2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 10页

www.ks5u.com ‎11．3.2　直线与平面平行 ‎[课程目标] 1.掌握直线和平面的位置关系； 2.理解并掌握直线和平面平行的判定定理； 3.理解并掌握直线和平面平行的性质定理．‎ 知识点一　　直线和平面平行的判定定理 ‎[填一填]‎ ‎1．直线与平面的位置关系 ‎2.直线与平面平行的判定定理 ‎(1)文字叙述：如果平面外的一条直线与平面内 的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．‎ ‎ ‎ ‎(3)图形表示：‎ ‎[答一答]‎ ‎1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？‎ 提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．‎ ‎2．证明直线和平面平行的关键是什么？‎ 提示：证明直线和平面平行的关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线．‎ ‎3．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？‎ 提示：不一定平行，有可能直线在平面内．‎ 知识点二　　　直线和平面平行的性质定理 ‎[填一填]‎ ‎(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行．‎ ‎(2)符号语言：⇒l∥m.‎ ‎(3)图形表示：‎ ‎[答一答]‎ ‎4．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？‎ 提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．‎ ‎5．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？‎ 提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．‎ ‎6．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？‎ 提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．‎ 类型一　　直线与平面的位置关系 ‎[例1]　下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．‎ ‎①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b.‎ ‎②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α.‎ ‎③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行．‎ ‎④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.‎ 其中正确的命题有________(把你认为正确的序号都填上)．‎ ‎[解析]　①错误．如图(1)，满足a⊂α，b⊄α且a，b不相交，但a与b不平行．‎ ‎②错误．如图(2)，满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，但l与α相交．‎ ‎③正确．如图(3)，点A∉a，过点A可以作无数个平面与a平行．‎ ‎④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．‎ ‎[答案]　③‎ 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.‎ 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.‎ ‎[变式训练1]　如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，指出B′C，D′B所在直线与长方体各个面所在平面的关系．‎ 解：B′C所在直线与各个面所在平面的关系是：‎ 直线B′C∥平面A′D′DA；B′C与平面A′B′C′D′、平面ABCD、平面A′B′BA、平面C′D′DC都相交；B′C⊂平面B′C′CB.‎ D′B与各个平面都相交．‎ 类型二　　线面平行的判定定理 ‎[例2]　如下图，直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.‎ ‎[分析]　→ ‎[证明]　连接AC1交A‎1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ 判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理.使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.‎ ‎[变式训练2]　如图，直三棱柱ABCA′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.‎ 证明：连接AB′，AC′，则点M为AB′的中点．‎ 又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.‎ 又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，‎ 因此MN∥平面A′ACC′.‎ 类型三 　线面平行的性质定理 ‎[例3]　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.‎ ‎[证明]　如图，连接MO.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是AC的中点，‎ 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.‎ 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，‎ ‎∴AP∥平面BDM.‎ 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，‎ ‎∴AP∥GH.‎ ‎1.利用线面平行的性质定理解题的步骤 ‎2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．‎ ‎[变式训练3]　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．‎ 证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，‎ 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.‎ 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.‎ 所以截面MNPQ是平行四边形．‎ 类型四　　线面平行的判定定理与性质定理的综合应用 ‎[例4]　如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．‎ ‎(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；‎ ‎(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.‎ ‎∵HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD.‎ ‎∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.‎ 同理，得CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.‎ ‎(2)设EF＝x(0＜x＜4)，‎ 由于四边形EFGH为平行四边形，∴＝.‎ 故＝＝＝1－.从而FG＝6－x.‎ 于是四边形EFGH的周长为C＝2(x＋6－x)＝12－x.‎ 又0＜x＜4，∴8＜C＜12，‎ 即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12)．‎ ‎[变式训练4]　已知，如图，设a、b是异面直线，直线AB分别交a、b于A、B两点，过AB的中点O作平面α，使a∥α，b∥α，M、N分别是a、b上的任意两点，MN∩α＝P.‎ 求证：MP＝NP.‎ 证明：连接AN，AN∩α＝Q，连接PQ、OQ.‎ ‎∵b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，∴b∥OQ，‎ ‎∵AO＝OB，∴AQ＝QN.‎ ‎∵a∥α，a⊂平面AMN，平面AMN∩α＝PQ，∴a∥PQ，‎ ‎∴在△AMN中，MP＝NP.‎ ‎1．已知下列叙述：‎ ‎①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；‎ ‎②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；‎ ‎③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行；‎ ‎④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行．‎ 其中正确的个数是(　A　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：一条直线和另一条直线平行，那么它可能在经过这两条直线的平面内，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；选项③④中，直线有可能在平面内．‎ ‎2．点M、N是正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱A‎1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(　A　)‎ A．平行 B．相交 C．MN⊂平面PCB1‎ D．以上三种情形都有可能 解析：∵M、N分别为A‎1A和A1B1中点，∴MN∥AB1，‎ 又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三点共线，‎ ‎∴AB1⊂平面PB‎1C，‎ ‎∵MN⊄平面PB‎1C，∴MN∥平面PB‎1C.‎ ‎3．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　A　)‎ A．都平行 B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点 解析：因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.‎ ‎4．正方形ABCDA1B‎1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是平行．‎ 解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中可得点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.‎ 又∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE.‎