高考数学复习练习第1部分 专题五 第二讲 预测演练提能 5页

一、选择题 1．(2013·北京高考)若双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的离心率为 3，则其渐近线方程为(　　) A. y＝±2x　　　　　　　　 B．y＝± 2x C. y＝±1 2x D. y＝± 2 2 x 解析：选 B　在双曲线中离心率 e＝c a＝ 1＋( b a )2＝ 3，可得b a＝ 2，故所求的双 曲线的渐近线方程是 y＝± 2x. 2．(2013·江西高考)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|∶|MN|＝(　　) A．2∶ 5　　　B．1∶2 C．1∶ 5　　　 D．1∶3 解析：选 C　过点 M 作 MM′垂直于抛物线 C 的准线 y＝－1 于点 M′，则由抛物线的 定义知|MM′|＝|FM|，所以|FM| |MN|＝|MM′| |MN| ＝sin ∠MNM′，而∠MNM′为直线 FA 的倾斜角 α 的补角． 因为直线 FA 过点 A(2,0)，F(0,1)，所以 kFA＝－1 2＝tan α，所以 sin α＝ 1 5 ，所以 sin ∠ MNM′＝ 1 5.故|FM|∶|MN|＝1∶ 5. 3．(2013·福建高考)双曲线x2 4－y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于(　　) A.2 5 B.4 5 C.2 5 5 D.4 5 5 解析：选 C　双曲线x2 4－y2＝1 的渐近线方程为 y＝±x 2，即 x±2y＝0，所以双曲线的顶点 (±2,0)到其渐近线距离为 2 5 ＝2 5 5 . 4．(2013·四川高考)从椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB∥OP(O 是坐标原 点)，则该椭圆的离心率是(　　) A. 2 4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 解析：选 C　由已知，点 P(－c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得 P (－c，b2 a ).∵AB∥ OP，∴kAB＝kOP，即－b a＝－b2 ac，则 b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则c a＝ 2 2 ，即该椭圆的离心率 是 2 2 . 5．已知双曲线y2 2－x2 3＝1 的两个焦点分别为 F1，F2，则满足△PF1F2 的周长为 6＋2 5 的动点 P 的轨迹方程为(　　) A.x2 4＋y2 9＝1 B.x2 9＋y2 4＝1 C.x2 4＋y2 9＝1(x≠0) D.x2 9＋y2 4＝1(x≠0) 解析：选 C　依题意得，|F1F2|＝2 2＋3＝2 5，|PF1|＋|PF2|＝6>|F1F2|，因此满足△PF1F2 的周长为 6＋2 5的动点 P 的轨迹是以点 F1，F2 为焦点，长轴长是 6 的椭圆(除去长轴的端 点)，即动点 P 的轨迹方程是x2 4＋y2 9＝1(x≠0)． 6．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为 F，△FAB 是以 角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 (　　) A. 3－1 2 B. 5－1 2 C.1＋ 5 4 D. 3＋1 4 解析：选 B　由题意得 a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即 c2＋ac－a2＝0，即 e2＋e－1＝0，解得 e ＝ －1 ± 5 2 ，又因为 e>0，故所求的椭圆的离心率为 5－1 2 . 7．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两 点，则弦 AB 的长为(　　) A．4 B．6 C．10 D．16 解析：选 D　设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得焦点 F(0,1)，准线方程是 y＝－1，直 线 l：y＝ 3x＋1.由Error!得 y2－14y＋1＝0，所以 y1＋y2＝14，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1) ＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16. 8．已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点在抛物 线 C：y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.x2 36－ y2 108＝1 B.x2 9－y2 27＝1 C. x2 108－y2 36＝1 D.x2 27－y2 9＝1 解析：选 B　抛物线 y2＝24x 的准线方程为 x＝－6，所以双曲线的焦距 2c＝12.根据双 曲线的渐近线方程得 b＝ 3a，代入 c2＝a2＋b2，解得 a2＝9，所以 b2＝27，所以所求双曲线 方程为x2 9－y2 27＝1. 9．(2013·郑州模拟)已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴 的最短距离为(　　) A.3 4 B.3 2 C．1 D．