【数学】2014高考专题复习：第7章 不等式 (2) 108页

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第七章 不等式 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 一、填空题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是_________‎ 答案：‎ ‎【命题立意】本题考查绝对值不等式的基本解法。因为不等式的最小值为8，所以要使不等式无解，则，即实数的取值范围是。‎ ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______. ‎ 答案：2 ‎ 利用柯西不等式求解，,且仅当 时取最小值 2‎ ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式的解集为_________‎ 答案：‎ 本题考查绝对值的基本求法。由得，即，即，解得，所以原不等式的解集为。‎ ．（2013年高考湖北卷（理））设,且满足:,,则_______.‎ 答案： ‎ 本题考查柯西不等式的应用。由柯西不等式可知，，即，因为 ‎，所以当且进行时取等号。此时代入得，即，所以。‎ 二、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））选修4—5;不等式选讲 设均为正数,且,证明:‎ ‎(Ⅰ); (Ⅱ).‎ ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选修4-5:不等式选讲 已知函数,其中.‎ ‎(I)当时,求不等式的解集; ‎ ‎(II)已知关于的不等式的解集为,求的值.‎ ‎ ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））不等式选讲:设不等式的解集为,且,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数的最小值.‎ 解:(Ⅰ)因为,且,所以,且 ‎ 解得,又因为,所以 ‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎ 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.‎ 已知>0,求证:‎ ‎[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 答案：D证明:∵ ‎ ‎ ‎ 又∵>0,∴>0,, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;‎ ‎(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ 答案：当=-2时,不等式<化为, ‎ 设函数=,=, ‎ 其图像如图所示 ‎ ‎ ‎ 从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是. ‎ ‎(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为, ‎ ‎∴对∈[,)都成立,故,即≤, ‎ ‎∴的取值范围为(-1,]. ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.‎ ‎(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);‎ ‎(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.‎ 解: ‎ ‎(Ⅰ) , ‎ ‎,其中 ‎ ‎(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识. ‎ 点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h和v互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45. ‎ 所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P到A,B,C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45. ‎ ‎2012年高考题 一、选择题 ．（2012年高考（重庆理））设平面点集,则所表示的平面图形的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 【答案】D ‎ ‎【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. ‎ ．（2012年高考（重庆理））不等式的解集为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 【答案】A 【解析】 ‎ ‎【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题. ‎ ．（2012年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （　　）‎ A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元 [答案]C ‎ ‎[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ‎ 且 ‎ 画可行域如图所示, ‎ 目标函数Z=300X+400Y可变形为 ‎ Y= 这是随Z变化的一族平行直线 ‎ 解方程组 即A(4,4) ‎ ‎[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).‎ ．（2012年高考（山东理））已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A. ‎ ．（2012年高考（辽宁理））若,则下列不等式恒成立的是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】设,则 ‎ 所以所以当时, ‎ 同理即,故选C ‎ ‎【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. ‎ ．（2012年高考（辽宁理））设变量x,y满足则的最大值为 （　　）A．20B．35C．45D．55‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D ‎ ‎【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. ‎ ．（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 （　　）‎ A．50,0 B．30.0 C．20,30 D．0,50‎ ‎ B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为.线性约束条件为 即作出不等式组表示的可行域,易求得点. ‎ 平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元).故选B. ‎ ‎【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: ‎ ‎(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? ‎ ‎(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; ‎ ‎(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; ‎ ‎(4)作答——就应用题提出的问题作出回答. ‎ 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题. ‎ ．（2012年高考（湖北理））设是正数,且,,,则 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. ‎ 解析:由于 ‎ 等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z , ‎ 所以由题知又,答案选C. ‎ ．（2012年高考（广东理））已知变量、满足约束条件,则的最大值为 （　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．‎ 解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11. ‎ ．（2012年高考（福建理））若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为 （　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. ‎ ‎【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力. ‎ ．（2012年高考（福建理））下列不等式一定成立的是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】由基本不等式得,答案C正确. ‎ ‎【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,‎ 掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键. ‎ ．（2012年高考（大纲理））已知,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案D ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法. ‎ ‎【解析】,,,故选答案D. ‎ 二、填空题 ．（2012年高考（新课标理））设满足约束条件:;则的取值范围为_________‎ ‎ 【解析】的取值范围为 ‎ 约束条件对应四边形边际及内的区域: ‎ 则 ‎ ．（2012年高考（浙江理））设aR,若x>0时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则a=______________.