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  • 2021-06-16 发布

2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(四)

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(四)解析几何 1.(2018·苏州市高新区一中考试)如图,椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A,B, 右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OP⊥AF. (1)若点 P 的坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程; (2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,已知椭圆的离心率为 2 2 ,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率 的 m 倍,求实数 m 的值. 解 (1)因为点 P( 3,1), 所以 kOP= 1 3 , 又因为 AF⊥OP,-b c × 1 3 =-1, 所以 3c=b,所以 3a2=4b2, 又点 P( 3,1)在椭圆 C 上, 所以 3 a2 + 1 b2 =1, 解得 a2=13 3 ,b2=13 4 . 故椭圆方程为x2 13 3 +y2 13 4 =1. (2)因为 e=c a = 2 2 , 即a2-b2 a2 =1 2 , 所以b2 a2 =1 2. 又因为 kAQkBQ=yQ-b xQ ·yQ+b xQ =y2Q-b2 x2Q =-b2 a2 , 所以 m=kOP kBQ =- 1 kAQkBQ =a2 b2 =2. 2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 3 2 ,直线 l:y=- 1 2x 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,AB=2 10,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 的两点,且直线 AC, BD 相交于点 P,直线 AD,BC 相交于点 Q. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)求证:直线 PQ 的斜率为定值. (1)解 因为 e=c a = 3 2 , 所以 c2=3 4a2,即 a2-b2=3 4a2, 所以 a=2b. 所以椭圆方程为 x2 4b2 +y2 b2 =1. 由题意不妨设点 A 在第二象限,点 B 在第四象限, 由 y=-1 2x, x2 4b2 +y2 b2 =1, 得 A - 2b, 2 2 b . 又 AB=2 10,所以 OA= 10, 则 2b2+1 2b2=5 2b2=10, 得 b=2,a=4. 所以椭圆 E 的标准方程为x2 16 +y2 4 =1. (2)证明 由(1)知,椭圆 E 的方程为x2 16 +y2 4 =1, A(-2 2, 2),B(2 2,- 2). ①当直线 CA,CB,DA,DB 的斜率都存在,且不为零时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1, k2,C(x0,y0),显然 k1≠k2. 从而 k1·kCB= y0- 2 x0+2 2 · y0+ 2 x0-2 2 =y20-2 x20-8 =4 1-x20 16 -2 x20-8 = 2-x20 4 x20-8 =-1 4 ,所以 kCB=- 1 4k1 . 同理 kDB=- 1 4k2 . 所以直线 AD 的方程为 y- 2=k2(x+2 2),直线 BC 的方程为 y+ 2=- 1 4k1 (x-2 2), 由 y+ 2=- 1 4k1 x-2 2, y- 2=k2x+2 2, 解得 x=2 2-4k1k2-4k1+1 4k1k2+1 , y= 2-4k1k2+4k2+1 4k1k2+1 , 从而点 Q 的坐标为 2 2-4k1k2-4k1+1 4k1k2+1 , 2-4k1k2+4k2+1 4k1k2+1 . 用 k2 代替 k1,k1 代替 k2 得点 P 的坐标为 2 2-4k1k2-4k2+1 4k1k2+1 , 2-4k1k2+4k1+1 4k1k2+1 . 所以 kPQ= 2-4k1k2+4k2+1 4k1k2+1 - 2-4k1k2+4k1+1 4k1k2+1 2 2-4k1k2-4k1+1 4k1k2+1 -2 2-4k1k2-4k2+1 4k1k2+1 =4 2k2-k1 8 2k2-k1 =1 2. 即直线 PQ 的斜率为定值1 2. ②当直线 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时,由题意得,至多有一条直线的斜 率不存在,不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(-2 2,- 2). 设 DA 的斜率为 k,由①知,kDB=- 1 4k. 因为直线 CA:x=-2 2,直线 DB:y+ 2=- 1 4k(x-2 2), 得 P -2 2,- 2+ 2 k . 