高考文科数学复习备课课件：第九节　圆锥曲线的综合问题 25页

文数 课标版 第九节　圆锥曲线的综合问题 考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题 典例1　 已知点 A (0,-2),椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的离心率为   , F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为   , O 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点.当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的 方程. 考点突破 解析 　(1)设 F ( c ,0),由条件知,   =   ,得 c =   . 又   =   ,所以 a =2, b 2 = a 2 - c 2 =1. 故 E 的方程为   + y 2 =1. (2)当 l ⊥ x 轴时不合题意,故设 l : y = kx -2( k ≠ 0), P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ). 将 y = kx -2代入   + y 2 =1得(1+4 k 2 ) x 2 -16 kx +12=0. 由题意知 Δ =16(4 k 2 -3)>0, 解得 k 2 >   . x 1,2 =   . 从而| PQ |=   | x 1 - x 2 |=   . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d =   , 所以 S △ OPQ =   d ·| PQ |=   . 设   = t ,则 t >0, S △ OPQ =   =   . 因为 t +   ≥ 4,当且仅当 t =2,即 k = ±   时等号成立,且满足 Δ >0, 所以,当△ OPQ 的面积最大时, l 的方程为 y =   x -2或 y =-   x -2. 方法技巧 圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有 两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何 量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解. 1-1　 已知 A , B , C 是椭圆 M :   +   =1( a > b >0)上的三点,其中点 A 的坐标为 (2   ,0), BC 过椭圆的中心,且   ·   =0,|   |=2|   |. (1)求椭圆 M 的方程; (2)过点(0, t )的直线 l (斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点,且|   |=|   |,求实数 t 的取值范围. 解析 　(1)因为|   |=2|   |且 BC 过(0,0), 则| OC |=| AC |. 因为   ·   =0,所以∠ OCA =90 ° ,所以 C (   ,   ). 由题意知 a =2   ,所以设椭圆 M 的方程为   +   =1. 将 C 点坐标代入得   +   =1, 解得 b 2 =4,所以椭圆 M 的方程为   +   =1. (2)由条件及(1)知 D (0,-2), 当 k =0时,显然-2< t <2; 当 k ≠ 0时,设 l : y = kx + t , 由   消去 y 得 (1+3 k 2 ) x 2 +6 ktx +3 t 2 -12=0,由 Δ >0可得 t 2 <4+12 k 2 ,   ① 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PQ 中点 H ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 =   =   , y 0 = kx 0 + t =   , 所以 H   , 由于|   |=|   |, 所以 DH ⊥ PQ ,则 k DH =-   , 即   =-   , 化简得 t =1+3 k 2 ,   ② 所以 t >1,将②代入①得, t 2 <4 t ,故1< t <4. 所以 t 的范围是(1,4). 综上可得 t ∈(-2,4). 考点二　圆锥曲线中的定点、定值问题 典例2     (2016北京,19,14分)已知椭圆 C :   +   =1过 A (2,0), B (0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N .求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 解析 　(1)由题意得, a =2, b =1. 所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. 又 c =   =   , 所以离心率 e =   =   . (2)证明:设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 <0, y 0 <0), 则   +4   =4. 又 A (2,0), B (0,1), 所以,直线 PA 的方程为 y =   ( x -2). 令 x =0,得 y M =-   , 从而| BM |=1- y M =1+   . 直线 PB 的方程为 y =   x +1. 令 y =0,得 x N =-   , 从而| AN |=2- x N =2+   . 所以四边形 ABNM 的面积 S =   | AN |·| BM | =       =   =   =2. 从而四边形 ABNM 的面积为定值. 方法技巧 1.定点问题的常见解法 (1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分 析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标 (该坐标对应的点即为所求定点). (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意. 2.求定值问题常见的方法 (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2-1 　已知椭圆 C :   + y 2 =1( a >1)的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 AF 与圆 M : ( x -3) 2 +( y -1) 2 =3相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P , Q 两点,且   ·   =0,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 解析 　(1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r =   . 