‎ ‎ 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: ‎ ‎(A), 无解; ‎ ‎(B), 无解. ‎ 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) ‎ 我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,—1). ‎ 考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1; ‎ 考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:. ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2012年高考（上海春））若不等式对恒成立,则实数 的取值范围是______.‎ ‎ ‎ ．（2012年高考（陕西理））x y ‎1‎ ‎-1‎ 设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为___________.‎ 解析:,,曲线及该曲线在点处的切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得最大值2. ‎ ．（2012年高考（陕西理））观察下列不等式 ‎,‎ 照此规律,第五个不等式为________________________________________.‎ 解析:第五个不等式为 ‎ ．（2012年高考（江苏））已知正数满足:则的取值范围是____. ‎ ‎【答案】. ‎ ‎【考点】可行域. ‎ ‎【解析】条件可化为:‎ ‎. ‎ 设,则题目转化为: ‎ 已知满足,求的取值范围. ‎ 作出()所在平面区域(如图).求出的切 ‎ 线的斜率,设过切点的切线为, ‎ 则,要使它最小,须. ‎ ‎∴的最小值在处,为.此时,点在上之间. ‎ 当()对应点时, , ‎ ‎∴的最大值在处,为7. ‎ ‎∴的取值范围为,即的取值范围是. ‎ ．（2012年高考（江苏））已知函数的值域为,若关于x的不等式 的解集为,则实数c的值为____.‎ ‎ 【答案】9. ‎ ‎【考点】函数的值域,不等式的解集. ‎ ‎【解析】由值域为,当时有,即, ‎ ‎∴. ‎ ‎∴解得,. ‎ ‎∵不等式的解集为,∴,解得. ‎ ．（2012年高考（大纲理））若满足约束条件,则的最小值为_________________.‎ ‎ 答案: ‎ ‎【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值. ‎ ‎【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为. ‎ ．（2012年高考（安徽理））若满足约束条件:;则的取值范围为 ‎【解析】的取值范围为 ‎ 约束条件对应边际及内的区域: 则 ‎ ‎2011年高考题 一、选择题 ‎1.（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是 ‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【答案】C ‎2.（浙江理5）设实数满足不等式组若为整数，则 的最小值是 ‎ A．14 B．16 C．17 D．19‎ ‎【答案】B ‎3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4.（江西理2）若集合，则 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎5.（辽宁理9）设函数，则满足的x的取值范围是 ‎（A），2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）‎ ‎【答案】D ‎6.（湖南理7）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为 ‎ A．（1，） B．（，） ‎ ‎ C．（1,3 ） D．（3，）‎ ‎【答案】A ‎7.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为 ‎ A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]‎ ‎【答案】D ‎8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ‎ A．　　　 B．　　 C．4　　　　　 D．3‎ ‎【答案】C ‎9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=‎ ‎ A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 ‎【答案】C ‎【解析】由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数 ‎10.（福建理8）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是 ‎ A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]‎ ‎【答案】C ‎11.（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为 ‎ （A）1，－1 （B）2，－2 （C） 1，－2 （D） 2，－1‎ ‎【答案】B ‎12.（上海理15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C．D D．‎ ‎【答案】‎ 二、填空题 ‎13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。‎ ‎【答案】2000‎ ‎14.（浙江理16）设为实数，若则的最大值是 ．。‎ ‎【答案】‎ ‎15.（全国新课标理13）若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】-6 ‎ ‎16.（上海理4）不等式的解为 。‎ ‎【答案】或 ‎17.（广东理9）不等式的解集是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎18.（江苏14）设集合, ‎ ‎, 若则实数m的取值范围是______________‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎19.（安徽理19） ‎ ‎（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.‎ ‎ 证明：（I）由于，所以 ‎ 将上式中的右式减左式，得 ‎ ‎ ‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ ‎ （II）设由对数的换底公式得 ‎ ‎ ‎ 于是，所要证明的不等式即为 ‎ 其中 ‎ 故由（I）立知所要证明的不等式成立.‎ ‎20.（湖北理17） ‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式;‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）‎ 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意：当；当 ‎ 再由已知得 ‎ 故函数的表达式为 ‎ （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 ‎ 当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立。‎ ‎ 所以，当在区间[20，200]上取得最大值 ‎ 综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。‎ ‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。‎ ‎21.（湖北理21） ‎ ‎（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则；‎ ‎（2）若…=1，则 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）的定义域为，令 ‎ 当在（0，1）内是增函数；‎ ‎ 当时，内是减函数；‎ ‎ 故函数处取得最大值 ‎ （II）（1）由（I）知，当时，‎ ‎ 有 ‎ ，从而有，‎ ‎ 得，‎ ‎ 求和得 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ （2）①先证 ‎ 令 ‎ 则于是 ‎ 由（1）得，即 ‎ ‎ ‎ ②再证 ‎ 记，‎ ‎ 则，‎ ‎ 于是由（1）得 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 综合①②，（2）得证。‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010上海文）15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （ ）‎ ‎（A）1. （B）. （C）2. （D）3.‎ 答案 C 解析：当直线过点B(1,1)时，z最大值为2‎ ‎2.（2010浙江理）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数 ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ 答案 C 解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎3.（2010全国卷2理）（5）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.‎ ‎【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C ‎4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为 ‎（A）1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】C：本题考查了线性规划的知识。‎ ‎∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时 ‎5.