又直线 BC:y=- 2,直线 AD:y- 2=k(x+2 2), 得 Q -2 2-2 2 k ,- 2 , 所以 kPQ=1 2. 由①②可知,直线 PQ 的斜率为定值1 2. 3.平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的离心率是 3 2 ,右准线的方程为 x=4 3 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 1 2 ,2 ,过 x 轴上的一个定点 M 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若三条直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列,求点 M 的坐标. 解 (1)因为椭圆的离心率为 3 2 ,右准线的方程为 x=4 3 3 , 所以 e=c a = 3 2 ,a2 c =4 3 3 ,则 a=2,c= 3,b=1, 椭圆 C 的方程为x2 4 +y2=1. (2)设 M(m,0),当直线 l 为 y=0 时,A(-2,0),B(2,0), PA,PM,PB 的斜率分别为 kPA=4 5 ,kPM= 4 1-2m ,kPB=-4 3 , 因为直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列, 所以 8 1-2m =4 5 -4 3 ,m=8. 证明如下: 当 M(8,0)时,直线 PA,PM,PB 的斜率构成等差数列, 设 AB:y=k(x-8),代入椭圆方程 x2+4y2-4=0, 得 x2+4k2(x-8)2-4=0, 即(1+4k2)x2-64k2x+256k2-4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为 x1,2=64k2± -64k22-41+4k2256k2-4 21+4k2 , 所以 x1+x2= 64k2 1+4k2 ,x1x2=256k2-4 1+4k2 , 又 kPM=0-2 8-1 2 =- 4 15 , 所以 kPA+kPB=y1-2 x1-1 2 +y2-2 x2-1 2 =kx1-8k-2 x1-1 2 +kx2-8k-2 x2-1 2 =2k+ -15 2 k-2 1 x1-1 2 + 1 x2-1 2 =2k+ -15 2 k-2 x1+x2-1 x1x2-1 2 x1+x2+1 4 =2k+ -15 2 k-2 64k2 1+4k2 -1 256k2-4 1+4k2 -1 2 × 64k2 1+4k2 +1 4 =2k+ -15 2 k-2 60k2-1 15 4 60k2-1 =- 8 15 =2kPM,即证. 4.(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图,已知椭圆 E:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的左顶点 A(-2,0), 且点 -1,3 2 在椭圆上,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点.过点 A 作斜率为 k(k>0)的直线交 椭圆 E 于另一点 B,直线 BF2 交椭圆 E 于点 C. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若△CF1F2 为等腰三角形,求点 B 的坐标; (3)若 F1C⊥AB,求 k 的值. 解 (1)由题意得 a=2, a2=b2+c2, 1 4 + 9 4b2 =1, 解得 a=2, b= 3, c=1. ∴椭圆 E 的标准方程为x2 4 +y2 3 =1. (2)∵△CF1F2 为等腰三角形,且 k>0, ∴点 C 在 x 轴下方, ①若 F1C=F2C,则 C(0,- 3); ②若 F1F2=CF2,则 CF2=2,∴C(0,- 3); ③若 F1C=F1F2,则 CF1=2,∴C(0,- 3), ∴C(0,- 3). ∴直线 BC 的方程为 y= 3(x-1), 由 y= 3x-1, x2 4 +y2 3 =1, 得 x=0, y=- 3 或 x=8 5 , y=3 3 5 , ∴B 8 5 ,3 3 5 . (3)设直线 AB 的方程 lAB:y=k(x+2), 由 y=kx+2, x2 4 +y2 3 =1, 得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0, ∴xAxB=-2xB=16k2-12 3+4k2 , ∴xB=-8k2+6 3+4k2 ,∴yB=k(xB+2)= 12k 3+4k2 , ∴B -8k2+6 3+4k2 , 12k 3+4k2 , 若 k=1 2 ,则 B 1,3 2 ,∴C 1,-3 2 , ∵F1(-1,0),∴kCF1=-3 4 , ∴F1C 与 AB 不垂直,∴k≠1 2. ∵F2(1,0),kBF2= 4k 1-4k2 ,kCF1=-1 k , ∴直线 BF2 的方程 lBF2:y= 4k 1-4k2(x-1), 直线 CF1 的方程 lCF1:y=-1 k(x+1). 由 y= 4k 1-4k2 x-1, y=-1 k x+1, 解得 x=8k2-1, y=-8k, ∴C(8k2-1,-8k). 又点 C 在椭圆上,得8k2-12 4 +-8k2 3 =1, 即(24k2-1)(8k2+9)=0,即 k2= 1 24 , ∵k>0,∴k= 6 12.