6． 对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b 与 b＝c 及 a＝c 中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为 ( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 7． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状 完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有 ( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 8． 数列{an}满足 a1＝1 2 ，an＋1＝1－ 1 an ，则 a2 013 等于 ( ) A.1 2 B．－1 C．2 D．3 9． 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x＋4)，且 f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知 x1 ＋x2<4 且(x1－2)·(x2－2)<0，则 f(x1)＋f(x2)的值 ( ) A．恒小于 0 B．恒大于 0 C．可能等于 0 D．可正也可负 二、填空题 10．从 1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52 中，可得到一般规律为_________． 11．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第 n 个图有 an 个“树枝”，则 an ＋1 与 an(n≥2)之间的关系是______． 12．在平面几何中，△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC ，把这个结论 类比到空间：在三棱锥 A—BCD 中(如图所示)，面 DEC 平分二面角 A—CD—B 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是________． 三、解答题 13．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立： (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行． 14．1，3，2 能否为同一等差数列中的三项？说明理由． 15．设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)． 16．设 a，b，c 为一个三角形的三边，s＝1 2(a＋b＋c)，且 s2＝2ab，试证：s<2a. 17．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＝2－Sn(n∈N*)． (1)求 a1，a2，a3，a4 的值并写出其通项公式； (2)用三段论证明数列{an}是等比数列． 18．已知△ABC 的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1 a ，1 b ，1 c 成等差数列． (1)比较 b a 与 c b 的大小，并证明你的结论； (2)求证：角 B 不可能是钝角． 答案 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A 10．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 11．an＋1＝2an＋1(n≥1) 12.AE EB ＝S△ACD S△BCD ]13．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交， 则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a， 则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β， 又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾， ∴必有γ∩β＝b. (2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错 误的，这两个平面也可能相交． 14．解 假设 1，3，2 能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为 d， 则 1＝ 3－md,2＝ 3＋nd， m，n 为两个正整数，消去 d 得 m＝( 3＋1)n. ∵m 为有理数，( 3＋1)n 为无理数， ∴m≠( 3＋1)n. ∴假设不成立． 即 1，3，2 不可能为同一等差数列中的三项． 15．证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 2 2 a＋b 2， 即证 a2＋b2≥1 2(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)成立． 综上所述，对任意实数 a，b 不等式都成立． 16．证明 要证 s<2a，由于 s2＝2ab， 所以只需证 s0，∴只需证 b2ac－b2 2ac >0， 这与 cos B<0 矛盾，故假设不成立． 所以角 B 不可能是钝角． 方法二 若角 B 是钝角，则角 B 的对边 b 为最大边， 即 b>a，b>c， 所以1 a>1 b>0，1 c>1 b>0， 则1 a ＋1 c>1 b ＋1 b ＝2 b ， 这与1 a ＋1 c ＝2 b 矛盾，故假设不成立． 所以角 B 不可能是钝角．