高二数学人教a版选修4-5学业分层测评8word版含答案 6页

学业分层测评（八） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③ 【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条 件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等． 【答案】 C 2．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么3 a＞3 b”时，假设的内容是( ) A.3 a＝3 b B.3 a＜3 b C.3 a＝3 b且3 a＜3 b D.3 a＝3 b或3 a＜3 b 【解析】 应假设3 a≤3 b， 即3 a＝3 b或3 a＜3 b. 【答案】 D 3．对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＞b 与 a＜b 及 a≠c 中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解析】 对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则 a＝b＝c，与已知矛 盾，故①对； 对于②，当 a＞b 与 a＜b 及 a≠c 都不成立时，有 a＝b＝c，不符合题意， 故②对；对于③，显然不正确． 【答案】 C 4．若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，设 M＝ 8 27－27a ，N＝(a＋c)·(a＋b)， 则( ) A．M≥N B．M≤N C．M>N D.M1＋2＋…＋n＝nn＋1 2 ， Sn<1 2(3＋5＋…＋2n＋1)＝1 2(n2＋2n)<n＋12 2 . [能力提升] 1．否定“自然数 a，b，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A．a，b，c 都是奇数 B．a，b，c 都是偶数 C．a，b，c 中至少有两个偶数 D．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 【解析】 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4 种，而自然数 a，b，c 中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情 况有 3 种，只有 D 项符合． 【答案】 D 2．设 x，y 都是正实数，且 xy－(x＋y)＝1，则( ) A．x＋y≥2( 2＋1) B．xy≤ 2＋1 C．x＋y≤( 2＋1)2 D.xy≥2( 2＋1) 【解析】 由已知 (x＋y)＋1＝xy≤ x＋y 2 2 ， ∴(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0. ∵x，y 都是正实数， ∴x＞0，y＞0， ∴x＋y≥2 2＋2＝2( 2＋1)． 【答案】 A 3．已知 a＞2，则 loga(a－1)loga(a＋1)________1(填“＞”“＜”或“＝”)． 【解析】 ∵a＞2， ∴loga(a－1)＞0，loga(a＋1)＞0. 又 loga(a－1)≠loga(a＋1)， ∴ logaa－1logaa＋1 ＜logaa－1＋logaa＋1 2 ， 而logaa－1＋logaa＋1 2 ＝1 2loga(a2－1) ＜1 2logaa2＝1， ∴loga(a－1)loga(a＋1)＜1. 【答案】 ＜ 4．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝2 1＋1 n 2 ·an(n∈N＋), 【导学号：32750043】 (1)求 a2，a3，并求数列{an}的通项公式； (2)设 cn＝ n an ，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜ 7 10. 【解】 (1)∵a1＝2，an＋1＝2 1＋1 n 2 ·an(n∈N＋)， ∴a2＝2 1＋1 1 2·a1＝16，a3＝2 1＋1 2 2 ·a2＝72. 又∵ an＋1 n＋12 ＝2·an n2 ，n∈N＋， ∴ an n2 为等比数列． ∴an n2 ＝a1 12·2n－1＝2n， ∴an＝n2·2n. (2)证明：cn＝ n an ＝ 1 n·2n ， ∴c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝ 1 1·2 ＋ 1 2·22 ＋ 1 3·23 ＋…＋ 1 n·2n ＜1 2 ＋1 8 ＋ 1 24 ＋1 4· 1 24 ＋1 25 ＋…＋ 1 2n ＝2 3 ＋1 4· 1 24 1－ 1 2 n－3 1－1 2 ＜2 3 ＋1 4· 1 24 1－1 2 ＝2 3 ＋ 1 32 ＝67 96 ＝670 960 ＜ 96×7 96×10 ＝ 7 10 ，所以结论成立．