高科数学专题复习课件：7_2　一元二次不等式及其解法 65页

§7.2 　一元二次不等式及其解法 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. “ 三个二次 ” 的关系 知识梳理 判别式 Δ ＝ b 2 － 4 ac Δ >0 Δ ＝ 0 Δ <0 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a >0) 的根 有两相异实根 x 1 ， x 2 ( x 1 < x 2 ) 有两相等实根 x 1 ＝ x 2 ＝ 没有实数根 一元二次不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 ( a >0) 的解集 ____________ _____________ __________ 一元二次 不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 ( a >0) 的解集 ___________ ____ ____ { x | x < x 1 或 x > x 2 } { x | x ∈ R } { x | x 1 < x < x 2 } ∅ ∅ ( x － a )( x － b )>0 或 ( x － a )( x － b )<0 型不等式的解法 2. 常用结论 不等式 解集 a < b a ＝ b a > b ( x － a )·( x － b )>0 { x | x < a 或 x > b } ________ ____________ ( x － a )·( x － b )<0 __________ ___ { x | b < x < a } { x | x ≠ a } { x | x < b 或 x > a } { x | a < x < b } ∅ 口诀：大于取两边，小于取中间 . (1 ) > 0(<0) ⇔ f ( x )· g ( x )>0(<0). (2 ) ≥ 0( ≤ 0) ⇔ f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，则必有 a >0.( 　　 ) (2) 若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集是 ( － ∞ ， x 1 ) ∪ ( x 2 ，＋ ∞ ) ，则方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个根是 x 1 和 x 2 .( 　　 ) (3) 若方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 没有实数根，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0 的解集为 R .( 　　 ) 思考辨析 √ √ × (4) 不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ≤ 0 在 R 上恒成立的条件是 a <0 且 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≤ 0.( 　　 ) (5) 若二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象开口向下，则不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c <0 的解集一定不是空集 .( 　　 ) √ × 1.( 教材改编 ) 不等式 x 2 － 3 x － 10>0 的解集 是 A .( － 2,5) B .(5 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 2) D .( － ∞ ，－ 2) ∪ (5 ，＋ ∞ ) 考点自测 答案 解析 解方程 x 2 － 3 x － 10 ＝ 0 得 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 5 ， 由于 y ＝ x 2 － 3 x － 10 的 图象 开口 向上 ， 所以 x 2 － 3 x － 10>0 的解集 为 ( － ∞ ，－ 2) ∪ (5 ，＋ ∞ ). 2. 设集合 M ＝ { x | x 2 － 3 x － 4<0} ， N ＝ { x |0 ≤ x ≤ 5} ，则 M ∩ N 等于 A .(0,4] B .[0,4) C. [ － 1,0) D .( － 1,0] 答案 解析 ∵ M ＝ { x | x 2 － 3 x － 4<0} ＝ { x | － 1< x <4} ， ∴ M ∩ N ＝ [0,4). 3.( 教材改编 ) y ＝ log 2 (3 x 2 － 2 x － 2) 的定义域 是 ___________________ ___ ______. 答案 解析 由题意，得 3 x 2 － 2 x － 2>0 ， 4.( 教材改编 ) 若关于 x 的不等式 ax 2 ＋ bx ＋ 2>0 的解集 是 ， 则 a ＋ b ＝ ________. 答案 解析 － 14 5. 不等式 x 2 ＋ ax ＋ 4 ≤ 0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _______________ _ _______. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 4] ∪ [4 ，＋ ∞ ) ∵ x 2 ＋ ax ＋ 4 ≤ 0 的解集不是空集，则 x 2 ＋ ax ＋ 4 ＝ 0 一定有解 . ∴ Δ ＝ a 2 － 4 × 1 × 4 ≥ 0 ，即 a 2 ≥ 16 ， ∴ a ≥ 4 或 a ≤ － 4. 题型分类　深度剖析 题型一　一元二次不等式的求解 例 1 　 求不等式－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 的解集 . 解答 命题点 1 　不含参的不等式 化－ 2 x 2 ＋ x ＋ 3<0 为 2 x 2 － x － 3>0 ， 例 2 　解关于 x 的不等式： x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0. 解答 命题点 2 　含参不等式 由 x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a ＝ 0 ，得 ( x － a )( x － 1) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ a ， x 2 ＝ 1 ， ① 当 a >1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 { x |1< x < a } ， ② 当 a ＝ 1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 ∅ ， ③ 当 a <1 时， x 2 － ( a ＋ 1) x ＋ a <0 的解集为 { x | a < x <1}. 