由题意知 A (0,1), F ( c ,0), 则直线 AF 的方程为   + y =1,即 x + cy - c =0, 由直线 AF 与圆 M 相切,得   =   , 解得 c 2 =2,所以 a 2 = c 2 +1=3, 故椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)解法一:由   ·   =0,知 AP ⊥ AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,由 A (0, 1)可设直线 AP 的方程为 y = kx +1( k ≠ 0),则直线 AQ 的方程为 y =-   x +1( k ≠ 0). 将 y = kx +1代入椭圆 C 的方程   + y 2 =1中, 整理,得(1+3 k 2 ) x 2 +6 kx =0, 解得 x =0或 x =-   , ∴ P   , 即 P   , 将上式中的 k 换成-   ,得 Q   . ∴直线 l 的方程为 y =     +   , 化简得直线 l 的方程为 y =   x -   , 因此直线 l 过定点   . 解法二:由   ·   =0知 AP ⊥ AQ ,从而直线 PQ 与 x 轴不垂直,故可设直线 l 的方程为 y = kx + t ( t ≠ 1), 将其与椭圆方程联立得   消去 y ,整理得(1+3 k 2 ) x 2 +6 ktx +3( t 2 -1)=0. 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ),则   (*) 由   ·   =0,得   ·   =( x 1 , y 1 -1)·( x 2 , y 2 -1)=(1+ k 2 ) x 1 x 2 + k ( t -1)·( x 1 + x 2 )+( t -1) 2 = 0, 将(*)代入,得 t =-   . ∴直线 l 过定点   . 考点三　圆锥曲线中的探索性问题 典例3     (2015四川,20,13分)如图,椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的离心率是   ,点 P (0,1)在短轴 CD 上,且   ·   =-1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A , B 两点.是否存在常数 λ , 使得   ·   + λ   ·   为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.   解析 　(1)由已知,得点 C , D 的坐标分别为(0,- b ),(0, b ). 又点 P 的坐标为(0,1),且   ·   =-1, e =   , 于是   解得 a =2, b =   . 所以椭圆 E 的方程为   +   =1. (2)存在.当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y = kx +1, A , B 的坐标 分别为( x 1 , y 1 ),( x 2 , y 2 ). 联立   得(2 k 2 +1) x 2 +4 kx -2=0. 其判别式 Δ =(4 k ) 2 +8(2 k 2 +1)>0, 所以, x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =-   . 从而,   ·   + λ   ·   = x 1 x 2 + y 1 y 2 + λ [ x 1 x 2 +( y 1 -1)( y 2 -1)] =(1+ λ )(1+ k 2 ) x 1 x 2 + k ( x 1 + x 2 )+1 =   =-   - λ -2. 所以,当 λ =1时,-   - λ -2=-3. 此时,   ·   + λ   ·   =-3为定值. 当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD . 此时,   ·   + λ   ·   =   ·   +   ·   =-2-1=-3. 故存在常数 λ =1,使得   ·   + λ   ·   为定值-3. 方法技巧 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的 元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方 程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法. 3-1 　在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0,   )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆   + y 2 =1有两个不同的交点 P 和 Q . (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A 、 B ,是否存在常数 k , 使得向量   +   与   共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理 由. 解析 　(1)由已知条件知,直线 l 的方程为 y = kx +   ,代入椭圆方程得   + ( kx +   ) 2 =1, 整理得   x 2 +2   kx +1=0.   ① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ =8 k 2 -4   =4 k 2 -2>0,解 得 k <-   或 k >   . 即 k 的取值范围为   ∪   . (2)不存在.理由如下: 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 则   +   =( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), 由方程①知, x 1 + x 2 =-   .   ② 由(1)知 y 1 + y 2 = k ( x 1 + x 2 )+2   =-   +2   .   ③ 由题意知 A (   ,0)、 B (0,1), 所以   =(-   ,1), 所以   +   与   共线等价于 x 1 + x 2 =-   ( y 1 + y 2 ), 将②③代入上式,解得 k =   . 由(1)知 k <-   或 k >   ,故不存在符合题意的常数 k ,使得   +   与   共 线.