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  • 2021-06-15 发布

高科数学专题复习课件:第一章 1_1集合及其运算基础知识

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§1.1   集合 及其运算 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. 集合与元素 (1) 集合中元素的三个特征 : 、 、 . (2) 元素与集合的关系 是 或 两种 ,用 符号 或 表示 . (3) 集合的表示法 : 、 、 . (4) 常见数集的记法 知识梳理 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _________ 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 N N * ( 或 N + ) Z Q R 2. 集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 ( 即若 x ∈ A ,则 x ∈ B ) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 集合相等 集合 A , B 中的元素相同或集合 A , B 互为子集 A ⊆ B ( 或 B ⊇ A ) A  B ( 或 B  A ) A = B 3. 集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B } 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B } 补集 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 ∁ U A = { x | x ∈ U 且 x ∉ A } 1. 若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数 为 , 真子集的个数 为 . 2. A ⊆ B ⇔ A ∩ B = ⇔ A ∪ B = . 3. A ∩ ∁ U A = ; A ∪ ∁ U A = ; ∁ U ( ∁ U A ) = . 知识 拓展 2 n 2 n - 1 A B ∅ U A 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 任何一个集合都至少有两个子集 .(    ) (2){ x | y = x 2 + 1} = { y | y = x 2 + 1} = {( x , y )| y = x 2 + 1}.(    ) (3) 若 { x 2 ,1 } = {0,1} ,则 x = 0,1.(    ) (4){ x | x ≤ 1} = { t | t ≤ 1}.(    ) (5) 对于任意两个集合 A , B ,关系 ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) 恒成立 .(    ) (6) 若 A ∩ B = A ∩ C ,则 B = C .(    ) × × × √ √ × 思考辨析 考点自测 A.{ a } ⊆ A B. a ⊆ A C.{ a } ∈ A D. a ∉ A 答案 解析 A. [1,3] B . [1,5] C . [3,5] D .[1 ,+ ∞ ) 根据题意,得 A = { x | x 2 - 6 x + 5 ≤ 0} = { x |1 ≤ x ≤ 5} , 所以 A ∩ B = { x |3 ≤ x ≤ 5} = [3,5]. 答案 解析 3. 已知集合 A = { x | x 2 - x - 2 ≤ 0} ,集合 B 为整数集,则 A ∩ B 等于 A.{ - 1,0,1,2} B .{ - 2 ,- 1,0,1} C.{0,1} D .{ - 1,0} 因为 A = { x | x 2 - x - 2 ≤ 0} = { x | - 1 ≤ x ≤ 2} , 又 因为集合 B 为整数集 , 所以 集合 A ∩ B = { - 1,0,1,2} ,故选 A. 答案 解析 4.(2016· 天津 ) 已知集合 A = {1,2,3,4} , B = { y | y = 3 x - 2 , x ∈ A } ,则 A ∩ B 等于 A.{1} B .{4} C.{1,3} D .{1,4} 因为 集合 B 中, x ∈ A , 所以 当 x = 1 时, y = 3 - 2 = 1 ; 当 x = 2 时, y = 3 × 2 - 2 = 4 ; 当 x = 3 时, y = 3 × 3 - 2 = 7 ; 当 x = 4 时, y = 3 × 4 - 2 = 10 ;即 B = {1,4,7,10}. 又因为 A = {1,2,3,4} ,所以 A ∩ B = {1,4}. 故选 D. 答案 解析 5.(2016· 云南名校联考 ) 集合 A = { x | x - 2<0} , B = { x | x < a } ,若 A ∩ B = A ,则实数 a 的取值范围是 ____________. 