2 解析：选 D　由题意知，抛物线的准线 l：y＝－1，过点 A 作 AA1⊥l 交 l 于点 A1，过点 B 作 BB1⊥l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1，则|MM1|＝ |AA1|＋|BB1| 2 . 因 为 |AB|≤|AF| ＋ |BF|(F 为 抛 物 线 的 焦 点 ) ， 即 |AF| ＋ |BF|≥6 ， 所 以 |AA1| ＋ |BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d≥2. 10．(2013·辽宁五校联考)设 F1，F2 是双曲线 x2－y2 24＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一 点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于(　　) A．4 2 B．8 3 C．24 D．48 解析：选 C　由已知|PF1|＝4 3|PF2|，代入到|PF1|－|PF2|＝2 中得|PF2|＝6，故|PF1|＝8.又 双曲线的焦距|F1F2|＝10，所以△PF1F2 为直角三角形，所求的面积为1 2×8×6＝24. 二、填空题 11．已知双曲线 C1：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)与双曲线 C2：x2 4－y2 16＝1 有相同的渐近线， 且 C1 的右焦点为 F( 5，0)，则 a＝________，b＝________. 解析：双曲线x2 4－y2 16＝1 的渐近线为 y＝±2x，则b a＝2，即 b＝2a，又因为 c＝ 5，a2＋b2 ＝c2，所以 a＝1，b＝2. 答案：1　2 12．(2013·哈尔滨四校统考)已知抛物线方程为 y 2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0.在 抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值为 ________． 解析：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)．点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1，所以 d1＋d2 ＝d2＋|PF|－1.易知 d 2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d 2＋|PF|的最小值为 |1＋5| 12＋(－1)2 ＝3 2，所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1. 答案：3 2－1 13．(2013·辽宁高考)已知 F 为双曲线 C：x2 9－y2 16＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________． 解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋ |FQ|＝28，所以△PQF 的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44. 答案：44 14．(2013·辽宁五校联考)设点 A1，A2 分别为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若 在椭圆上存在异于点 A1，A2 的点 P，使得 PO⊥PA2，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是________． 解析：由题设知∠OPA2＝90°，设 P(x，y)(x＞0)，以 OA2 为直径的圆的方程为 (x－a 2 )2＋ y2＝a2 4 ，与椭圆方程联立，得(1－b2 a2)·x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根 a，且由题设知， 此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得 0＜ b2 a(1－b2 a2) ＜a，化简得 0＜a2－c2 c2 ＜1，即 0＜1－e2 e2 ＜1，得1 20，b>0)上的点，F1，F2 是其焦点，双曲线的离心率 是5 4，且 · ＝0，若△PF1F2 的面积为 9，则 a＋b 的值为________． 解析：由 · ＝0 得 ⊥ ，设| |＝m，| |＝n，不妨设 m>n，则 m2 ＋n2＝4c2，m－n＝2a，1 2mn＝9，又c a＝5 4，解得Error!∴b＝3，a＋b＝7. 答案：7 16．(2013·湖北八校联考)已知点 A，D 分别是椭圆 x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶 点，点 P 是线段 AD 上的任意一点，点 F1，F2 分别是椭圆的左，右焦点，且 · 的 最大值是 1，最小值是－11 5 ，则椭圆的标准方程为________． 解析：设点 P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则 ＝(－c－x，－y)， ＝(c－x，－y)， 所以 · ＝x2＋y2－c2. 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 因为点 P 在线段 AD 上，所以 x2＋y2 可以看作原点 O 到点 P 的距离的平方，易知当点 P 与点 A 重合时，x2＋y2 取最大值 a2，当 OP⊥AD 时，x2＋y2 取最小值 a2b2 a2＋b2.由题 意，得Error!解得 a2＝4，b2＝1.即椭圆的标准方程为x2 4＋y2＝1. 答案：x2 4＋y2＝1