（2010全国卷2文）（2）不等式＜0的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ‎ ∵ ，∴ ，故选A ‎6.（2010江西理）3.不等式 的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。‎ 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。‎ ‎7.（2010安徽文）（8）设x,y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大值是 ‎（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8‎ 答案 C ‎【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6。‎ ‎【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.‎ ‎8.（2010重庆文）（7）设变量满足约束条件则的最大值为 ‎（A）0 （B）2‎ ‎（C）4 （D）6‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大 由B（2,2）知4‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，可知答案选A，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎10.（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. ‎ 答案 B 解析：考察均值不等式 ‎，整理得 ‎ 即，又，‎ ‎11.（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 A.—2 B. 4 C. 6 D. 8 ‎ 答案 C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6‎ ‎12.（2010北京理）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ 答案：A ‎13.（2010四川理）（12）设，则的最 小值是 ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ 解析：‎ ‎＝ ‎ ‎＝‎ ‎≥0＋2＋2＝4‎ 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件.‎ 答案：B y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎14.（2010四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案：B ‎ 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ ‎15.（2010天津文）(2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为 ‎（A）12 （B）10 （C）8 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.‎ ‎16.（2010福建文）‎ ‎17.（2010全国卷1文）（10）设则 ‎（A）（B） (C) (D) ‎ 答案C ‎ ‎【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.‎ ‎【解析1】 a=2=, b=In2=,而,所以a0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎【答案】CD DE ‎【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.‎ ‎17.（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。。‎ ‎【答案】 27‎ ‎【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ 三、解答题 ‎1.（2010广东理）19.（本小题满分12分）‎ ‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ ‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？‎ 解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则。‎ ‎ 可行域为 ‎12 x+8 y ≥64‎ ‎6 x+6 y ≥42‎ ‎6 x+10 y ≥54‎ x≥0， x∈N ‎ y≥0， y∈N ‎ 即 ‎3 x+2 y ≥16‎ ‎ x+ y ≥7‎ ‎3 x+5 y ≥27‎ x≥0， x∈N ‎ y≥0， y∈N ‎ 作出可行域如图所示：‎ ‎ 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元．‎ ‎2.（2010广东文）19.（本题满分12分）‎ 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？‎ 解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为F，则F，由题意知：‎ 画出可行域：‎ 变换目标函数：‎ ‎3.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎【答案】CD DE ‎【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.‎ ‎2009年高考题 第一节 简单不等式及其解法 一、选择题 ‎1.（2009安徽卷理）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 ‎ A.p:＞b+d , q:＞b且c＞d ‎ B.p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限 ‎ C.p: x=1, q: ‎ D.p:a＞1, q: 在上为增函数 ‎ 答案 A 解析 由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A。‎ ‎2.（2009安徽卷文）“”是“且”的 ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得时必有.若时，则可能有，选A。‎ ‎3.（2009四川卷文）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的 ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B ‎ 解析 显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞‎ ‎ 即由“－＞－”“＞”‎ ‎4.（2009天津卷理）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 A. B. C. D.‎ 答案 C ‎5.（2009四川卷理）已知为实数，且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）‎ 答案 B 解析 推不出；但，故选择B。‎ 解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。‎ ‎6.（2009重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 A 解析 因为对任意x恒成立，所以 二、填空题 ‎7.（2009年上海卷理）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，‎ 则x满足的条件是________________________ . ‎ 答案 ‎ 解析 依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： ‎ 三、解答题 ‎8.（2009江苏卷）(本小题满分16分) ‎ 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单 价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度 为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为. ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的 单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与 卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=； ‎ ‎(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的综合满意度为多少？ ‎ ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 ‎ 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。‎ ‎(1)‎ 当时，,‎ ‎, = ‎ ‎（2）当时，‎ 由，‎ 故当即时， ‎ 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。‎ ‎（3）（方法一）由（2）知：=‎ 由得：， ‎ 令则，即：。‎ 同理，由得：‎ 另一方面，‎ 当且仅当，即=时，取等号。‎ 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。‎ ‎ ‎ 第二节 基本不等式 一、 选择题 ‎ ‎1.（2009天津卷理）设若的最小值为 ‎ A . 8 B . 4 C. 1 D. ‎ 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。‎ 答案 C 解析 因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择C ‎2.（2009重庆卷文）已知，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ 答案 C 解析 因为当且仅当，且 ，即时，取“=”号。