引申 探究 将原不等式改为 ax 2 － ( a ＋ 1) x ＋ 1<0 ，求不等式的解集 . 解答 若 a ＝ 0 ，原不等式等价于－ x ＋ 1<0 ，解得 x >1. 当 a ＝ 0 时，解集为 { x | x >1} ； 当 a ＝ 1 时，解集为 ∅ ； 思维 升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论 . (1) 若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3) 对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集 . 跟踪训练 1 　 解下列不等式： (1)0< x 2 － x － 2 ≤ 4 ； 解答 原不等式等价于 借助于数轴，如图所示， 所以原不等式的解集为 { x | － 2 ≤ x < － 1 或 2< x ≤ 3}. (2) 求不等式 12 x 2 － ax ＞ a 2 ( a ∈ R ) 的解集 . 解答 ∵ 12 x 2 － ax ＞ a 2 ， ∴ 12 x 2 － ax － a 2 ＞ 0 ， 即 (4 x ＋ a )(3 x － a ) ＞ 0 ，令 (4 x ＋ a )(3 x － a ) ＝ 0 ， 当 a ＝ 0 时， x 2 ＞ 0 ，解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ； 当 a ＝ 0 时，不等式的解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ； 题型二　一元二次不等式恒成立问题 命题点 1 　在 R 上的恒成立问题 例 3 　 (1) 若一元二次不等式 2 kx 2 ＋ kx － < 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围 为 A .( － 3,0] B .[ － 3,0) C. [ － 3,0] D .( － 3,0) 答案 解析 ∴ k ≠ 0 ， (2) 设 a 为常数，对于 ∀ x ∈ R ， ax 2 ＋ ax ＋ 1>0 ，则 a 的取值范围 是 A.(0,4) B .[0,4) C.(0 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ， 4) 答案 解析 命题点 2 　在给定区间上的恒成立问题 例 4 　 设函数 f ( x ) ＝ mx 2 － mx － 1. 若对于 x ∈ [1,3] ， f ( x )< － m ＋ 5 恒成立，求 m 的取值范围 . 解答 要使 f ( x )< － m ＋ 5 在 x ∈ [1,3] 上恒成立， 有以下两种方法： 当 m >0 时， g ( x ) 在 [1,3] 上是增函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (3) ⇒ 7 m － 6<0 ， 当 m ＝ 0 时，－ 6<0 恒成立； 当 m <0 时， g ( x ) 在 [1,3] 上是减函数， 所以 g ( x ) max ＝ g (1) ⇒ m － 6<0 ，所以 m <6 ，所以 m <0. 命题点 3 　给定参数范围的恒成立问题 例 5 　 对任意 m ∈ [ － 1,1 ] ，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m 的值恒大于零，求 x 的取值范围 . 解答 由 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ( m － 4) x ＋ 4 － 2 m ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4 ， 令 g ( m ) ＝ ( x － 2) m ＋ x 2 － 4 x ＋ 4. 由题意知在 [ － 1,1 ] 上， g ( m ) 的值恒大于零， 解得 x <1 或 x >3. 故当 x 的取值范围为 ( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 时，对任意的 m ∈ [ － 1,1 ] ，函数 f ( x ) 的值恒大于零 . 思维 升华 (1) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方 . 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 . (2) 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数 . 跟踪训练 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ mx － 1 ，若对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1 ] ， 都 有 f ( x )<0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________ __ . 答案 解析 作出二次函数 f ( x ) 的草图，对于任意 x ∈ [ m ， m ＋ 1 ] ，都 有 f ( x )<0 ， (2) 已知不等式 mx 2 － 2 x － m ＋ 1<0 ，是否存在实数 m 对所有的实数 x ，使不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 解答 不等式 mx 2 － 2 x － m ＋ 1<0 恒成立， 即函数 f ( x ) ＝ mx 2 － 2 x － m ＋ 1 的图象全部在 x 轴下方 . 当 m ≠ 0 时，函数 f ( x ) ＝ mx 2 － 2 x － m ＋ 1 为二次函数 ， 需满足开口向下且方程 mx 2 － 2 x － m ＋ 1 ＝ 0 无解， 综上可知，不存在这样的 m . 题型三　一元二次不等式的应用 例 6 　 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件 . 若售价降低 x 成 (1 成＝ 10%) ，售出商品数量就 增加 x 成 . 要求售价不能低于成本价 . (1) 设该商店一天的营业额为 y ，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y ＝ f ( x ) ，并写出定义域； 解析 所以 y ＝ f ( x ) ＝ 40(10 － x )(25 ＋ 4 x ) ，定义域为 x ∈ [0,2]. (2) 若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 . 