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- 2021-06-16 发布
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(四)解析几何
1.(2018·苏州市高新区一中考试)如图,椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A,B,
右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OP⊥AF.
(1)若点 P 的坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程;
(2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,已知椭圆的离心率为 2
2
,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率
的 m 倍,求实数 m 的值.
解 (1)因为点 P( 3,1),
所以 kOP= 1
3
,
又因为 AF⊥OP,-b
c
× 1
3
=-1,
所以 3c=b,所以 3a2=4b2,
又点 P( 3,1)在椭圆 C 上,
所以 3
a2
+ 1
b2
=1,
解得 a2=13
3
,b2=13
4 .
故椭圆方程为x2
13
3
+y2
13
4
=1.
(2)因为 e=c
a
= 2
2
,
即a2-b2
a2
=1
2
,
所以b2
a2
=1
2.
又因为 kAQkBQ=yQ-b
xQ
·yQ+b
xQ
=y2Q-b2
x2Q
=-b2
a2
,
所以 m=kOP
kBQ
=- 1
kAQkBQ
=a2
b2
=2.
2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为 3
2
,直线 l:y=-
1
2x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB=2 10,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 的两点,且直线 AC,
BD 相交于点 P,直线 AD,BC 相交于点 Q.
(1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)求证:直线 PQ 的斜率为定值.
(1)解 因为 e=c
a
= 3
2
,
所以 c2=3
4a2,即 a2-b2=3
4a2,
所以 a=2b.
所以椭圆方程为 x2
4b2
+y2
b2
=1.
由题意不妨设点 A 在第二象限,点 B 在第四象限,
由
y=-1
2x,
x2
4b2
+y2
b2
=1,
得 A
- 2b, 2
2 b .
又 AB=2 10,所以 OA= 10,
则 2b2+1
2b2=5
2b2=10,
得 b=2,a=4.
所以椭圆 E 的标准方程为x2
16
+y2
4
=1.
(2)证明 由(1)知,椭圆 E 的方程为x2
16
+y2
4
=1,
A(-2 2, 2),B(2 2,- 2).
①当直线 CA,CB,DA,DB 的斜率都存在,且不为零时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,
k2,C(x0,y0),显然 k1≠k2.
从而 k1·kCB= y0- 2
x0+2 2
· y0+ 2
x0-2 2
=y20-2
x20-8
=4 1-x20
16 -2
x20-8
=
2-x20
4
x20-8
=-1
4
,所以 kCB=- 1
4k1
.
同理 kDB=- 1
4k2
.
所以直线 AD 的方程为 y- 2=k2(x+2 2),直线 BC 的方程为 y+ 2=- 1
4k1
(x-2 2),
由
y+ 2=- 1
4k1
x-2 2,
y- 2=k2x+2 2,
解得
x=2 2-4k1k2-4k1+1
4k1k2+1
,
y= 2-4k1k2+4k2+1
4k1k2+1
,
从而点 Q 的坐标为
2 2-4k1k2-4k1+1
4k1k2+1
, 2-4k1k2+4k2+1
4k1k2+1 .
用 k2 代替 k1,k1 代替 k2 得点 P 的坐标为
2 2-4k1k2-4k2+1
4k1k2+1
, 2-4k1k2+4k1+1
4k1k2+1 .
所以 kPQ=
2-4k1k2+4k2+1
4k1k2+1
- 2-4k1k2+4k1+1
4k1k2+1
2 2-4k1k2-4k1+1
4k1k2+1
-2 2-4k1k2-4k2+1
4k1k2+1
=4 2k2-k1
8 2k2-k1
=1
2.
即直线 PQ 的斜率为定值1
2.
②当直线 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时,由题意得,至多有一条直线的斜
率不存在,不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(-2 2,- 2).
设 DA 的斜率为 k,由①知,kDB=- 1
4k.
因为直线 CA:x=-2 2,直线 DB:y+ 2=- 1
4k(x-2 2),
得 P
-2 2,- 2+ 2
k .
又直线 BC:y=- 2,直线 AD:y- 2=k(x+2 2),
得 Q
-2 2-2 2
k
,- 2 ,
所以 kPQ=1
2.
由①②可知,直线 PQ 的斜率为定值1
2.
3.平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率是 3
2
,右准线的方程为 x=4 3
3 .