‎ 二、填空题 ‎ ‎ 3.（2009湖南卷文）若，则的最小值为 .‎ 答案 2‎ 解析 ，当且仅当时取等号.‎ 三、解答题 ‎4.（2009湖北卷文）（本小题满分12分） ‎ 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数： ‎ ‎（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。‎ 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+ ‎ ‎(II)‎ ‎.当且仅当225x=时，等号成立.‎ 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. ‎ 第三节 不等式组与简单的线性规划 一、选择题 x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ ‎1. (2009山东卷理)设x，y满足约束条件 ，‎ 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，‎ 则的最小值为 ( ). ‎ A. B. C. D. 4‎ 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）‎ 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,‎ 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,‎ 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.‎ ‎【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.‎ ‎2.（2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B A x D y C O y=kx+‎ 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）‎ ‎∴△ABC=，设与的 交点为D，则由知，∴‎ ‎∴选A。 ‎ ‎3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D.‎ 解析 由可得，故阴 =，选C。‎ 答案 C ‎4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D ‎（3，4）‎ ‎（0，6）‎ O ‎（，0）‎ ‎9‎ ‎13‎ 解析 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：‎ ‎ A原料 ‎ B原料 甲产品吨 ‎ 3‎ ‎ 2‎ ‎ 乙产品吨 ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ 则有：‎ ‎ 目标函数 ‎ 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：‎ ‎ 当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D ‎5.（2009宁夏海南卷理）设x,y满足 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知，当过点（2，0）时，，但无最大值。选B.‎ ‎6.（2009宁夏海南卷文）设满足则 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 ‎ 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B ‎7.(2009湖南卷理)已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆 在区域D内 的弧长为 [ B]‎ A . B. C. D.‎ ‎ ‎ 答案 B 解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选B现。‎ ‎8.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.23‎ 答案 B ‎【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。‎ 解析 画出不等式表示的可行域，如右图， ‎ 让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。 ‎ ‎9.（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 ‎ 答案 D ‎【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）‎ 解析 设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故本题即 已知约束条件，求目标函数的最大 ‎ 值，可求出最优解为，故，故选 ‎ 择D。‎ ‎10.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 ‎ 答案 D 解析 如图可得黄色即为满足 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.‎ 二、填空题 ‎11.（2009浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 ． ‎ 答案 4 ‎ 解析 通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎12.（2009浙江卷文）若实数满足不等式组则的最小 是 ． ‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ ‎13.（2009北京文）若实数满足则的最大值为 .‎ 答案 9‎ 解析：本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. ‎ ‎ 如图，当时，‎ 为最大值. ‎ 故应填9.‎ ‎14.（2009北京卷理）若实数满足则的最小值为__________.‎ 答案 ‎ ‎ ‎ 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ ‎ 如图，当时， ‎ 为最小值.‎ 故应填.‎ ‎15.(2009山东卷理)不等式的解集为 . ‎ 答案 ‎ 解析 原不等式等价于不等式组①或②‎ 或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为. ‎ ‎16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. ‎ 答案 2300‎ 解析 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: ‎ ‎ 产品 ‎ 设备 ‎ A类产品 ‎ ‎(件)(≥50) ‎ B类产品 ‎ ‎(件)(≥140) ‎ 租赁费 ‎ ‎(元) ‎ 甲设备 ‎ ‎5 ‎ ‎10 ‎ ‎200 ‎ 乙设备 ‎ ‎6 ‎ ‎20 ‎ ‎300 ‎ 则满足的关系为即:, ‎ 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. ‎ ‎【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.. ‎ ‎17.（2009上海卷文） 已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_______. ‎ 答案 －9‎ 解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。‎ ‎2008年高考题 第一节 简单不等式及其解法 一、选择题 ‎1.（2008天津）已知函数，则不等式的解集是(　　)‎ A. 　 B.　 　C.　 　D.‎ 答案 A ‎2.（2008江西）若，则下列代数式中值最大 的是 （　　）‎ A． 　 B． 　 C． 　 D． ‎ 答案 A ‎3.（2008浙江）已知，b都是实数，那么“”是“>b”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ 答案 D ‎ ‎4.（2008海南）已知，则使得都成立的取值范 围是 （ ）‎ A.（0，） B. （0，） ‎ C. （0，） D. （0，）‎ ‎ 答案 B ‎ ‎5、（2008山东）不等式的解集是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析 本小题主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C;由排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。‎ 答案D ‎6、（2007广东）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 解析 利用赋值法：令排除A,B,C,选D ‎ 答案 D ‎7、（2007湖南）不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎8．（2007福建）已知集合A＝，B＝，且，则实数 的取值范围是 （ ）‎ A． B． a<1 C． D．a>2‎ 答案 C ‎9．(2007安徽)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ ‎(A)a＜-1 (B)≤1 (C) ＜1 D.a≥1 ‎ 答案 B ‎10．(2007浙江)“x＞1”是“x2＞x”的 （ ）‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 　　 (D)既不充分也不必要条件 答案 A ‎11．（2007湖南）1．不等式的解集是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案D ‎12．（2007广东）．已知集合M={x|1+x>0}，N={x|>0}，则M∩N= （ ）‎ ‎ A．{x|-1≤x＜1 B．{x|x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x|x≥-1}‎ 答案C 二、 填空题 ‎19、（2008上海）不等式的解集是　　　　　．