由 A ∩ B = A ,知 A ⊆ B , 从 数轴观察得 a ≥ 2 . [2 ,+ ∞ ) 答案 解析 题型分类 深度剖析 题型一 集合的含义 例 1   (1)(2016· 济南 调研 ) 设 P , Q 为两个非空实数集合,定义集合 P + Q = { a + b | a ∈ P , b ∈ Q } ,若 P = {0,2,5} , Q = {1,2,6} ,则 P + Q 中元素的个数 是 A.9 B.8 C.7 D.6 当 a = 0 时, a + b = 1,2,6 ; 当 a = 2 时, a + b = 3,4,8 ; 当 a = 5 时, a + b = 6,7,11. 由集合中元素的互异性知 P + Q 中有 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个元素 . 答案 解析 (2 ) 若 集合 A = { x ∈ R | ax 2 - 3 x + 2 = 0} 中只有一个元素,则 a = ______. 答案 解析 ( 1) 用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合 ; (2 ) 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意 . 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 . 思维 升华 跟踪训练 1   (1)(2016· 临沂模拟 ) 已知 A = { x | x = 3 k - 1 , k ∈ Z } ,则下列表示正确的 是 A. - 1 ∉ A B . - 11 ∈ A C.3 k 2 - 1 ∈ A ( k ∈ Z ) D . - 34 ∉ A ∵ k ∈ Z , ∴ k 2 ∈ Z , ∴ 3 k 2 - 1 ∈ A . 答案 解析 所以 a =- 1 , b = 1 ,所以 b - a = 2 . 2 答案 解析 题型二 集合的基本关系 例 2   (1)(2016· 唐山一模 ) 设 A , B 是全集 I = {1,2,3,4} 的子集, A = {1,2} ,则满足 A ⊆ B 的 B 的个数 是 A.5 B.4 C.3 D.2 ∵ {1,2} ⊆ B , I = {1,2,3,4} , ∴ 满足条件的集合 B 有 {1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4} ,共 4 个 . 答案 解析 (2) 已知集合 A = { x | x 2 - 2 017 x + 2 016<0} , B = { x | x < a } ,若 A ⊆ B ,则实数 a 的取值范围是 _______________. 由 x 2 - 2 017 x + 2 016<0 ,解得 1< x <2 016 , 故 A = { x |1< x <2 016} , 又 B = { x | x < a } , A ⊆ B ,如图所示, 可得 a ≥ 2 016. [2 016 ,+ ∞ ) 答案 解析 引申探究 本例 (2) 中,若将集合 B 改为 { x | x ≥ a } ,其他条件不变,则实数 a 的取值范围是 ____________. A = { x |1< x <2 016} , B = { x | x ≥ a } , A ⊆ B ,如图所示, 可得 a ≤ 1. ( - ∞ , 1] 答案 解析 (1) 空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解 . ( 2) 已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、 Venn 图等来直观解决这类问题 . 思维 升华 跟踪训练 2   (1) 已知集合 A = { x ∈ R | x 2 + x - 6 = 0} , B = { x ∈ R | ax - 1 = 0} ,若 B ⊆ A ,则实数 a 的值 为 答案 解析 由题意知 A = {2 ,- 3}. 当 a = 0 时, B = ∅ ,满足 B ⊆ A ; (2 ) 已知 集合 A = { x | - 2 ≤ x ≤ 7} , B = { x | m + 1< x <2 m - 1} ,若 B ⊆ A ,则实数 m 的取值范围是 ____________. 当 B = ∅ 时,有 m + 1 ≥ 2 m - 1 ,则 m ≤ 2 ; 当 B ≠ ∅ 时,若 B ⊆ A ,如图, 综上, m 的取值范围为 ( - ∞ , 4]. ( - ∞ , 4] 答案 解析 题型三 集合的基本运算 命题点 1  集合的运算 例 3   (1)(2016· 全国乙卷 ) 设集合 A = { x | x 2 - 4 x + 3<0} , B = { x |2 x - 3>0} ,则 A ∩ B 等于 由 A = { x | x 2 - 4 x + 3<0} = { x |1< x <3} , 答案 解析 (2)(2016· 浙江 ) 已知集合 P = { x ∈ R |1 ≤ x ≤ 3} , Q = { x ∈ R | x 2 ≥ 4} ,则 P ∪ ( ∁ R Q ) 等于 A. [2,3] B .( - 2,3] C. [1,2) D .