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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆x2
16
＋y2
25
＝1 的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在 y 轴上，所
以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选 D.
【答案】 D
2．如果方程x2
a2＋ y2
a＋6
＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的
取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3 或 a<－2 D．a>3 或－6a＋6>0，得 a2－a－6>0，
a＋6>0，
所以 a<－2 或 a>3，
a>－6， 所以 a>3 或－6b>0)，
且可知左焦点为 F′(－2,0)．
从而有 c＝2，
2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得 c＝2，
a＝4.
又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12，故椭圆 C 的标准方程为x2
16
＋y2
12
＝1.
法二：依题意，可设椭圆 C 的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，
则
4
a2＋ 9
b2＝1，
a2－b2＝4，
解得 b2＝12 或 b2＝－3(舍去)，从而 a2＝16，
所以椭圆 C 的标准方程为x2
16
＋y2
12
＝1.
【答案】 x2
16
＋y2
12
＝1
8．椭圆x2
9
＋y2
2
＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上．若|PF1|＝4，
则|PF2|＝________，∠F1PF2 的大小为________．
【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.
在△PF1F2 中，
cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝－1
2.
∴∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点 P(3,2)到两焦点的距离之和为 8；
(2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离
分别等于 9 或 15.
【解】 (1)①若焦点在 x 轴上，可设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝
1(a>b>0)．
由题意知 2a＝8，∴a＝4，
又点 P(3,2)在椭圆上，
∴ 9
16
＋ 4
b2＝1，得 b2＝64
7 .
∴椭圆的标准方程为x2
16
＋y2
64
7
＝1.
②若焦点在 y 轴上，设椭圆标准方程为
y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
又点 P(3,2)在椭圆上，
∴ 4
16
＋ 9
b2＝1，得 b2＝12.
∴椭圆的标准方程为y2
16
＋x2
12
＝1.
由①②知椭圆的标准方程为x2
16
＋y2
64
7
＝1 或y2
16
＋x2
12
＝1.
(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，
∴a＝12，c＝8，b2＝80.
又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，
∴所求方程为 x2
144
＋y2
80
＝1 或 y2
144
＋x2
80
＝1.
10．已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长为 18，
求这个三角形顶点 A 的轨迹方程．
【解】 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的中点为原点，
建立平面直角坐标系．
由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与
两个焦点的距离之和为 2a＝10，即 a＝5，且点 A 不能在 x 轴上．
由 a＝5，c＝4，得 b2＝9.
所以点 A 的轨迹方程为x2
25
＋y2
9
＝1(y≠0)．
[能力提升]
1．已知 P 为椭圆 C 上一点，F1，F2 为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2 3，
若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆 C 的标准方程为( )
A.x2
12
＋y2
9
＝1
B.x2
12
＋y2
9
＝1 或x2
9
＋y2
12
＝1
C.x2
9
＋y2
12
＝1
D.x2
48
＋y2
45
＝1 或x2
45
＋y2
48
＝1
【解析】 由已知 2c＝|F1F2|＝2 3，
∴c＝ 3.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4 3，
∴a＝2 3，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆 C 的标准方程是x2
12
＋y2
9
＝1 或x2
9
＋y2
12
＝1.
故选 B.
【答案】 B
2．(2016·银川高二检测)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x2
4
＋y2
＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边
上，则△ABC 的周长是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 设 A 为椭圆的左焦点，而 BC 边过右焦点 F，如图．可
知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|
＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为x2
4
＋y2＝1，因此 a＝2，故
4a＝8，故选 C.
【答案】 C
3．(2016·苏州高二检测)P 为椭圆 x2
100
＋y2
64
＝1 上一点，左、右焦
点分别为 F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为________．
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得 r1＋r2＝20.
①
由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°，
即 r21＋r22－r1r2＝144，②
由①2－②，得 3r1r2＝256，
∴S△PF1F2＝1
2r1r2sin 60°＝1
2
×256
3
× 3
2
＝64 3
3 .
【答案】 64 3
3
4．(2016·南京高二检测)设 F1，F2 分别是椭圆x2
4
＋y2＝1 的两焦点，
B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求|PF1
→ |·|PF2
→ |的最大值；
(2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且BF1
→ ＝λCF1
→ ，求λ的值；
(3)设 P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF1 的周长的最大值.
【导学号：26160033】
【解】 (1)因为椭圆的方程为x2
4
＋y2＝1，
所以 a＝2，b＝1，c＝ 3，
即|F1F2|＝2 3，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤
|PF1|＋|PF2|
2 2＝
4
2 2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2 时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4，即|PF1
→ |·|PF2
→ |的最大值为 4.
(2)设 C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－ 3，0)，由BF1
→ ＝λCF1
→ 得 x0＝
31－λ
λ
，y0＝－1
λ.
又x20
4
＋y20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7 或λ＝1，又BF1
→ 与CF1
→ 方向相反，故λ＝1 舍去，即λ＝
－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1 的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时，△PBF1 的周长最
大，最大值为 8.
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