‎ 答案 （0，2）‎ ‎20.（2008山东）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 .‎ 答案 （5，7）.‎ ‎21.（2008江西）不等式的解集为 ．‎ 答案 ‎ 第二节 基本不等式 一、 选择题 ‎ ‎1.（2008陕西）“”是“对任意的正数，”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A ‎2．（2007北京）如果正数满足，那么（　A　）‎ Ａ．，且等号成立时的取值唯一 Ｂ．，且等号成立时的取值唯一 Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一 Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一 答案 A 二、 填空题 ‎10.（2008江苏）已知，，则的最小值 ．‎ 答案 3‎ ‎11.（2007上海）已知，且，则的最大值为 答案 ‎ ‎12．(2007山东)函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny ‎+1=0上，其中mn>0,则的最小值为 .‎ 答案 8‎ 第三节 不等式组与简单的线性规划 一、 选择题 ‎1、（2008山东）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )‎ A .[1,3] B.[2, C.[2,9] ‎ D.[,9]‎ 答案 C 解析 本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需 研究过、两种情形。且即 ‎2、（2008广东）若变量满足则的最大值是（ ）‎ A．90 B．80 C．70 D．40‎ 答案 C 解析 画出可行域（如图），在点取最大值 第二部分 四年联考题汇编 ‎2013-2014年联考题 一．基础题组 ‎1. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】设满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知满足约束条件,点A(2，1)， B(x，y)，为坐标原点，则最大值时为 .‎ 考点：线性规划.‎ ‎3. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】设满足约束条件，则的取值范围为 .‎ 二．能力题组 ‎1. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知：在上为增函数，即，只需当时，，‎ ‎∴，∴.‎ 考点：1.对数函数的单调性；2.不等式的解法.‎ ‎2. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】设实数x,y满足,若目标函数的最大值为10，则的最小值为 .‎ 三．拔高题组 ‎1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2012-2013年联考题 ‎1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知向量，若，则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B．12 C．6 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，即，所以。则，当且仅当取等号，所以最小值为6，选C.‎ ‎2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】关于的不等式的解为或，则点位于 ‎ ‎（A）第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由不等式的解集可知，是方程的两个根，且，不妨设，‎ ‎，所以，即点的坐标为，位于第一象限，选A.‎ ‎3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，由得，所以，所以，即，画出可行域如图，‎ 可得=x+2y∈[0，12]．故选D．‎ ‎4.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设动点满足，则的最大值是 A. 50 B. 60 C. 70 D. 100‎ ‎ 【答案】D ‎【解析】作出不等式组对应的可行域，由得，，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时也最大，最大为，选D. ‎ ‎5.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量==,若，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知.故选C.‎ ‎6.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知函数则满足不等式的x的取值范围为 （ ）‎ ‎ A． B．（－3，0） C．（－3，1） D．（－3，－）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数图象可知，不等式的解为即，故选B.‎ ‎7.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】设x、y满足 则 ‎ ‎ ‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 ‎ C．有最大值3，无最大值 D．既无最小值，也无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.‎ ‎8.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】设变量满足约束条件的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】做出约束条件表示的可行域如图，由图象可知。的几何意义是区域内的任一点到定点 的斜率的变化范围，由图象可知，，所以，即，所以取值范围是，选C.‎ ‎9.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】若实数满足不等式组 则的最大值是( )‎ A．11 B．23 C．26 D．30‎ ‎【答案】D ‎【解析】做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得，所以最大值为30，选D.‎ ‎10【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.‎ ‎11【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kx－y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式组所表示的区域如图2所示，直线过时z取最大值，即直线在y轴上的截距最小，由图可得直线的斜率 ‎，故选C. ‎图2‎ ‎12【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①； ②； ③ ； ‎ ‎④； ⑤‎ ‎【答案】①，③，⑤．‎ ‎【解析】对于命题①由，得，命题①正确；‎ 对于命题②令时，不成立，所以命题②错误；‎ 对于命题③，命题③正确；‎ 对于命题④令时，不成立，所以命题④错误；‎ 对于命题⑤，命题⑤正确．‎ 所以正确的结论为①，③，⑤．‎ ‎13【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，做直线，平移直线，由图象可知当直线经过C点时，直线的截距最小，此时最小，此为,代入目标函数得。‎ ‎14【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】已知的最小值是5，则z的最大值是______.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由，则，因为的最小值为5，所以，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，所以直线CD的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即D(3，1),代入直线得。‎ ‎15【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知的最大值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ‎16【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】若实数满足，则的值域是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是.‎ ‎17【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】对于满足的实数，使恒成立的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原不等式等价为，即，所以，令，则函数表示直线，所以要使，则有，即且，解得或，即不等式的解析为.‎ ‎18【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得要使解集中只有一个整数，则由可知，不等式的解为，且，即，所以的取值范围是。‎ ‎19【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为 .‎ ‎【答案】-12‎ ‎【解析】的最大值为12，即 ‎，由图象可知直线也经过点B.由，解得，即点,代入直线得。‎ ‎20【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】若关于x的不等式对任意在上恒成立，则实 常数的取值范围是 ； ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】得，即恒成立。因为，即在恒成立，令，则，二次函数开口向上，且对称轴为。当时，函数单调递减，要使不等式恒成立，则有，解得。当，左边的最小值在处取得，此时，不成立，综上的取值范围是，即。