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知点 P
1
2
,2 ,过 x 轴上的一个定点 M 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若三条直线
PA,PM,PB 的斜率成等差数列,求点 M 的坐标.
解 (1)因为椭圆的离心率为 3
2
,右准线的方程为 x=4 3
3
,
所以 e=c
a
= 3
2
,a2
c
=4 3
3
,则 a=2,c= 3,b=1,
椭圆 C 的方程为x2
4
+y2=1.
(2)设 M(m,0),当直线 l 为 y=0 时,A(-2,0),B(2,0),
PA,PM,PB 的斜率分别为
kPA=4
5
,kPM= 4
1-2m
,kPB=-4
3
,
因为直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列,
所以 8
1-2m
=4
5
-4
3
,m=8.
证明如下:
当 M(8,0)时,直线 PA,PM,PB 的斜率构成等差数列,
设 AB:y=k(x-8),代入椭圆方程 x2+4y2-4=0,
得 x2+4k2(x-8)2-4=0,
即(1+4k2)x2-64k2x+256k2-4=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
因为 x1,2=64k2± -64k22-41+4k2256k2-4
21+4k2
,
所以 x1+x2= 64k2
1+4k2
,x1x2=256k2-4
1+4k2
,
又 kPM=0-2
8-1
2
=- 4
15
,
所以 kPA+kPB=y1-2
x1-1
2
+y2-2
x2-1
2
=kx1-8k-2
x1-1
2
+kx2-8k-2
x2-1
2
=2k+ -15
2 k-2
1
x1-1
2
+ 1
x2-1
2
=2k+ -15
2 k-2 x1+x2-1
x1x2-1
2
x1+x2+1
4
=2k+ -15
2 k-2
64k2
1+4k2
-1
256k2-4
1+4k2
-1
2
× 64k2
1+4k2
+1
4
=2k+ -15
2 k-2 60k2-1
15
4
60k2-1
=- 8
15
=2kPM,即证.
4.(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图,已知椭圆 E:x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点 A(-2,0),
且点 -1,3
2 在椭圆上,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点.过点 A 作斜率为 k(k>0)的直线交
椭圆 E 于另一点 B,直线 BF2 交椭圆 E 于点 C.
(1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)若△CF1F2 为等腰三角形,求点 B 的坐标;
(3)若 F1C⊥AB,求 k 的值.
解 (1)由题意得
a=2,
a2=b2+c2,
1
4
+ 9
4b2
=1,
解得
a=2,
b= 3,
c=1.
∴椭圆 E 的标准方程为x2
4
+y2
3
=1.
(2)∵△CF1F2 为等腰三角形,且 k>0,
∴点 C 在 x 轴下方,
①若 F1C=F2C,则 C(0,- 3);
②若 F1F2=CF2,则 CF2=2,∴C(0,- 3);
③若 F1C=F1F2,则 CF1=2,∴C(0,- 3),
∴C(0,- 3).
∴直线 BC 的方程为 y= 3(x-1),
由
y= 3x-1,
x2
4
+y2
3
=1, 得 x=0,
y=- 3
或
x=8
5
,
y=3 3
5
,
∴B
8
5
,3 3
5 .
(3)设直线 AB 的方程 lAB:y=k(x+2),
由
y=kx+2,
x2
4
+y2
3
=1, 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
∴xAxB=-2xB=16k2-12
3+4k2
,
∴xB=-8k2+6
3+4k2
,∴yB=k(xB+2)= 12k
3+4k2
,
∴B
-8k2+6
3+4k2
, 12k
3+4k2 ,
若 k=1
2
,则 B 1,3
2 ,∴C 1,-3
2 ,
∵F1(-1,0),∴kCF1=-3
4
,
∴F1C 与 AB 不垂直,∴k≠1
2.
∵F2(1,0),kBF2= 4k
1-4k2
,kCF1=-1
k
,
∴直线 BF2 的方程 lBF2:y= 4k
1-4k2(x-1),
直线 CF1 的方程 lCF1:y=-1
k(x+1).
由
y= 4k
1-4k2
x-1,
y=-1
k
x+1,
解得 x=8k2-1,
y=-8k,
∴C(8k2-1,-8k).
又点 C 在椭圆上,得8k2-12
4
+-8k2
3
=1,
即(24k2-1)(8k2+9)=0,即 k2= 1
24
,
∵k>0,∴k= 6
12.
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