( - ∞ ,- 2] ∪ [1 ,+ ∞ ) 由已知得 Q = { x | x ≥ 2 或 x ≤ - 2}. ∴ ∁ R Q = ( - 2,2 ). 又 P = [1,3] , ∴ P ∪ ∁ R Q = [1,3] ∪ ( - 2,2) = ( - 2,3]. 答案 解析 命题点 2  利用集合的运算求参数 例 4   (1) 设集合 A = { x | - 1 ≤ x <2} , B = { x | x < a } ,若 A ∩ B ≠ ∅ ,则 a 的取值范围 是 A. - 1< a ≤ 2 B. a >2 C. a ≥ - 1 D. a > - 1 因为 A ∩ B ≠ ∅ ,所以集合 A , B 有公共元素,作出数轴,如图所示,易知 a > - 1 . 答案 解析 (2) 集合 A = {0,2 , a } , B = {1 , a 2 } ,若 A ∪ B = {0,1,2,4,16} ,则 a 的值 为 A.0 B.1 C.2 D.4 由题意可得 { a , a 2 } = {4,16} , ∴ a = 4. 答案 解析 (1) 一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况 . ( 2) 运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化 . 思维 升华 跟踪训练 3   (1)(2016· 山东 ) 设集合 A = { y | y = 2 x , x ∈ R } , B = { x | x 2 - 1<0} , 则 A ∪ B 等于 A.( - 1,1) B .(0,1) C.( - 1 ,+ ∞ ) D .(0 ,+ ∞ ) ∵ A = { y | y >0} , B = { x | - 1< x <1} , ∴ A ∪ B = ( - 1 ,+ ∞ ) ,故选 C. 答案 解析 (2) 已知集合 A = { x | x 2 - x - 12 ≤ 0} , B = { x |2 m - 1< x < m + 1} ,且 A ∩ B = B ,则实数 m 的取值范围 为 A. [ - 1,2) B .[ - 1,3] C.[2 ,+ ∞ ) D .[ - 1 ,+ ∞ ) 由 x 2 - x - 12 ≤ 0 ,得 ( x + 3)( x - 4) ≤ 0 , 即 - 3 ≤ x ≤ 4 , 所以 A = { x | - 3 ≤ x ≤ 4}. 又 A ∩ B = B ,所以 B ⊆ A . ① 当 B = ∅ 时,有 m + 1 ≤ 2 m - 1 ,解得 m ≥ 2 . 综上, m 的取值范围为 [ - 1 ,+ ∞ ). 答案 解析 题型四 集合的新定义问题 例 5   已知集合 A = {( x , y )| x 2 + y 2 ≤ 1 , x , y ∈ Z } , B = {( x , y )|| x | ≤ 2 , | y | ≤ 2 , x , y ∈ Z } ,定义集合 A  B = {( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )|( x 1 , y 1 ) ∈ A , ( x 2 , y 2 ) ∈ B } ,则 A  B 中元素的个数 为 A.77 B.49 C.45 D.30 答案 解析 如图,集合 A 表示如图所示的所有圆点 “ ” ,集合 B 表示如图所示的所有圆点 “ ” +所有圆点 “ ” ,集合 A  B 显然是集合 {( x , y )|| x | ≤ 3 , | y | ≤ 3 , x , y ∈ Z } 中除去四个点 {( - 3 ,- 3) , ( - 3,3) , (3 ,- 3) , (3,3)} 之外的所有整点 ( 即横坐标与纵坐标都为整数的点 ) ,即集合 A  B 表示如图所示的所有圆点 “ ” +所有圆点 “ ” +所有圆点 “ ” ,共 45 个 . 故 A  B 中元素的个数为 45. 故选 C . 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点 : ( 1) 紧扣新定义 . 首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在 ; ( 2) 用好集合的性质 . 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质 . 思维 升华 跟踪训练 4  定义一种新的集合运算 △ : A △ B = { x | x ∈ A ,且 x ∉ B }. 若集合 A = { x | x 2 - 4 x + 3<0} , B = { x |2 ≤ x ≤ 4} ,则按运算 △ , B △ A 等于 A.{ x |3< x ≤ 4} B .{ x |3 ≤ x ≤ 4} C.{ x |3< x <4} D .{ x |2 ≤ x ≤ 4 } A = { x |1< x <3} , B = { x |2 ≤ x ≤ 4} , 由 题意知 B △ A = { x | x ∈ B ,且 x ∉ A } = { x |3 ≤ x ≤ 4}. 