‎ ‎21【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，做直线，平移直线 ‎，由图象可知当直线经过C点时，直线的截距最小，此时最小，此为,代入目标函数得。‎ ‎22【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】若变量x、y满足，若的最大值为，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，因为的最大值为，所以，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时有最大值，由，解得，即。‎ ‎23【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数f（x）=x+2x+a（共10分）‎ ‎（1）当a=时，求不等式f（x）>1的解集；（4分）‎ ‎（2）若对于任意x∈[1，+），f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（6分）‎ ‎【答案】（1）x+2x+>1‎ x+2x->0‎ ‎2 x+4x-1>0 2分 ‎{x|x>-1+或x<-1-} 2分 ‎（2）x+2x+a>0 x∈[1,+ ）恒 a>-x-2x 1分 令g（x）=-x-2x 当对称轴x=-1 2分 当x=1时，g（x）=-3 2分 ‎∴a>-3 1分 ‎24【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）‎ 已知是三次函数的两个极值点，且,,求动点所在的区域面积.‎ ‎【答案】由函数可得，‎ ‎, ………………2分 ‎ 由题意知，是方程的两个根， ……5分 且,,因此得到可 行域,‎ ‎…………9分 即,画出可行域如图. ………11分 ‎ 所以. ………12分 ‎25【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】.（本题满分12分）‎ 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米。‎ ‎（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。‎ ‎【答案】‎ ‎26【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】‎ ‎（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.‎ ‎（注：年利润一年销售收入一年总成本）‎ ‎【答案】‎ ‎2011-2012年联考题 题组一 选择题 ‎1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件，则的最小值是（ ▲ ） ‎ A．15 B．－18 C．26 D．－20‎ 答案 B.‎ ‎2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设满足约束条件：，则的最小值为（　　）‎ A．6 　B．－６　　　　　　 Ｃ．　　　　　　　Ｄ．－７‎ 答案 B.‎ ‎3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若，则 ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案 D.‎ ‎4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C.‎ ‎5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D， P（）为D内的一个动点，则目标函数的最小值为 ‎（A） （B） （C）0 （D）‎ 答案 B.‎ ‎6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式的解集为,则函数的图象为（ ）‎ 答案 C.‎ ‎7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C.‎ ‎8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0 C (lga)2<(lgb)2 D．()a<()b 答案 A.‎ ‎9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设的最小值是 （ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ 答案 C.‎ 填空题 ‎10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，不等式f（）＞f（）的解集为 。‎ 答案 ‎ ‎11．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）若和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立，则的取值范围是 ‎ 答案 ‎ ‎12．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式的解集为 。‎ 答案 ‎ ‎13．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）区域D的点满足不等式组，若一个圆C落在区域D中，那么区域D中的最大圆C的半径为 。‎ 答案 ‎ ‎14、（湖北省武穴中学2011届高三12月月考理）若a+1>0,则不等式的解集为 ‎ 答案 ‎ ‎15.（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是　 　.‎ 答案 [0,4]　.‎ 解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤恒成立，‎ 而≥＝2，则f(x)≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4.‎ ‎16．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ ‎ 已知实数的最小值为 ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。‎ ‎【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取得最小值。‎ ‎【考点】不等式。‎ ‎【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。‎ 解答题 ‎17.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）‎ ‎(本题13分)已知函数为奇函数。‎ ‎(1)求并写出函数的单调区间； (2)解不等式 答案 14.‎ ‎18．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分10分）‎ 选修4－5：不等式选讲 ‎ ‎（I）已知都是正实数，求证：；‎ ‎（II）设函数，解不等式．‎ 答案 （1）证明：（Ⅰ）∵‎ ‎，‎ 又∵，∴，∴，‎ ‎∴． …………（5分）‎ 法二：∵，又∵，∴，‎ ‎∴，展开得，‎ 移项，整理得． …………（5分）‎ 不等式选讲．解：（法一）令y=|2x+1|-|x-4|，则 y=……………………2分 作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，‎ 它与直线的交点为和．…… 4分 所以的解集为．…5分 解：（法二）‎ ‎19．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ ‎（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离 ‎（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定．‎ ‎（1）当时，求机动车车速的变化范围；‎ ‎（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大．‎ ‎【分析】（1）把代入，解这个关于的不等式即可；（2）根据满足的不等式，以最小车距代替，求此时的最值即可。‎ ‎【解析】（1） =av2, v=25, ∴ 025时, Q=≤, ‎ ‎ ∴当v=50时Q最大为．………12分 ‎【点评】不等式 ‎【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。‎ ‎20．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）选修4－5：不等式选讲 已知函数（I）求不等式 的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【分析】（1）只要分区去掉绝对值，即转化为普通的一次不等式，最后把各个区间内的解集合并即可；（2）问题等价于。‎ ‎【解析】（I）原不等式等价于 或 3分 解，得即不等式的解集为 6分 ‎（II） 8分 ‎ 10分 ‎【考点】不等式选讲 ‎【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。‎ ‎21. （甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）‎ ‎(12分)已知函数满足且对于任意, 恒有成立. (1) 求实数的值; (2) 解不等式.‎ 答案 （1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．‎ ‎ 将①式代入上式得:, 即故．‎ ‎ 即, 代入② 得,．‎ ‎ （2） 即 ∴‎ 解得:　　　, ∴不等式的解集为．‎ ‎22.（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）‎ ‎ (12分)已知函数，．‎ ‎（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 答案 22.(1)3,2;(2)(1,4)‎ ‎23．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）（12分）已知函数．‎ ‎ （1）求在上的最大值；‎ ‎ （2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎ （3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．