解 答 由题意得 40(10 － x )(25 ＋ 4 x ) ≥ 10 260 ， 思维 升华 求解不等式应用题的四个步骤 (1) 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 . (2) 引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 . (3) 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义 . (4) 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 . 跟踪训练 3 　 甲厂以 x 千克 / 小时的速度匀速生产某种产品 ( 生产条件要求 1 ≤ x ≤ 10) ，每小时可获得的利润是 100·(5 x ＋ 1 － ) 元 . (1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； 解 答 即 5 x 2 － 14 x － 3 ≥ 0 ， 又 1 ≤ x ≤ 10 ，可解得 3 ≤ x ≤ 10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x 的取值范围是 [3,10]. (2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 . 解答 设利润为 y 元，则 故当 x ＝ 6 时， y max ＝ 457 500 元 . 即甲厂以 6 千克 / 小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元 . 典例　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ( a ， b ∈ R ) 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ，若关于 x 的不等式 f ( x )< c 的解集为 ( m ， m ＋ 6) ，则实数 c 的值为 _____. (2) 已知函数 f ( x ) ＝ ， 若对任意 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( x )>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________ _ _. 转化 与化归思想在不等式中的应用 思想与方法系列 14 函数的值域和不等式的解集转化为 a ， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题 . 9 { a | a > － 3} 答案 解析 思想方法指 导 (1) 由 题意 知 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b ∵ f ( x ) 的值域为 [0 ，＋ ∞ ) ， 即 x 2 ＋ 2 x ＋ a >0 恒成立 . 即当 x ≥ 1 时， a > － ( x 2 ＋ 2 x ) ＝ g ( x ) 恒成立 . 而 g ( x ) ＝－ ( x 2 ＋ 2 x ) ＝－ ( x ＋ 1) 2 ＋ 1 在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， ∴ g ( x ) max ＝ g (1) ＝－ 3 ，故 a > － 3. ∴ 实数 a 的取值范围是 { a | a > － 3}. 课时作业 A.{ x |1 ≤ x ≤ 2} B .{ x | x ≤ 1 或 x ≥ 2} C.{ x |1< x <2} D .{ x | x <1 或 x >2} 1. 不等式 ( x － 1)(2 － x ) ≥ 0 的解集为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由 ( x － 1)(2 － x ) ≥ 0 可知 ( x － 2)( x － 1) ≤ 0 ， 所以不等式的解集为 { x |1 ≤ x ≤ 2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.( － ∞ ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) B .(1,3) C.( － ∞ ， 2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) D .(1,2) ∪ (2,3) √ 答案 解析 由题意得－ x 2 ＋ 4 x － 3>0 ，即 x 2 － 4 x ＋ 3<0 ， ∴ 1< x <3 ， 又 ln( － x 2 ＋ 4 x － 3) ≠ 0 ，即－ x 2 ＋ 4 x － 3 ≠ 1 ， ∴ x 2 － 4 x ＋ 4 ≠ 0 ， ∴ x ≠ 2. 故函数定义域为 (1,2) ∪ (2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 若集合 A ＝ { x | ax 2 － ax ＋ 1<0} ＝ ∅ ，则实数 a 的取值范围 是 A .{ a |0< a <4} B .{ a |0 ≤ a <4} C.{ a |0< a ≤ 4} D .{ a |0 ≤ a ≤ 4} √ 答案 解析 由题意知 a ＝ 0 时，满足条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.( － 3,1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) B.( － 3,1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) C.( － 1,1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ，－ 3) ∪ (1,3) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知不等式 x 2 － 2 x － 3<0 的解集为 A ，不等式 x 2 ＋ x － 6<0 的解集为 B ，不等式 x 2 ＋ ax ＋ b <0 的解集为 A ∩ B ，那么 a ＋ b 等于 A . － 3 B.1 C. － 1 D.3 √ 答案 解析 由题意， A ＝ { x | － 1< x <3} ， B ＝ { x | － 3< x <2} ， A ∩ B ＝ { x | － 1< x <2} ， 则不等式 x 2 ＋ ax ＋ b <0 的解集为 { x | － 1< x <2}. 