浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ补上一课变量分离技巧的应用课件 13页

变量分离技巧的应用 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式 ( 方程 ) 变形到不等号 ( 等号 ) 两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题 . 解决有关不等式恒成立、不等式存在 ( 有 ) 解和方程有解中参数取值范围的一种方法 . 两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知 . 结论 1 　不等式 f ( x ) ≥ g ( a ) 恒成立 ⇔ [ f ( x )] min ≥ g ( a )( 求解 f ( x ) 的最小值 ) ； 不等式 f ( x ) ≤ g ( a ) 恒成立 ⇔ [ f ( x )] max ≤ g ( a )( 求解 f ( x ) 的最大值 ). 结论 2 　不等式 f ( x ) ≥ g ( a ) 存在解 ⇔ [ f ( x )] max ≥ g ( a )( 求解 f ( x ) 的最大值 ) ； 不等式 f ( x ) ≤ g ( a ) 存在解 ⇔ [ f ( x )] min ≤ g ( a )( 求解 f ( x ) 的最小值 ). 结论 3 　方程 f ( x ) ＝ g ( a ) 有解 ⇔ g ( a ) 的范围与 f ( x ) 的值域有交集 ( 求解 f ( x ) 的值域 ). 解决问题时需要注意： (1) 确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类； (2) 确定是求最大值、最小值，还是值域 . 知识拓展 题型一　不等式恒成立求参数 题型突破 【例 1 】 已知函数 f ( x ) ＝ ax － ln( x ＋ 1) ＋ a － 1( x > － 1 ， a ∈ R ). 若函数 f ( x ) 在 x ＝ 0 处取到极值，且对任意 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) ≥ mx ＋ m － 2 恒成立，求实数 m 的取值范围 . ∴ a ＝ 1 ， f ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1) ， ∴ f ( x ) ＝ x － ln( x ＋ 1) ≥ m ( x ＋ 1) － 2 ， 当 n ∈ (0 ， e 2 ) 时， g ′( n )<0 ， g ( n ) 单调递减， 当 n ∈ (e 2 ，＋ ∞ ) 时， g ′( n )>0 ， g ( n ) 单调递增， 答案　 (1)[ － 5 ， 1] 　 (2)C 题型二　不等式有解求参数 题型三　含参数的方程有解问题 【例 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ x (ln x － ax ) 有极值点，则实数 a 的范围为 ________. 【训练 3 】 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ( k － 1) x 2 ＋ ( k ＋ 5) x － 1 在区间 (0 ， 3) 上不单调，求 k 的取值范围 . 解　 f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2( k － 1) x ＋ ( k ＋ 5) ，因为 f ( x ) 在区间 (0 ， 3) 上不单调， 所以 f ( x ) 在 (0 ， 3) 上有极值点， 则 h ( t ) 在 (1 ， 3] 上单调递减，在 [3 ， 7) 上单调递增， 所以有 h ( t ) ∈ [6 ， 10) ，得 k ∈ ( － 5 ，－ 2] ，而当 k ＝－ 2 时有 f ′( x ) ＝ 0 在 (0 ， 3) 上有两个相等的实根 x ＝ 1 ，故舍去，所以 k ∈ ( － 5 ，－ 2).