‎ 答案 （1），令，得或（舍）‎ ‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，是函数在上的最大值 ‎（2）对恒成立 若即，恒成立 由得或 设 依题意知或在上恒成立 都在上递增 或，即或 ‎（3）由知，‎ 令，则 当时，，于是在上递增；当时，，于是在上递减，而，‎ ‎ 即在上恰有两个不同实根等价于 ‎ ，解得 ‎24.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）‎ 设是函数的一个极值点。‎ ‎（Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。‎ ‎ 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,‎ 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，‎ 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ‎＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.‎ 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，‎ 所以x+a+1≠0，那么a≠－4.‎ 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； ‎ 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。‎ 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；‎ 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；‎ 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，‎ 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，‎ 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].‎ 又在区间[0，4]上是增函数，‎ 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，‎ 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 ‎（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________．‎ 答案 ，‎ ‎14．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）‎ 设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．‎ 答案 ‎ ‎15．（江苏泰兴市重点中学2011届文）设函数，对任意的 ‎,恒成立，则实数的取值范围是____________．‎ 答案 。‎ ‎16．（浙江省桐乡一中2011届高三文）已知变量x，y，满足，则的取值范围为　　‎ 答案 [13，40]　‎ ‎17．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．‎ 答案 ， ‎ ‎18. （福建省四地六校联考2011届高三文）已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为 . ‎ 答案 15.‎ ‎19 ．（广东省河源市龙川一中2011届高三文）‎ 若变量x,y满足约束条件 ‎ 则z=2x+y的最大值为 ‎ 答案 3.‎ ‎20．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）‎ 在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝ ，经推理可得到＝ ．‎ 答案： ．当时，区域内的整点个数分别为个，共．‎ 三， 解答题 ‎ ‎21．（四川成都市玉林中学2010—2011学年度）（本题满分12分）‎ 已知函数时都取得极值 ‎ （I）求a、b的值与函数的单调区间；‎ ‎ （II）若对的取值范围。‎ 答案 21.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）‎ 由 …………………………3分 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 所以函数……8分 ‎（II）‎ 当 所以为最大值。 ………………11分 要使 解得 ………………12分 ‎22．（江苏泰兴市重点中学2011届）（16分）已知数列是等差数列，‎ ‎ （1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；‎ ‎ （2）如果，试写出数列的通项公式；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使 当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。‎ 答案22．解：（1）设的公差为，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数列是以为公差的等差数列…………4分 ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减：‎ ‎ …………6分 ‎ ‎ ‎ …………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎ （3）因为当且仅当时最大 ‎ …………12分 ‎ 即 ‎ …………15分 ‎23．（江苏泰兴市重点中学2011届理）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。‎ 答案 23．依题意，得 ‎ 因为…………6分 ‎ （II）令…………8分 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 又 ‎ 因此， 当…………12分 ‎ 要使得不等式恒成立，则 ‎ 所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立 ‎24．（江苏泰兴市重点中学2011届理）设n为大于1的自然数，求证：‎ 答案 24．证明：（放缩法）‎ ‎ 解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），‎ ‎ （1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）‎ ‎25.（江苏省2011届理）已知常数。‎ 答案 25.‎ ‎26．（江苏泰兴2011届高三文）已知集合A＝，B＝．‎ ‎⑴当a＝2时，求AB； ⑵求使BA的实数a的取值范围．‎ 答案 26． 解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）．‎ ‎（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2） ‎ 要使BA，必须，此时a＝－1； ‎ 当a＝时，A＝，使BA的a不存在； 当a＞时，A＝（2，3a＋1）‎ 要使BA，必须，此时1≤a≤3． ‎ ‎27. (江西省上高二中2011届高三理）已知常数。‎ 答案 27.‎ ‎28．（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：‎ ‎（其中为小于6的正常数）‎ ‎（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）‎ 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ 答案 28．解：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0‎ ‎ 当时，‎ 当且仅当时取等号 所以当时，，此时 ‎ 当时，由知 函数在上递增，，此时 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 ‎ 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 ‎29．（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知，。‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）求证：。‎ 答案 29、解：（1）因为，，所以 ‎，‎ 得。‎ 当且仅当，即时，‎ 有最小值。………………5分 ‎（2）因为，‎ 所以，当且仅当取等号。‎ 又，‎ 于是。…………10分 ‎30．（河南信阳市2011届高三理）（本小题满分10分）‎ ‎ 选做题：任选一道，两题均做只以（I）的解答计分。‎ ‎ （I）已知，求证：‎ ‎ （II）已知正数a、b、c满足，求证：‎ 答案 30．（I）证明：因为x，y，z均为正数，‎ 所以 …………4分 同理可得 …………6分 当且仅当时，以上三式等号都成立，‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，‎ 得 …………10分 ‎ （II）证明：要证 只需证 …………3分 即只要证 …………5分 两边都是非负数，‎ 这就是已知条件，‎ 且以上各步都可逆，‎ ‎ …………10分 ‎2010年联考题 题组二 一、选择题 ‎1．（肥城市第二次联考）用铁丝制作一个形状为直角三角形且围成的面积为1的铁架框，有下列四种长度的铁丝供选择，较经济（即够用且耗材最少）的是（ ）‎ A．4.6cm 　 B．４.8cm 　 C．5cm D．5.2cm ‎ 答案 C 解：设直角三角形的两直角边长分别为、，则由题意有，，其周长为，结合各选项可知，选C．‎ ‎2.（昆明一中一次月考理）若a>b，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D．‎ 答案:D ‎3．（肥城市第二次联考）银行计划将某客户的资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润。年终银行必须回笼资金，同时按一定的回报率支付给客户。