答案 解析 典例  (1) 已知集合 A = {1,3 , } , B = {1 , m } , A ∪ B = A ,则 m 等于 A.0 或 B.0 或 3 C.1 或 D.1 或 3 或 0 (2) 设集合 A = {0 ,- 4} , B = { x | x 2 + 2( a + 1) x + a 2 - 1 = 0 , x ∈ R }. 若 B ⊆ A ,则实数 a 的取值范围是 ________. 集合 关系及运算 现场纠错系列 1 (1) 集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验 . (2) 当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况 . 错 解展示 现场纠错 纠错心得 故 m = 3 或 m = 0 或 m = 1. (2) ∵ B ⊆ A ,讨论如下: ① 当 B = A = {0 ,- 4} 时, 解得 a = 1. ② 当 B  A 时,由 Δ = 0 得 a =- 1 , 此时 B = {0} 满足题意, 综上,实数 a 的取值范围是 {1 ,- 1}. 答案   (1)D   (2){1 ,- 1} 返回 解析   (1) A = {1,3 , } , B = {1 , m } , A ∪ B = A ,故 B ⊆ A ,所以 m = 3 或 m = , 即 m = 3 或 m = 0 或 m = 1 ,其中 m = 1 不符合题意 , 所以 m = 0 或 m = 3 ,故选 B . (2) 因为 A = {0 ,- 4} ,所以 B ⊆ A 分以下三种情况: ① 当 B = A 时, B = {0 ,- 4} ,由此知 0 和- 4 是方程 x 2 + 2( a + 1) x + a 2 - 1 = 0 的两个根,由根与系数的关系, 得 解得 a = 1 ; ② 当 B ≠ ∅ 且 B  A 时, B = {0} 或 B = { - 4} , 并且 Δ = 4( a + 1) 2 - 4( a 2 - 1) = 0 , 解得 a =- 1 ,此时 B = {0} 满足题意; ③ 当 B = ∅ 时, Δ = 4( a + 1) 2 - 4( a 2 - 1)<0 , 解得 a < - 1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ( - ∞ ,- 1] ∪ {1}. 答案  (1)B   (2)( - ∞ ,- 1] ∪ {1} 返回 课时作业 1.(2016· 四川 ) 设集合 A = { x | - 2 ≤ x ≤ 2} , Z 为整数集,则集合 A ∩ Z 中元素的个数 是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 由题意可知, A ∩ Z = { - 2 ,- 1,0,1,2} , 则 A ∩ Z 中的元素的个数为 5. 故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 已知集合 M = {1,2,3,4} ,则集合 P = { x | x ∈ M ,且 2 x ∉ M } 的子集的个数 为 A.8 B.4 C.3 D.2 √ 由题意得 P = {3,4} , ∴ 集合 P 有 4 个子集 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ A ∩ B = ∅ , 综上,实数 m 的取值范围为 [0 ,+ ∞ ). 4.( 2017· 潍坊调研 ) 已知全集 U = R ,集合 A = {1,2,3,4,5} , B = { x ∈ R | x ≥ 2} , 则 右 图 中阴影部分所表示的集合 为 A.{0,1} B .{1} C.{1,2} D .{0,1,2} 因为 A ∩ B = {2,3,4,5} ,而图中阴影部分为 A 去掉 A ∩ B , 所以 阴影部分所表示的集合为 {1}. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 已知集合 A = { x | - 1< x <0} , B = { x | x ≤ a } ,若 A ⊆ B ,则 a 的取值范围 为 A.( - ∞ , 0] B .[0 ,+ ∞ ) C.( - ∞ , 0) D .(0 ,+ ∞ ) √ 用数轴表示集合 A , B ( 如图 ) , 由 A ⊆ B ,得 a ≥ 0. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(2016· 河北省衡水中学模拟 ) 已知 U 为全集,集合 A = { x | x 2 - 2 x - 3>0} , B = { x |2< x <4} ,那么集合 B ∩ ( ∁ U A ) 等于 A.{ x | - 1 ≤ x ≤ 4} B .{ x |2< x ≤ 3} C.{ x |2 ≤ x <3} D .{ x | - 1< x <4} ∵ A = { x < - 1 或 x >3} , ∴ ∁ U A = { x | - 1 ≤ x ≤ 3} , B = { x |2< x <4} , ∴ B ∩ ( ∁ U A ) = { x |2< x ≤ 3}. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(2016· 宁夏银川二中考试 ) 已知集合 A = { x | y = lg( x - x 2 )} , B = { x | x 2 - cx <0 , c >0} ,若 A ⊆ B ,则实数 c 的取值范围 是 A.(0,1] B .[1 ,+ ∞ ) C.(0,1) D .(1 ,+ ∞ ) √ 由题意知, A = { x | y = lg( x - x 2 )} = { x | x - x 2 >0} = (0,1) , B = { x | x 2 - cx <0 , c >0} = (0 , c ). 由 A ⊆ B ,画出数轴,如图所示,得 c ≥ 1. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(2015· 浙江 ) 已知集合 P = { x | x 2 - 2 x ≥ 0} , Q = { x |1 < x ≤ 2} ,则 ( ∁ R P ) ∩ Q 等于 A. [0,1) B .(0,2] C .(1,2) D . [1,2] ∵ P = { x | x ≥ 2 或 x ≤ 0} , ∁ R P = { x |0 < x < 2} , ∴ ( ∁ R P ) ∩ Q = { x |1 < x < 2} ,故选 C. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 已知集合 A = { x | x 2 - 3 x + 2 = 0 , x ∈ R } , B = { x |0< x <5 , x ∈ N } ,则满足条件 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数 为 A.1 B.2 C.3 D.4 由 x 2 - 3 x + 2 = 0 ,得 x = 1 或 x = 2 , ∴ A = {1,2}. 由题意知 B = {1,2,3,4}. ∴ 满足条件的 C 可为 {1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4} ,共 4 个 . √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知集合 A = { m + 2,2 m 2 + m } ,若 3 ∈ A ,则 m 的值为 _______. ∵ 3 ∈ A , ∴ m + 2 = 3 或 2 m 2 + m = 3. 当 m + 2 = 3 ,即 m = 1 时, 2 m 2 + m = 3 ,此时集合 A 中有重复元素 3 , 不符合集合的互异性,舍去; 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为 A = { x | x ≥ 3 或 x ≤ - 1} , B = { y | y >1} , 所以 A ∪ B = { x | x >1 或 x ≤ - 1}. ( - ∞ ,- 1] ∪ (1 ,+ ∞ ) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 已知集合 A = { x | x 2 - 2 x + a >0} ,且 1 ∉ A ,则实数 a 的取值范围是 __________. ∵ 1 ∉ { x | x 2 - 2 x + a >0} , ∴ 1 ∈ { x | x 2 - 2 x + a ≤ 0} , 即 1 - 2 + a ≤ 0 , ∴ a ≤ 1. ( - ∞ , 1] 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 *14. 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ∈ A ,如果 k - 1 ∉ A ,且 k + 1 ∉ A ,那么称 k 是 A 的一个 “ 孤立元 ”. 给定 S = {1,2,3,4,5,6,7,8} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含 “ 孤立元 ” 的集合共有 ________ 个 . 依题意可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含 “ 孤立元 ” 时,这三个元素一定是连续的三个自然数 . 故这样的集合共有 6 个 . 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 *15. 已知集合 A = { x ∈ R || x + 2|<3} ,集合 B = { x ∈ R |( x - m )( x - 2)<0} ,且 A ∩ B = ( - 1 , n ) ,则 m = ________ , n = ________. A = { x ∈ R || x + 2|<3} = { x ∈ R | - 5< x <1} , 由 A ∩ B = ( - 1 , n ) ,可知 m <1 , 则 B = { x | m < x <2} ,画出数轴,可得 m =- 1 , n = 1. - 1 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15