由根与系数的关系可知， a ＝－ 1 ， b ＝－ 2 ， 所以 a ＋ b ＝－ 3 ，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 若关于 x 的不等式 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0( a >0) 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，且 x 2 － x 1 ＝ 15 ，则 a 等于 √ 答案 解析 由 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0 ， 得 ( x ＋ 2 a )( x － 4 a )<0 ，因为 a >0 ， 所以不等式的解集为 ( － 2 a, 4 a ) ， 即 x 2 ＝ 4 a ， x 1 ＝－ 2 a ，由 x 2 － x 1 ＝ 15 ， 得 4 a － ( － 2 a ) ＝ 15 ，解得 a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得 a ＝－ 6 ， b ＝ 5 ，不等式 x 2 － bx － a <0 即为 x 2 － 5 x ＋ 6<0 ，解集为 (2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *8. 已知函数 f ( x ) ＝－ x 2 ＋ ax ＋ b 2 － b ＋ 1( a ∈ R ， b ∈ R ) ，对任意实数 x 都有 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 成立，当 x ∈ [ － 1,1 ] 时， f ( x )>0 恒成立，则 b 的取值范围 是 A. － 1< b <0 B. b >2 C. b < － 1 或 b >2 D. 不能确定 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 知 f ( x ) 图象的对称轴为直线 x ＝ 1 ， 由 f ( x ) 的图象可知 f ( x ) 在 [ － 1,1] 上为增函数 . ∴ x ∈ [ － 1,1 ] 时， f ( x ) min ＝ f ( － 1) ＝－ 1 － 2 ＋ b 2 － b ＋ 1 ＝ b 2 － b － 2 ， 令 b 2 － b － 2>0 ，解得 b < － 1 或 b >2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 若不等式－ 2 ≤ x 2 － 2 ax ＋ a ≤ － 1 有唯一解，则 a 的值为 ________. 答案 解析 若不等式－ 2 ≤ x 2 － 2 ax ＋ a ≤ － 1 有唯一解，则 x 2 － 2 ax ＋ a ＝－ 1 有两个相等的实根，所以 Δ ＝ 4 a 2 － 4( a ＋ 1) ＝ 0 ，解得 a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f (1)>1 ， f (2) ＝ ， 则 实数 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 ∵ f ( x ＋ 3) ＝ f ( x ) ， ∴ f (2) ＝ f ( － 1 ＋ 3) ＝ f ( － 1) ＝－ f (1)< － 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *11. 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ，那么，不等式 f ( x ＋ 2)<5 的解集是 ____________. 答案 解析 { x | － 7< x <3} 令 x <0 ，则－ x >0 ， ∵ x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ， ∴ f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － 4( － x ) ＝ x 2 ＋ 4 x ，又 f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得－ 5< x <0 ，即 f ( x )<5 的解集为 ( － 5,5). 由于 f ( x ) 向左平移两个单位即得 f ( x ＋ 2) ， 故 f ( x ＋ 2)<5 的解集为 { x | － 7< x <3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 设二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － x 的两个零点为 m ， n ( m < n ). (1) 若 m ＝－ 1 ， n ＝ 2 ，求不等式 F ( x )>0 的解集； 解答 由题意知， F ( x ) ＝ f ( x ) － x ＝ a ( x － m )( x － n ). 当 m ＝－ 1 ， n ＝ 2 时，不等式 F ( x )>0 ， 即 a ( x ＋ 1)( x － 2)>0. 当 a >0 时，不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | x < － 1 或 x >2} ； 当 a <0 时，不等式 F ( x )>0 的解集为 { x | － 1< x <2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 f ( x ) － m ＝ F ( x ) ＋ x － m ＝ a ( x － m )( x － n ) ＋ x － m ＝ ( x － m )( ax － an ＋ 1) ， ∴ x － m <0,1 － an ＋ ax >0. ∴ f ( x ) － m <0 ，即 f ( x )< m . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 因为 ( a ＋ b ) x ＋ (2 a － 3 b )<0 ， 所以 ( a ＋ b ) x <3 b － 2 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得 a ＝ 3 b <0 ， 则不等式 ( a － 2 b ) x 2 ＋ 2( a － b － 1) x ＋ ( a － 2)>0. 等价为 bx 2 ＋ (4 b － 2) x ＋ (3 b － 2)>0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13