为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给客户的回报率最大值为 （ ）‎ ‎ A．5% B．10% C．15% D．20% ‎ 答案 C 解析：设银行在两个项目上的总投资量为s，按题设条件，在M、N上的投资所得的年利润为、分别满足：，；银行的年利润P满足：；这样，银行给客户的回报率为，而 ‎，选C。‎ ‎4.（昆明一中三次月考理）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ‎ ‎ A． B. C． D．‎ 答案：B ‎5.（昆明一中三次月考理）以依次表示方程的根，则的大小顺序为 A． B． C． D．‎ 答案：C ‎6．（师大附中理）将，从小到大排列是 A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B ‎7．（玉溪一中期中文）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )‎ A． B．1 C． D．5 ‎ 答案：C ‎8．（祥云一中三次月考理）对于，给出下列四个不等式 ‎ ‎ ① ② ‎ ‎ ③ ④ ‎ ‎ 其中成立的是 ‎ ‎ A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④‎ 答案：D ‎9．（祥云一中三次月考文）若为△ABC的三条边，且，则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B ‎10．（祥云一中三次月考理）若，则下列结论不正确的是 ‎ A. B. ‎ C. D. +‎ 答案：D ‎11．（昆明一中四次月考理）已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：D 二、填空题 ‎12．（安庆市四校元旦联考）若实数x,y满足条件，为虚数单位），‎ 则的最大值和最小值分别是 ， ．‎ 答案 ‎ ‎13.（昆明一中一次月考理）已知实数、满足则的最大值是 .‎ 答案：15‎ ‎14. （祥云一中三次月考理）不等式3的解集是 ‎ 答案：‎ ‎15.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）若不等式组表示的平面区域为，所表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为____________________.‎ 答案 ‎16.（昆明一中二次月考理）若实数满足不等式组，则的最大值是 .‎ 答案：9‎ ‎17.（三明市三校联考）若不等式的解集为区间,且,则．‎ 答案 ‎18.（肥城市第二次联考）已知，由不等式，，‎ ‎，……，启发我们得到推广结论：‎ ‎，则___________。‎ 答案：‎ ‎19．（昆明一中四次月考理）已知实数x、y满足：，则的最小值是 .‎ 答案： ‎ ‎20.（祥云一中月考理）已知满足，则的最大值为 。‎ 答案：29‎ ‎21.（祥云一中月考理）已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为 。‎ 答案：‎ ‎22．（池州市七校元旦调研）若实数满足不等式组则的最小值 是 ．‎ 答案 4 ‎ ‎【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ 三、解答题 ‎23．（安庆市四校元旦联考）（本题满分14分）要建一间地面面积为20，墙高为的长方形储藏室，在四面墙中有一面安装一扇门（门的面积和墙面的面积按一定的比例设计）。已知含门一面的平均造价为300元，其余三面的造价为200元，屋顶的造价为250元。问怎样设计储藏室地面矩形的长与宽，能使总价最低，最低造价是多少？‎ 解：设地面矩形在门正下方的一边长为 ，则另一边的长为，设总造价为元，则 ‎ ‎ 因为 当且仅当 （即时 取“=”‎ 所以，当时有最小的值此时 答：当储藏室地面矩形在门正下方的一边长为，另一边的长为时，‎ 能使总造价最低造价为17000元。‎ ‎24.（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）已知函数 ‎ ‎（1）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上恰好有两个相异实根，求实数的取值范围.‎ 解：(1) ，‎ ‎ 时，‎ ‎ 当 ‎ ‎ （2）设 ‎ 即 ‎ 则由 ‎ 由 ‎ ‎ 在上单调递减，在上单调递增。‎ ‎ 为极小值点，要使恰好在上有两个相异零点，只要方程和上各有一个实根， ‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009青岛一模）已知，则“”是“恒成立”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C ‎2、（2009昆明市期末）不等式ln2x+lnx＜0的解集是 （ ）‎ ‎ A．（e-1，1） B（1，e） C．（0，1） D．（0，e-1）‎ 答案 A ‎3、（2009番禺一模）已知点与点在直线的两侧，则下列说法正确的是（ 　）‎ ‎ ① ‎ ‎② 时，有最小值，无最大值 ‎③ 恒成立 ‎ ‎④ 当,, 则的取值范围为（-‎ ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④ ‎ 答案 D ‎4、（2009枣庄一模）不等式的解集是 （ ）‎ ‎ A． ‎ ‎ B．‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ 答案C ‎5、（2009潮州实验中学一模）若集合，则实数的值的集合是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案 D ‎6、（2009金华一中2月月考）与不等式≥0同解的不等式是( )‎ ‎ A．(x-3)(2-x)≥0 B(x-2)≤0 C．≥0 D．(x - 3)(2 - x)>0‎ 答案 B ‎7、（2009玉溪一中期中）设，是满足的实数，则 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 答案 B ‎8、（2009宣威六中第一次月考）在区间上的最大值是（ C ）‎ A． B． C．2 D．4‎ 答案 C ‎9、（2009台州市第一次调研）已知不等式的整数解构成等差数列{}，则数列{}的第四项为 ‎（A） （B） 　 （C） 　 （D）或 答案 D ‎10、（2009临沂一模）若实数x，y满足，则的取值范围是 A、（－1，1） B、（－∞，－1）∪(1,＋∞) C、（－∞，－1） D［1,＋∞)‎ 答案 B ‎11、（2009玉溪一中期末）如果点P在平面区域上,点Q在曲线最小值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案 A 解析：点P在平面区域上,画出可行域，点Q在曲线最小值圆上的点到直线的距离，即圆心(0，－2)到直线的距离减去半径1，得，选A。‎ ‎12、（2009云南师大附中）设变量x、y满足约束条件的最小值为 ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 9‎ 答案 B ‎13、（2009杭州高中第六次月考）已知实数x, y满足, 如果目标函数z=x–y的最小值为–1，则实数m等于（ ）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ 答案 D ‎14、（2009嘉兴一中一模）已知实数、满足 ，每一对整数对应平面上一个点，经过其中任意两点作直线，则不同直线的条数是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案 B ‎15、（2009桐庐中学下学期第一次月考）设不等式组表示的平面区域是，若中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有个，则实数的取值范围是 （ ） 　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D． ‎ 答案 C 二、填空题 ‎1、（2009玉溪一中期中）若关于x的不等式的解集不是空集，则a的取值范围是 ．‎ 答案 ‎ ‎2、（2009宁波十校联考）已知圆为正实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆C上，则的最小值为 。‎ 答案 ‎ ‎3、（2009上海普陀区）不等式的解集为 .‎ 答案 ‎ ‎4、（2009日照一模）给出下列四个命题：‎ ‎ ①若，则；‎ ‎ ②若，则；‎ ‎ ③若正整数和满足；，则；‎ ‎ ④若，且，则；‎ ‎ 其中真命题的序号是_____________________(请把真命题的序号都填上)。‎ 答案 ②③‎ ‎5、（2009卢湾区4月月考）不等式的解为 ． ‎ 答案 ‎ ‎6、（2009上海十四校联考）实数x、y满足不等式组 的最大值为 ‎ 答案 4‎ ‎7、（2009昆明市期末）满足约束条件的点P(x，y)所在区域的面积等于 。‎ 答案 ‎ ‎8、（2009临沂一模）如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分（包括边界），则这个不等式组是 。‎ 答案 ‎ ‎9、（2009杭州二中第六次月考）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 ．‎ 答案 或 ‎10、（2009日照一模理）设 若的充分不必要条件，则r的取值范围是 .‎ 答案 （0，］‎ ‎11、（2009上海九校联考）已知点在不等式组所表示的平面区域内， ‎ 则的值域为 ‎ 答案 ‎ ‎12、（2009杭州学军中学第七次月考）已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值是，则实数= 。‎ 答案 －6‎ ‎13、（2009金华十校3月模拟）不等式组，表示的平面区域的面积是 ‎ 答案 ‎ ‎14、（2009上海闸北区）设实数满足条件则的最大值是____________.‎ 答案 4‎ ‎15、（2009金华一中2月月考）．若实数满足，则的最大值是_________________。‎ 答案9‎ ‎16、（2009宁波十校联考）.已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在平面区域的面积是 。‎ 答案 4‎ ‎17、（2009上海卢湾区一模考）解不等式：‎ 解：原不等式的解集为