高中数学第7章（第9课时）两条直线的位置关系4 7页

课 题：7.3两条直线的位置关系（四）‎ ‎―点到直线的距离公式 教学目的：‎ ‎1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； ‎2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 ‎3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 教学重点：点到直线的距离公式 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：   前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离.‎ 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.‎ 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．特殊情况下的两直线平行与垂直．‎ 当两条直线中有一条直线没有斜率时：‎ ‎(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；‎ ‎(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 ‎2．斜率存在时两直线的平行与垂直：‎ 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 已知直线、的方程为：，‎ ‎：‎ ‎∥的充要条件是 ‎ ‎⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．‎ 已知直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则．‎ ‎3.直线到的角的定义及公式：‎ 直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角. 到的角θ：0°＜θ＜1８0°， 如果如果，‎ ‎4．直线与的夹角定义及公式: ‎ 到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角：0°＜≤90°.如果如果，.‎ ‎5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：‎ 是否有惟一解 二、讲解新课：‎ ‎1．点到直线距离公式：‎ 点到直线的距离为：‎ ‎ （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?‎ ‎（2）解决方案 方案一：根据定义，点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长. ‎ 设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d ‎ 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，‎ 由得.‎ 所以，｜PＲ｜＝｜｜＝‎ ‎｜PS｜＝｜｜＝‎ ‎｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜‎ 所以 可证明，当A＝0或B＝0时，以上公式仍适用 ‎2．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则与的距离为 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即，∴d＝ ‎ 三、讲解范例：‎ 例1 求点到下列直线的距离.‎ ‎(1)；(2) ‎ 解：(1)根据点到直线的距离公式得 ‎(2)因为直线平行于轴，所以 ‎ 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；‎ ‎(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.‎ 例2 求两平行线：，：的距离.‎ 解法一：在直线上取一点P(４，0），因为∥，所以点P到的距离等于与的距离.于是 解法二：∥又.‎ 由两平行线间的距离公式得 ‎ 四、课堂练习：‎ 课本P53练习 ‎1.求原点到下列直线的距离：‎ ‎(1)3＋2－26＝0；(2) ＝‎ 解：(1).(2)∵原点在直线＝上，∴d＝0‎ ‎2.求下列点到直线的距离：‎ ‎(1)A（－2，3），3＋４＋3＝0；(2)B（1，0），＋－＝0；‎ ‎(3)C（1，－2），４＋3＝0.‎ 解：(1) (2)‎ ‎(3) ‎ ‎3.求下列两条平行线的距离：‎ ‎(1)2＋3－８＝0，2＋3＋1８＝0，‎ ‎(2)3＋４＝10，3＋４＝0.‎ 解：(1)在直线2＋3－８＝0上取一点P（４，0），则点P到直线2＋3＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d＝‎ ‎(2)在直线3＋４＝0上取一点O（0，0），则点O到直线3＋４＝10的距离就是两平行线的距离，∴＝2‎ 五、小结 ：‎ 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业：‎ 课本P53习题7.3‎ ‎13.求点P(－5，7）到直线12＋5－3＝0的距离.‎ 解：‎ ‎14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d取下列各值，求的值：‎ ‎(1)d＝４，（2）d＞４‎ 解：(1)＝４，解得＝2或＝‎ ‎(2)＞４，解得＜2或＞‎ ‎15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则与的距离为 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为 又 ‎ 即，∴d＝ ‎ ‎16.求两条平行线3－2－1＝0和3x－2＋1＝0的距离 解：在直线3－2－1＝0上任取一点P(0，－），则点P到直线3‎ ‎－2＋1＝0的距离就是两平行线间距离， ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